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1、学习必备欢迎下载武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦武汉大学2008-2009 学年第二学期考试试卷计算方法（A 卷）（ 36 学时用）学院：学号：姓名：得分：一、（ 10 分）已知的三个值（ 1） 求二次拉格朗日插值 L2(x) ； （ 2）写出余项 R2(x) 。二、（ 10 分）给定求积公式求出其代数精度，并问是否是Gauss 型公式。三、（ 10 分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的（范数用）。四、（ 12迭代格式分）已知方程A ：在 0,0.4 内有唯一根。；迭代格式B ：试分析这两个迭代格式的收敛性。五、（ 12分）设方程组，其中，分别写出
2、Jacob 及 Gauss-Seidel 迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。六、（ 12 分）已知的一组值2.21.0分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算七、（ 12 分） 20XX 年 5 月左右，北美爆发甲型的美国感染者人数见下表。为使计算简单，分别用H1N1 流感，美国疾病控制和预防中心发布x=-1 ，0， 1， 2 代表 20XX 年 5 月 2， 3，4，5 日。学习必备欢迎下载根据上面数据，求一条形如的最小二乘拟合曲线。八、（ 12 分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：（取步长） 1。九、（ 10 分）对于给定的常数c，为进行开方运算，需要求方程的根。
3、（ 1）写出解此方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值牛顿迭代序列xn单调减且收敛于c.武汉大学2008-2009 学年第二学期考试试卷1、解：（ 1）二次拉格朗日插值为（2）余项为2、解：当当时，左边时，左边 =22=2,右边 =2； 当时，左边=0,右边 =0 ；3,右边 =3 ；当时，左边=0,右边 =0；当时，左边=25,右边 =29,左边右边；于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。3、解：而，于是4、解：（ 1）对于迭代格式A ：， 所以题干中结论成立。， 其迭代函数为，在 0,，所以发散。学习必备欢迎下载（ 2）对于迭代格式 B ： x1， 其迭代函数为10e，在，所以收敛。2
4、2 0.4 内5、解：（ 1） Jocobi 迭代法：0b/2因为a21/a22a21a12a11a22（ 2） Gauss-Seidel 迭代法：a12/a11a21a12/a11a22学习必备欢迎下载a12/a1101/a22a21a12a11a22| 01/a22(k)因为a21a12a11a22a21a12a11a22综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。6、解：（ 1）复化梯形公式（）h20.22（2）复化辛普森公式（）h660.47、解：依题意，可知学习必备欢迎下载、解：459、解：（ 1）牛顿迭代格式（2）因为 时， ， ，所以取任意 c 作为初始值，迭代序列必收敛到 c，故迭
5、代公式是收敛的。武汉大学2009-2010 学年第二学期考试试卷计算方法（A 卷）（ 36 学时用）学院：学号：姓名：得分：0 一、（ 10 分）设，求范数、谱半径、条件数二、（ 10 分）已知的一组值：分别求二次拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式。三、（ 10 分）已知数据学习必备欢迎下载求形如的最小二乘拟合曲线。四、（ 15分）已知的三个根分别位于区间， 3.5,4 内。（1）分别讨论迭代格式求这三个根时的收敛性。（2）写出求 3.5,4 内根的牛顿迭代格式，并说明如何选取初值x0，使牛顿迭代收敛于 3.5,4 内的根。五、（ 10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组A，
6、其中六、（ 15 分）设方程组a1a（1） 分别写出雅可比迭代格式及高斯可比迭代格式收敛。七、（ 10 分）已知的一组值-赛德尔迭代格式；（ 2） 问常数a 取何值时，雅f(x)dx学习必备欢迎下载分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算八、（ 10 分）用改进欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）：1（取 5 位有效数字计算）九、（ 10 分）在abnif(xi)为插值型求积公式。（1）导出系数Ai的公式；（2）证明此求积公式的代数精度大于等于n, 且不超过计算方法2010 春 A 卷参考答案 (2010-5-29)一、，二、三、，x 四、（ 1）。在区间 0， 1学习必备欢迎下载上，所
7、以求0,14 上，迭代发散。而在-1,0上，对任意x0，迭代得到的xn 均为正值,所以迭代发散。（2）设五、4,，在 3.5 ，4内，取，直接取，解得，解得六、，G-S迭代类似(略)。Jacobi 迭代阵为，特征值为，谱半径，所以学习必备欢迎下载七、复化梯形复化辛卜生八、h3h222九、系数ba。 li(x)dx （见教材 P157）代数精度见 P159, P184武汉大学2010-2011 学年第二学期考试试卷计算方法（A 卷）（ 36 学时用）学院：学号：姓名：得分：1、（ 12 分）已知方程有一个正根及一个负根。（1）估计出含根的区间；（2）分别讨论用迭代格式求这两个根时的收敛性；（3）
8、如果上述格式不迭代，请写出一个你认为收敛的迭代格式（不证明）n。2、（ 12 分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组，其中学习必备欢迎下载，3、（ 14 分）设常数，方程组（1） 分别写出Jacobi 迭代格式以及高斯-赛德尔迭代格式；（2） 试求 a 的取值范围，使得Jacobi 迭代格式是收敛的。4（ 12 分）已知3 次多项式的三个值：（1） 求二次拉格朗日插值（2）能否计算出L2(x) 及余项；的准确值？并说明理由。如果能够，请计算出结13果。5、（ 12 分）已知数据根据上面数据，求一条形如6、（ 12 分）已知的一组值：的最小二乘拟合曲线。分别用复化梯形公式和复化辛
9、卜生公式计算f(x)dx 。7、（ 12 分）用改进的欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）：学习必备欢迎下载18、（ 14 分）设 f(x) 在a,b 上二阶可导连续，将a,b2n 等分，分点为，步长为（1） 证明求积公式h3的截断误差为3b利用（ 1）中的求积公式及误差理论，导出求积分的复化求积公式及其a误差。武汉大学2010-2011 学年第二学期考试试卷1、解：（ 1）【 4 分】设，含正根的区间为(1,2)；，含负根的区间为；（2）【 4 分】迭代函数为，则在含正根区间 (1,2)上，迭代格式发散； 【 2 分】在含负根区间上，迭代格式收敛。 【2 分】（3）【 4 分】在含
10、正根区间(1,2)上，收敛的迭代格式为。2、解：（ 1）【 8 分】先对A 进行 Dollittle 分解。所以学习必备欢迎下载1。（2）【2分】（3） 【2 分】1103、解：（ 1）【 4 分】 Jacobi 迭代法：10201/a002/a2/a【 4 分】 Gauss-Seidel 迭代法：学习必备欢迎下载1/a321/a3/a2学习必备欢迎下载3/a23（ 1） 【6 分】考虑Jacobi 迭代法的收敛性，即判断其谱半径是否小于1.1/a3/a或2/aa)ai所以谱半径为2。|a|该迭代法收敛的充分必要条件为2|a|，亦即或。4、解：【4 分】52192【4 分】学习必备欢迎下载（3
11、）【 4 分】33133131R2(x)dx因为，所以11313131(522192135、解：依题意，可知【4 分】12学习必备欢迎下载【4 分】2343123431【4 分】拟合曲线为26、解： (1) 【 6 分】复化梯形公式（）1.60h2（2）【 6 分】复化辛普森公式（）1.60学习必备欢迎下载h660.47、解：（1）【8分】先写出预估-校正格式：（2）【 4 分】h20.52h20.528、证明：（1）【7 分】该求积公式实际上是中矩形公式。在区间中， f(x) 的 Taylor展开式为2两边同时在区间上积分，并利用积分第二中值定理，可得学习必备欢迎下载22h（2）【 7 分】
12、复化求积公式为bannn误差为bannnh3学习必备欢迎下载3h23f(武汉大学计算方法历年期末考试重点六、（ 15 分）分别写出求解下列方程组的雅可比、高斯格式，并说明是否收敛。-赛德尔以及超松弛迭代九、（ 10 分）设 f(x) 在 a,b 上导数连续。将a,bn 等分，分点为，步长122（1）证明右矩形公式ba的误差为（2）写出求的复化右矩形公式。（ 3）导出复化右矩形公式的误差。三、（ 10 分）已知数据23设，求常数a ,b, 使得学习必备欢迎下载四、（ 15 分）设方程(1) 估计含根区间 ;(2) 分析迭代格式.的收敛性;(3) 写出解此方程的牛顿迭代格式九、（ 10 分）设求积
13、公式,并问x0取何值时,迭代收敛.bnakf(xk) 为高斯型求积公式，（1） 问给定的求积公式的代数精度是多少次？（2） 证明 : 对任意次数小于等于的多项式q(x) ，必有；ab（3） 证明：五、（ 10 分）设常数，分别写出求解方程组的 Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel迭代格式并给出用对任意初值都收敛的充分必要条件。十、（ 10 分）证明求积公式Gauss-Seidel 迭代格式求解此方程组时，bbnakf(xk) 的代数精度大于等于n 的充分必要条学习必备欢迎下载件是a。其中， lk(x) 是以为插值节点的拉格朗日插值基多项式。七、（ 10 分）已知数据设62，求常数a
14、,b,使得5、（ 12 分）已知数据求形如8、 （ 12 分）设，求积公式abn2x6的拟合曲线。if(xi)（ * ）为插值型求积公式,(1) 推导出系数 Ai 的公式 ;(2) 证明公式 (*) 的代数精度(3) 证明公式 (*) 的代数精度不可能大于六、学习必备欢迎下载高斯-赛德尔类似，略。松弛法：因为 A 对角严格占优，所以Jacob 及 G-S 收敛。又因为A 正定，所以松弛法收敛。九、（ 1）(3) 余项 R=-21三、， ，四、（ 1）含根区间 0， 1（2），所以收敛（3）设，在 0，1bn（3）取，代入公式得2，所以-S:aa五、G-S 迭代阵为，迭代收敛十、必要性：因为代数精度，取代入公式，应精确成立，得到充分性：如果积分，故求积余项为学习必备欢迎下载， 则 求 积 公 式 右 端 为f(x) 的 拉 格 朗 日 插 值 的，n 当取时， f所以代数精度七、（ 10 分），故、=0.36,b=-32/89