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1、【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 8.5曲线与方程课时体能训练理新人教 A版(45 分钟 100 分)一、选择题（每小题6 分，共 36分）1. （ 2012·揭阳模拟）方程 x2-4y2+3x-6y=0 表示的图形是 ( )（ A）一条直线（B）两条直线（ C）一个圆（D）以上答案都不对22x *a ) 的轨迹2. 设 x1、x2R，常数 a 0，定义运算“ * ”：x1*x 2=(x 1+x2) -(x 1-x 2), 若 x 0，则动点 P（ x,是 ()（ A）圆（ B）椭圆的一部分（ C）双曲线的一部分（ D）抛物线的一部分3. （预测题） 已知两点 M（ -
2、2 ，0），N（ 2，0），点 P 为坐标平面内的动点，满足MNMPMN NP 0，则动点 P(x,y)的轨迹方程为 ( )(A)y 2=8x(B)y2=-8x(C)y 2=4x(D)y2=-4x4. 设动点 P在直线 x=1 上， O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角OPQ，则动点 Q的轨迹是 ( )（ A）圆（ B）两条平行直线（ C）抛物线（ D）双曲线5. 设圆（ x+1)22的圆心为 C，A（ 1， 0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与+y =25CQ的连线交于点M，则 M的轨迹方程为 ( )（ A） 4x 2 4y 2 121 254x 24
3、y 2(C)12521(B)4x 2+ 4y212125(D)4x 24y2125+216. 已知点 P在定圆 O的圆内或圆周上，动圆C 过点 P 与定圆 O相切，则动圆C 的圆心轨迹可能是()- 1 -（ A）圆或椭圆或双曲线（ B）两条射线或圆或抛物线（ C）两条射线或圆或椭圆（ D）椭圆或双曲线或抛物线二、填空题（每小题6 分，共 18 分）7.（易错题） 倾斜角为的直线交椭圆x 2y21于 A、B 两点，则线段 AB 的中点 M的轨迹方程是 _4428. （ 2012·昆明模拟）设定点 M(-3,4)，动点 N 在圆 x2+y 2=4 上运动，以 OM、ON为邻边作平行四边形
4、 MONP，则点 P 的轨迹方程为 _.9. 坐标平面上有两个定点 A、B 和动点 P，如果直线 PA、PB的斜率之积为定值 m，则点 P 的轨迹可能是：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线试将正确的序号填在横线上：_.三、解答题（每小题15 分，共 30 分）10. （ 2012·杭州模拟）设 t>1, 点 A（ -t,0），点 B（ t,0 ）直线 AM、 BM的斜率之积为 - t, 对于每一个 t, 记点 M的轨迹为曲线1C .（ 1）求曲线 C1 的方程及焦点坐标；（ 2）设 O为坐标原点，过点（ 0， -t ）的直线 l 与曲线 C1 交于 P、 Q两点，求 OPQ面积的最
5、大值 S（ t ），并求 S(t) 的值域 .11. （ 2012·台州模拟）已知曲线C上的动点P（ x,y ） 满足到点F（ 0， 1）的距离比到直线l :y=-2的距离小 1.（ 1）求曲线 C 的方程；（ 2）动点 E 在直线 l 上，过点 E 作曲线 C 的切线 EA， EB，切点分别为 A、B；（）求证：直线 AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；（）在直线l 上是否存在一点E，使得 ABM为等边三角形（M点也在直线l 上）？若 存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【探究创新】（ 16 分）已知线段AB的两个端点A、 B分别在 x 轴、 y 轴上滑动， |AB|=3
6、，点 M满足 2AMMB. （1）求动点 M的轨迹 E 的方程；（ 2）若曲线E 的 所有弦都不能被直线l :y=k (x-1) 垂直平分，求实数k 的取值范围 .- 2 -答案解析1. 【解析】 选 B. x2-4y 2+3x-6y=0,(x3 )24(y3 ) 20,24 (x+2y+3)(x-2y)=0, x+2y+3=0 或 x-2y=0.原方程表示两条直线.2. 【解析】 选 D.x1 *x 2x1x222x1x 2 ,x *ax222ax.axa则 P x, 2 ax .设 P(x 1,y 1),x1x即y12ax,消去 x 得 y124ax1(x 1 0, y1 0), 故点 P
7、 的轨迹为抛物线的一部分 .3. 【解析】 选 B. MN4, MPx 222, MN NP 4 x 2 ,y4 x224x2 0,y 28x.y24. 【解析】 选 B. 设 P(1,t)，Q(x,y)，由题意知 |OP|=|OQ|, x2+y2=1+t 2又 OP OQ 0， x+ty=0,tx, y 0.y把代入 , 得 (x 2+y2)(y2-1)=0 ，即 y=± 1.所以动点Q的轨迹是两条平行直线.- 3 -5. 【解题指南】 找到动点 M满足的等量关系，用定义法求解.【解析】 选 D.M 为 AQ垂直平分线上一点，则 |AM|=|MQ|, |MC|+|MA|=|MC|+
8、|MQ|=|CQ|=5(5 |AC|) ，即点 M的轨迹是椭圆 ,a5 ,c 1,则 b2a2c221,24点 M的轨迹方程为 4x 2+ 4y21.25 216. 【解析】 选 C. 当点 P在定圆 O的圆周上时，圆 C 与圆 O内切或外切， O， P， C三点共线，轨迹为两条射线；当点 P 在定圆 O内时 ( 非圆心 ) ， |OC| |PC| r 0 为定值，轨迹为椭圆；当 P 与 O重合时，圆心轨迹为圆【误区警示】本题易因讨论不全，或找错关系而出现错误.7【. 解析】设直线 AB的方程为 y=x+m，代入椭圆方程， 得 5x 22mx m 210，设 AB的中点坐标为 M(x,y) ，
9、4则 xx1 x24m , ym , 消去 m得 x+4y=0,255又因为220，=4m-5(m -1)所以5 m 5,于是4 5 x 45 .55答案 : x+4y=0（4 5 x 4 5）55【误区警示】 本题易出现 x4y 0 的错误结论，其错误原因是没有注意到动点在椭圆内.xy8. 【解析】 设 P(x,y)，圆上的动点00, ) ，线段 MN的中点坐标为N（x ,y ），则线段 OP的中点坐标为 (2x03, y042() ，又因为平行四边形的对角线互相平分，所以有：22- 4 -xx 0322可得x0x3yy 04y0y4，22又因为 N(x 0,y0) 在圆上，所以N点坐标应满
10、足圆的方程 .即有(x+3)229122128+(y-4) =4，但应除去两点 (,) 和 (5， ).555229122128答案： (x+3) +(y-4)=4（除去两点 (,) 和 (5，) ）5559.【解析】以直线 AB为 x 轴，线段 AB的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 A(-a,0)，B(a,0)，P(x,y)，则有yym, 即 mx2-y 2=a2m,xaxa当 m 0 且 m -1时，轨迹为椭圆；当m 0 时，轨迹为双曲线；当m=-1 时，轨迹为圆；当m=0时，轨迹为一直线；但不能是抛物线的方程.答案： 10. 【解析】（ 1）设 M（ x,y ）, 则yyxtt(
11、xt)x t得曲线的方程 x 2y21(xt),t 2t3焦点坐标为（ 0,tt 1 ）和（ 0,tt1 ） .(2) 设直线 l :y=kx-t,P(x,y),Q(x,y),1122可得，（ t+k 2） x2-2ktx+t2-t 3=0，x1x 22kttk 2则23x1 x 2tt2 .tk- 5 -S OPQ1x21(2kt2 )24t 2t3t2 t 2t tk 2t x1tktk2tk 22 .22t设 t+k2tt2 mttt2t(11)21=m,则 Sm2m2，4当 1<t 2 时， S tmax1t 2t2当 t>2 时， S t maxtt2t,( 当且仅当t+
12、k 2=2 时取等号 ), 此时2( 当且仅当t+k =t 时取等号 ) ，1S t 22,2此时 S（ t ） > 22 ,综上， S(t) 的取值范围是（1， ） .211. 【解析】（ 1）曲线 C 的方程 x2 =4y.(2)( ) 设 E（ a,-2 ） ,A(x 1, x12), B(x2 , x 22),44yx 2,y1 x, 过点 A 的抛物线切 线方程为 yx121 x1xx 1,4242切线过 E点，2x121 x 1 ax1 ,42整理得： x122ax1 80, 同理可得： x 222ax2 80, x12,x 2 是方程 x -2ax-8=0 的两根， x+x
13、 =2a,xa24· x =-8, 可得 AB 中点为（ a,）,12122y1y2x12x 22x1 x 2aa2a又 k AB44, 直线 AB的方程为 yx1x2x1x 242(2)x a ,22即 ya x2, AB 过定点（ 0，2） .2（）由（）知AB中点 N（ a, a24 ），直线 AB的方程为 ya x2,22当 a 0 时，则 AB 的中垂线方程为ya242xa , AB 的中垂线与直线y=-2 的交点 M的坐标为（ a312a , 2 ）,2a4- 6 -MN( a312aa) 2( 2a24 )21a28a2 4 ,224216a22a2a2AB1x1x 2
14、48 , 若 ABM为等边三角形，则4x1x 24MN3122243228 ,2AB ， （ a8） a4a 4 a16解得 a2=4, a=± 2, 此时 E（± 2,-2） ,当 a=0 时，经检验不存在满足条件的点E，综上可得：满足条件的点E存在，坐标为（ 2,-2 ）或（ -2 ， -2 ） .【变式备选】 已知两点M和 N 分别在直线 y=mx和 y=-mx(m 0) 上运 动，且 |MN|=2 ，动点 P 满足：2OPOMON （ O为坐标原点），点 P 的轨迹记为曲线C.（ 1）求曲线 C 的 方程，并讨论曲线 C 的类型；（ 2）过点（ 0， 1）作直线 l
15、 与曲线 C 交于不同的两点 A、 B，若对于任意 m 1，都有 AOB为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .【解析】（ 1）由 2OPOMON，得 P 是 MN的中点 .设 P（ x,y ）， M(x1,mx 1),N(x 2,-mx 2), 依题意得：x1x 22xmx1mx 2 2yx1x 22222，mx 1 mx 2消去 x ,x2，整理得x2y21.当 m 1 时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；11m 2m 2当 0 m 1 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当 m=1时，方程表示圆 .（ 2）由 m 1 知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，直线 l 与曲线 C 恒有两交点，
16、直线斜率不存在时不符合题意 .可设直线l 的方程为 y=kx+1 ，直线与椭圆交点A（x3,y 3),B(x 4,y 4).- 7 -ykx1x 2y21m4k2x22kx 1m20.1m2m2x 3x 42k2 , x3 x 41m 22 .m4km4ky3 y4kx 3 1 kx 41k 21m22k21 .m4k2m4k 2要使 AOB为锐角，只需 OAOB0,x 3x 4y3 y4m4k21 m21m4k 20.即 m4-(k2+1)m2+1 0，可得 m 212 k 21,m对于任意 m 1 恒成立 .而 m 212 2， k2+12,-1 k1.m所以 k 的取值范围是-1 ， 1
17、.【方法技巧】参数法求轨迹方程的技巧参数法是求轨迹方程的一种重要方法，其关键在于选择恰当的参数. 一般来说，选参数时要注意：（ 1）动点的变化是随着参数的变化而变化的，即参数要能真正反映动点的变化特征；（2）参数要与题设的已知量有着密切的联系；（3）参数 要便于轨迹条件中的各种相关量的计算，也便于消去. 常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.【探究创新】【解析】（ 1）设 M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),则x2y29，xx0 , y,MBx, y0 y .由2AMMB，00AM2xx 0xx 03x得解得22yy 0，yy 03y,代入 x 02y029，化简得点 M的轨
18、迹方程为x 2y21.4- 8 -（ 2）由题意知k 0,假设存在弦CD被直线 l 垂直平分，设直线CD的方程为 y1x b,ky1 xb由k消去 y 化简得x 2y21，4k 24 x 28kbx4k 2b210,8kb24 k 244k 2b2116k 2 k 2b2k 24 0，k 2b2k 240,设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ， CD中点 P(x p,y p),则 x 1x 28kb,k 2 4x1x 24kb,x p2k24y p1 x pb14kb4bk2 b ，kkk 2k 24又 ypk(4kbk21),44kb1)k2 bk 24222 0， k(242，得 b3k, 代入 kb -k -4kk4k 242k 24 0,得9解得 k2 5,5 k 5.当曲线 E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时，k 的取值范围是k 5或 k 5.- 9 -