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1、第三讲方程知识点盘查知识点具体内容方程的概念含有未知数的等式叫方程常见的几类方程一元一次方程，一元二次方程，分式方程一元二次方程根的一元二次方程 ax2bx c0(a 0) 的两个根为 x1, x2 ，情况及一元二次方程的根与系数的关则 x1 x2b , x1 x2c系aa一元一次方程求解一般步骤：(1)去分母； (2)去括号； (3)一元一次方程及一移项； (4)合并同类项； (5)系数化为 1元二次方程的基本一元二次方程的基本解法：(1)直接开平方法； (2)因式分解法解法； (3)配方法； (4)公式法测训评价1. 解下列方程：(1) x312(1x)23(2)414x 1x(3) 2(
2、x1) 25( x1)20(4) x22x11x 22x解： (1)通分得3( x3)64(1x)3x9644x7x7x1(2)方程两边同时乘以 ( x1)(x4) 得4( x1)x4移项得 4xx44即3x8x83（ 3）令 x 1 t ，则原方程为2t 2 5t 2 0(t 2)(2 t 1) 01t2或 t12当 t2时， x12, x3当 t1时， x11 , x3222（4）令 x22xt ，则原方程为t11t方程两边同时乘以 t ，得t2t 10解得 t15t15或22当 t15 时， x22x15， x15 1 ， x2352222当 t15 时， x22x15 ， x351 ，
3、 x43522222.已知 x1,x2 是一元二次方程 2x 22x13m0的两个实根，且x1,x2 满足不等式 x1x22(x1x2 )0 ,求实数 m 的取值范围 .x1x21解：由韦达定理得x1 x21 3m2则13m20210 ， m6故 m 的取值范围为 1m5632能力拓展1. 解方程 : y 1y3y2y4y 2y4y3y5解：通分后得 y25 y4( y25 y 6) y27 y 10 ( y 27 y 12)( y2)( y4)( y3)( y5)22( y2)( y4)( y3)( y5)( y2)( y4)( y 3)( y5)2 y77y22.已知 x1,x2 是方程
4、3x22 x40 的两个实数根 ,不解方程求 3 x122x2 的值 .解 x1, x2 是方程 3x22x40 的根故 3( x1 )22x140 ，即 3( x1 )22x14根据根与系数的关系x1x22316从而 3(x )22x22x42x2(x x ) 41121233.已知ABC的 两 边AB、AC的 长 是 关 于 x的一元二次方程x2(2k 3)xk 23k20 的两实数根 ,第三边 BC 的长是 5.(1) k 为何值时 , ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 .(2) k 为何值时 , ABC 是等腰三角形 ,并求 ABC 的周长 .解 (1)若 ABC 是以 BC 为
5、斜边的直角三角形，则AB 2AC 2BC 2于是 (2 k3)22(k 23k2)25(2 k 3)22( k23k2)25解得 k5 (舍 )或者 k2(2) 若 ABAC 则(2 k3)24( k23k2)0 ，求得无解因此只能 AB5或者 AC5 ，即方程有一根为 5.代入方程即得 25(2 k3)5 k 23k20求得 k3 或者 k 4当 k 3 时，另一根为 4，此时周长为 14 当 k 4 时，另一根为 6，此时周长为 163链接高中1.m 取什么值时 ,关于 x的方程 x 2mx 3m20 的一个根大于 1,而另一根小于 1?解：根据二次函数图象可得：( 1)2m(1)3m20
6、即1m3m20得1m42.如果方程 x 22mxk0 的两实根在方程x 22mx (m 4) 0 的两实根之间 ,试问 m、k 应该满足什么条件？解：根据题意得应该满足下面条件k m41 4m24k 0解得 km 4 且 m2k2 4m2 4(m 4) 03.方程 7x 2(k13) xk 2k20 (k 为实数 )一根大于 0 零且小于 1,另一根大于 1 且小于 2,求 k 的取值范围 .解：令 f ( x)x2(k13)xk 2k 2根据二次函数图象的分布得：f (0)0f (1)0f (2)0求解得 m 的取值范围为2k1 或 3 k4巩固反思1.解方程 :1x67xx21x1x1解：1x11xx21x1xx21x2得 x 02.若方程22的两根都大于且小于，求实数 m 的取值范围 .x2mx m1024解 令 f (x)x22mxm21 根据函数图象的分布得2m44m24m240求得 1 m 3(2) 24m m2 10428mm2104