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1、【全程复习方略】（陕西专用） 2013 版高考数学 2.9函数与方程课时提能演练理 北师大版一、选择题 ( 每小题 5分，共 30 分)1.(2012·汉中模拟 ) 已知函数 f(x) ax2 2x 1 有一个零点，则实数a 的取值为 ()(A)0(B)1(C)0或 1(D)以上答案都不对2.(2012·南昌模拟 ) 已知函数 f(x)x(x 4) ， x<0，则函数 f(x)的零点个数为 ()x(x 4) ，x0(A)1(B)2(C)3(D)413. 函数 f(x) log 2x 的一个零点落在下列哪个区间()x(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)
2、(3,4)4. 已知函数 f(x)x，g(x) x lnx ，h(x) xx 1 的零点分别为x ， x ， x ，则 x ，x，x的大小 x 2123123关系是()(A)x <x<x3(B)x<x<x31221(C)x 1<x3<x2(D)x3<x2<x15.(2012 ·咸阳模拟 ) 函数 f(x) |x 2| lnx 在定义域内零点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)36.(2012 ·宝鸡模拟 ) 设偶函数 f(x)满足 f(x 1) f(x 1) ，且在 x0,1时， f(x) x，则关于 x 的方程1 xf
3、(x) (8)在区间 0,3上解的个数为 ()(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空题 ( 每小题 5分，共 15 分)7.( 预测题 ) 已知函数 f(x) log 2(x 1) ， x>0m有 3个 零点，则实数 m的取值范. 若函数 g(x) f(x) x2 2x ，x0围是.8.( 易错题 ) 若函数 f(x) (m 1)x2 2(m 1)x 1 有且仅有一个零点，则实数m的取值集合是.9. 已知 f(x)=ax2+bx+c(a 0) ，g(x)=f(f(x)，其中真命题有 _个 .若 f(x)无零点，则g(x)>0 对任意 x R 成立 ;若 f(x)有且只有一个零点，
4、则g(x) 必有两个零点 ;若方程 f(x)=0 有两个不等实根，则方程g(x)=0 不可能无解 .- 1 -三、解答题 ( 第 10 题 12 分，第 11 题 13 分，共 25 分)10. 若方程 ax2 4x 5 0 在区间 2,3 上仅有一根，求实数a 的取值范围 .11.(2012 ·西安模拟) 设函数 f( x) ax 2bx c， 且 f(1) a， 3a>2c>2b.2b 3(1) 求证 a>0 且 3<a< 4；(2) 求证：函数 f(x) 在区间 (0,2) 内至少有一个零点；(3) 设 x1， x2 是函数 f(x) 的两个零点，
5、求 |x 1x2| 的取值范围 .【选做 ?探究题】已知二次函数f(x) x2 (2a 1)x 12a.(1) 判断命题“对于任意的 aR(R 为实数集 ) ，方程 f(x) 1 必有实数根”的真假，并写出判断过程；1(2) 若 y f(x) 在区间 ( 1,0) 及 (0 ， 2) 内各有一个零点 . 求实数 a 的取值范围 .答案解析1. 【解析】 选 C. 验证法：当a0 时， f(x) 2x 1 有一个零点；当a 1 时， f(x) (x 1) 2 也只有一个零点，故选C.2. 【解析】 选 C.当 x<0 时，由 x(x 4) 0，得 x 4 满足题意；当x 0 时，由 x(x
6、 4) 0，得 x 0 或x 4 满足题意，故f(x)有 3 个零点 .3. 【 解析】 选 B. 因为 f(x)的定义域为x>0， f(1) 1 log 21 1<0， f(2) 11 2 log 222>0. f(1) · f(2)<0 ，故选 B.4. 【解析】 选 A. 由已知 x1， x2， x3 分别为方程 x 2x 0， x lnx 0 和 x x 1 0 的根，亦即 2x x，lnx x，x 1 x 的解，在同一坐标系中分别作出函数y 2x，y lnx ，yx 1 和 y x 的图像，如图所示，由图像知x1<x2<x3.- 2 -5
7、.【解析】 选 C. 由 f(x) 0，得 |x 2| lnx ，在同一坐标系内分别画出函数y |x 2| 及 ylnx 的图像如图，由图易知，原函数有两个零点.【变式备选】(2012 ·合肥模拟 ) 函数 f(x) |x 2| 2x 在定义域内零点的个数是 ()(A)0(B)1(C)2(D)3【解题指南】转化为函数y|x 2| 与 y 2x 图像的交点个数问题，利用数形结合的思想方法求解.【解析】 选 D. 在同一坐标系中画出函数y |x 2| 与 y2x 的图像，可以看到两个函数的图像在第二象限有两个交点，在第一象限有一个交点，所以函数f(x) |x 2| 2x 在定义域内有3
8、个零 点.6. 【解析】 选 C. 由题意得函数 f(x) 的周期为 T 2，又 f(x) 是偶函数， f(x) 的图像如图所示 .1 x在同一坐标系内画出函数y( 8) 的图像，- 3 -1 x如图所示，由图像知，方程f(x) ( 8)在 0,3上有 3个解1x【变式备选】 已知函数 f(x)( 3) log 2x，若实数 x0 是方程 f(x) 0的解，且 0<x1<x 0，则 f(x 1)()(A) 恒为正值(B)等于 0(C) 恒为负值(D)不大于 0【解析】 选 A. f(x) (3) logx 在 (0 ， ) 上为减函数，并且f(x0) 0,0<x <x
9、， f(x)>f(x) 0.1 x210107. 【解析】 由题意，得 f(x) m有 3 个解，画出 f(x) 的图像，如图，由图知 0<m<1.答案： 0<m<118. 【解析】 当 m 1 时， f(x) 4x 10，得 x 4，符合要求 .当 m1时，依题意得 4(m 1) 2 4(m 1) 0. 即 m2 3m 0，解得： m 3 或 m0， m的取值集合是 3,0,1.答案： 3,0,1【误区警示】本题求解过程中易忽视m1 而失误 .9. 【解析】 对于，若 f(x)a 0a 0,无零点，则4ac 0或b2b24ac 0当 a>0， <0
10、时， f(x)>0 对任意 x R恒成立此时 g(x)=f(f(x)>0对任意 x R 成立 ,当 a<0， <0 时， f(x)<0对任意 x R恒成立 .此时 g (x)=f(f(x)<0对任意 x R 成立，故不正确 ;对于，若 f(x) 有且只有一个零点，则=b2-4ac=0.f(b)=0, 此时 f(x)=a(x+b ) 22a2a当 a>0 时， f(x) 0 恒成立，若 -b<0, 方程 f(x)=-b 无解，即 g(x)=f(f(x)无零点，故不正确;2a2a对于，若方程 f(x)=0有两个不等实根，不妨令a>0,f(x)
11、min = 4ac b2,4a- 4 -如图，若两实根 x1<x2< 4acb2, <0, 此时 f(x)=x1( 或 x2) 无解，4a即方程 g( x)=f(f(x)=0无解，故不正确 .答案： 010. 【解析】 当 a 0 时，方程可化为 4x 5 0，5 x 4 2,3 成立， a0.当 a 0 时，令 f(x) ax2 4x 5，3若 x 2 时， f(x) 0，则 a4.此时另一根为10 2,3 ，成立 .317若 x 3 时， f(x) 0，则 a 9 ，15此时另一根为17 2,3 ，舍去 .若 x ( 2,3) ，则 f( 2)f(3)<0，173
12、9 <a<4且 a 0，173综上： 9 <a 4.a11. 【解析】 (1)f(1) a b c 2， 3a 2c2b 0， 3a>2c>2b，3a>2c 3a2bb 3 a>0,2b<0 ， a>0a> 3，3a>2bb 32b<2c 3a 2ba>0a<2，a>0b 3 a>0 且 3<a< 4.b 3 a< 4.(2)f(0) c， f(2)4a 2 b c a c.当 c>0 时， a>0，a f(0) c>0， f(1) 2<0.函数 f(x)在
13、区间 (0,1) 内至少有一个零点.a当 c 0 时， a>0， f(1) 2<0， f(2) ac>0.- 5 -函数 f(x)在区间 (1,2) 内至少有一个零点.故函数 f(x)在区间 (0,2) 内至少有一个零点，(3)x 1， x2 是函数 f(x)的两个零点，bc3b x1 x2 a， x1· x2 a 2 a. |x 1 x2| (x 1 x2) 2 4x1x2b23bb2a2 4( 2 a) ( a 2) 2.b 3 3<a< 4， 2 |x x |<574 ，12即 |x 1 x2| 的取值范围为 572，).4【选做 ?探究题】【解析】 (1)“对于 任意的 aR(R 为实数集 ) ，方程 f(x) 1 必有实数根”是真命题. 依题意： f(x) 1 有实根，即x2 (2a 1)x 2a 0 有实根， (2a 1) 2 8a (2a 1) 20 对于任意的a R(R 为实数集 ) 恒成立， 即 x2 (2a 1)x 2a0 必有实根，从而 f(x) 1必有实根 .1(2) 依题意：要使y f(x)在区间 ( 1,0)及 (0 ，2) 内各有 一个零点，f( 1)>03 4a>0f(0)<01 2a<0，只需1，即f(3)>0 a>02413解得 2<a<4.- 6 -