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1、第二课时课题§等比数列的前n 项和 ( 二)教学目标（一）教学知识点1. 等比数列的前 n 项求和公式：Sn= a1 (1qn )a1an q( q1), Sn=na1( q=1).1q1q（二）能力训练要求综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题 .（三）德育渗透目标提高学生分析、解决问题的能力.教学重点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式 .教学难点灵活使用有关知识解决问题教学方法讲练相结合讲解思路，寻求规律，使学生通过练习加深理解.教学过程 . 复习回顾师前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?生定义式：an=q( q 0, n 2)an
2、 1n1通项公式： an=a1q( a1, q 0)若 m+n=p+q, 则 am·an=ap· aq,a1 (1 qn ) a1an qq1)S=(n1q1 qSn=na1,( q=1)an=Sn Sn 1( n 2), a1=S1( n=1) . 讲授新课师我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.例 1求和： ( x+ 1 ) ( x21)(x n1) ( 其中 x 0， x1， y 1)yy 2y n分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当 x 0， x 1， y1
3、 时，( x+ 1 ) ( x212) )+ +( xn + 1n )yyy12n111=( x+x+x )+(yy 2+ + y n)1(11= x(1xn)yyn )1x11y= xx n1y n11xy n1y n师此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.例 2已知Sn 是等比数列 an 的前 n 项和， S3, S9 , S6 成等差数列，求证：a2, a8, a5成等差数列 .分析：由题意可得S3+S6=2S9，要证 a2, a8, a5 成等差数列，只要证a2 +a5=2a8 即可 .证明： S3, S9, S6 成等差数列，S3+S6=2S9若 q=1, 则 S3=3a1， S6
4、=6a1, S9=9a1，由等比数列中，a1 0 得 S3+S6 2S9，与题设矛盾 q 1， S3= a1 (1 q3 ) , S6a1 (1 q 6 ) , S9a1 (1 q 9 )1q1 q1 q且a1 (1 q3 ) a1 (1 q6 )2a1 (1 q 9 )1 q1q1 q整理得 q3+q6=2q9，由 q 0 得 1+q3=2q6又 a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+ q3) 2+5=1·26=21 7=28,aaa qqa qa285 a , a, a 成等差数列 .评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.例 3某制糖厂第 1 年制糖5 万吨，如果平均每
5、年的产量比上一年增加10%，那么从第 1 年起，约几年内可使总产量达到30 万吨 ( 保留到个位 )?分析： 由题意可知， 每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1 年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和 .解：设每年的产量组成一个等比数列n, 其中a1=5,=1+10%=1.1,n =30aqS 5(11.1n ) =30，11.1整理可得： 1.1 n=1.6两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6，即： n= lg 1.6 5lg 1.1答：约 5 年内可以使总产量达到30万吨 .评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解. . 课堂练习生 ( 板演
6、 ) 课本 P131 练习 3，423. 求和解：（ 1）（ a 1） +( a2 2)+ +( an n)=( a+a2+ +an) (1+2+ +n)当a=1 时，原式 = n(n1)121n22nn2当 a1 时，原式 = aa n1n( n1) .1a2(2)(2 3× 5-1)+(4-2nn-1-2 n3× 5)+ +(2 n 3×5 )=(2+4+2 ) 3×(5+5 +5)= n( 22n) 3× 5 15 ( n1)n(n 1)35n3 .215 15n15n评述：根据所求式的特点， 选取恰当的求和方法， 将其转化为等差或等比数
7、列求和问题.4. 已知数列 an 是等比数列， Sn 是其前 n 项的和，求证S7, S14 S7 , S21 S14 成等比数列，设 k N*, S , SS, S S成等比数列吗？k2 kk3k2k解：（ 1）当q=1 时， S7=7a1, S14=14a1, S14 S7=14a1 7a1=7a1, S21 S14=21a1 14a1=7a17, 147,2114 为以 7 1 为首项， 1 为公比的等比数列.S SSS Sa当 q 1 时， S7= a1 (1 q 7 ) , S14a1 (1 q14 ) , S21a1 (1 q 21 )1q1q1 qS14S7a1 (1 q14 )
8、 a1 (1 q7 )1q1q7 7= a1 q (1 q )1 q21 14= a1 (1q 21 )a1 (1q14 )S S1q1q= a1 q14 (1q 7 )1q ( S14 S7) 2= a12 q14 (1 q7 )2(1q) 2S7· ( S21 S14)=a1 (1 q 7 ) a1q14 (1 q7 ) a12q14 (1 q 7 )21q1 q=1 q2 ( S14 S7) 2=S7·( S21 S14) S7, S14 S7, S21S14 成等比数列 . 这一过程也可如下证明：S14 S7=( a1+a2+ a14) ( a1+a2+ +a7)=
9、 a8+a9+ +a14=a1q7+a2q7+ +a7q7=( a1+a2+ +a7 ) q7=q7S7同理， S21S14=a15+a16 + +a21=a1q14+a2q14+ +a7q14=q14S7 S7, S14 S7, S21S7 为等比数列 3（ 2）当q=1且k为偶数时，S,2 S,3 2不是等比数列 .SkSkSkkk此时， Sk=S2k Sk=S3k S2k=0.例如：数列 1, 1,1, 1, 是公比为 1的等比数列， S2=0, S4 S2=0, S6 S4=0当 1或k为奇数时，k=1+2+k= a1 (1q k )qSaaa1qS2a1 (1 q 2k ) a1 (
10、1 qk ) a1q k (1 q k ) S =kk1q1q1q2kkk+12k1k2kk kkk（或 S S=a+ +a=a q+a q + +a q=q S）3k 2k= a1 (1 q3k ) a1 (q q 2 k )SS1q1q= a1 q2 k (1q k )1q3k2k2k2k+2+3k12k22kk2k2k k（或 S S =a+1+a+a=a q+a q+aq=q S ）2), 可得： Sk, S2k Sk, S3k S2k成等比数列 .由 ( S2k Sk ) =Sk ( S3k S2k评述：应注意等比数列中的公比q 的各种取值情况的讨论， 还易忽视等比数列的各项应全不为0 的前提条件 . . 课时小结通过本节学习， 应掌握等比数列的定义式、通项公式、 性质以及前 n 项求和公式的灵活应用 . 利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点. . 课后作业（一）课本P131 习题 3.5 4， 5，6（二） 1. 预习内容：课本P1322. 预习提纲：（ 1）怎样数学建模 ?（ 2）怎样解决实际问题？（ 3）收集有关分期付款的资料 .板书设计§等比数列的前n 项和 ( 二)例 1例 2例 3复习回顾an=a1qn1( a1, q 0)nSn= a1 (1q )1 q= a1 an q ( q 1) 1 q45