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1、抛 物 线 的 简 单 几 何 性 质叶双能一. 教学目标：1. 掌握抛物线的简单几何性质2. 能够熟练运用性质解题3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.二. 教学重难点：重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用.易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零.三. 教学过程(一)复习回顾：(1 )抛物线y=aX( aO)的焦点坐标是；准线方程(2) 顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点M(1,4)，则抛物线的标准方程为.过点M 2,0作斜率为1的直线I，交抛物线y2 =4x于A,
2、 B两点， 求 | AB |(二)典例分析：例1.已知抛物线y? =4x,直线I过定点P -2,1，斜率为k. k为何值时， 直线I与抛物线y2 =4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有 公共点？设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线 与抛物线的位置关系.（2）掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法；（3）培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想.变式1 :已知抛物线方程y2 =4x，当b为何值时，直线I : y = x b与抛 物线（1）只有一个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共 点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b的最大值是多少？ 例2：过点Q 4,1作
3、抛物线y2 =8x的弦AB，恰好被点Q所平分.（1）求AB所在的直线方程；（2）求| AB|的长.变式1：斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A B两点，求线段AB的长.（教材69页例4）方法（一）方程联立-'求交点坐标-八根据两点间距离公式方法（二）方程联立> 根据韦达定理求X1+X2、运用弦长公式方法（三）（数形结合）方程联立> 根据韦达定理求X1+X2>运用焦点弦公式拓展：标准方程对应的焦点弦公式：（1）焦点在 x 轴上:AB|=x |+x2|+P（2）焦点在 y 轴上:|AB|=|y1 |+|y2|+p（由焦半径公式推导而来）变式2：
4、已知抛物线y2 - -x与直线y =k（x 1）相交于两点。(1) 求证：0A_ OB ；(2) 当OAB的面积等于.10时，求k的值(J )6(本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法(1) 分解成两个共底的三角形的面积之和)(2) 利用底乘高的一半公式)变式3：已知抛物线C: y2 =2x.(1).若直线y二kx k l与曲线C只有一个交点，求实数k的取值范围.(2) .求过点P 0,1且与抛物线C只有一个公共点的直线方程.(3) .过点A 1,1作抛物线C弦AB，恰好被点A所平分，求AB的直线方程和弦| AB |的长.(Z "严卜2) x=0或心或y舟+1);(3)0, 2x,
5、例3.过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(xy1 ), B(X2, y2)(1).求证:22Py2 二p 朴2 :4(2).求证AB =人+X2 +p =丄臭(日为直线的倾斜角)sin °(3).求证:1FA1FB(4).求证 A1FB1 =90°(5).求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.求证：以AF (或BF)为直径的圆与y轴相切(7) .求证：点A O B1三点共线.(8) .若 AF=a, BF|=b , M是 A1,B1 的中点，求证 MF| =血，变式练习：若抛物线的方程为x=2py，则能得到什么结论？例4 .已知抛物线C : y2 =
6、4x .(1) 在抛物线C上求一点P,使得点P到直线y = x 3的距离最短.(2) 在抛物线C上求一点P,使得点P到点A 3,0的距离最近，并求 最近的距离.(3) 若点A的坐标为1,1 ,在抛物线C上求一点P使得|PF | |PA |最 小,并求最小值.(4) 若点A的坐标为1,4，在抛物线C上找一点P使得|PF | |PA|最 小,并求最小值.(5) 在抛物线C上求一点P,使得点P到点A 0,2距离与P到准线 的距离之和最小，并求最小的值.(6 )求下列函数的最值.(1) zz 二 x - yx +2(7)过抛物线C的焦点F,做互相垂直的两条焦点弦 AB和CD求| AB| |CD |的最
7、小值.变式1:过抛物线y2=4ax(a 0)的焦点F,做互相垂直的两条焦点弦 AB和CD求| AB | | CD |的最小值.变式2:过定点M(4,0)作直线L,交抛物线y2 =4x于A B两点，F是 抛物线的焦点，求 AFB的面积的最小值。变式3:已知抛物线C: y2=4x的焦点为F,过点F的直线L与C相交于A B两点。(1)若AB = 6，求直线L的方程。(2)求AB的最小值。3例5.已知抛物线y过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于AgyJBgy)两点，如果 X1 +X2 =6，贝y | AB| =. 已知抛物线y2px(p 0)的焦点为 F ,点 P( x1 )%(卩2 ) X必)在
8、拋物线上，且X1RX3成等差数列，则 有( ) =2px(p 0)的动弦AB恒过定点M(2p,0)，求证:koA.koB变式1:若直线L与抛物线y2 = 2px(p 0)交于A、B两点，且OALOB，:求证：直线L过定点变式2:如图所示，F是抛物线y2=2px(p 0)的焦点，点A 4,2为抛物 线内一定点，点P为抛物线上一动点，且|PA| |PB|的最小值 为8.(1) 求抛物线的方程；(2) 若O为坐标原点，问是否存在点 M使过点M的动直线 与抛物线交于B,C两点，且 OB.OC=0，若存在，求出 定点M的坐标；若不存在，请说明理由.三.练习反馈：1.抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于
9、9的点的坐标为A. | FR | |FP2| FP3IB.|FR |2 - IFP2JFP3I2C.2|FP2 H FP31 | FP1 |D.|FP2|2=|FP3|.| FPil4 . 一个正三角形的三个顶点，都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点为坐标原点，求这个三角形的面积5. 直线y=x_2与抛物线y2 =2x相交于代B两点，求证：OA_OB6. 已知直线与抛物线y2=2px(p 0)交于A,B两点,OA_OB,且0D _ AB并交AB于点D,点D的坐标为 2,1 ,求p的值.7. 设直线y =2x b与抛物线y2 =4x交于A,B两点，已知弦|AB|=3 5 ,点P为抛物线上一点，S
10、.PAB =30,求点P的坐标(16,8 , 9,-6 )8. 过抛物线y2 =2px(p 0)焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.第2题 9 (05北京)如图，O为坐标原点，过点.P 2,0，且斜率为k的直线I交抛物线y2 =2x于M %畀，N两点.(1)写出直线I的方程；(2)求a与y2的值；(3)求证OM_ON10. 已知直线l :y二x b与抛物线y2二2x相交于两点A、B，求：(1)线段AB的中点M的轨迹方程；(2) b为何值时OA _ OB.11. 过抛物线y2二2x的焦点作倾斜角为450的弦AB，则弦450的长度是多少？变式1：已知抛物线y2=2x截直线y二X b所得的弦长为4，求b的值.变式2:已知抛物线y2二2x截直线kx 1所得的弦长为4 ,求k的值.（四）小节.