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1、双曲线与抛物线的参数方程（教学设计）教学目标：知识与技能目标：掌握双曲线与抛物线的参数方程，理解参数的几何意义。会用曲线的参数方程解决一些实际问题。过程与方法：通过双曲线与抛物线参数方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法。情感态度价值观：数学问题解法的多样性，思维多样性。教学重点：双曲线与抛物线参数方程的应用。教学难点：双曲线与抛物线参数方程的推导。教学过程：一、复习回顾：1、椭圆的参数方程：椭圆 x2y 21（ a>b>0）参 数方程xa cos（为参数）；a2b 2yb sin椭圆 bx22yxb cos1(a b 0) 的参数方程是为参数）22y（aa sin二、师生互动，新
2、课讲解：1、双曲线的参数方程的推导：1）双曲线 x 2y 21参数方程xa sec（为参数）a 2b 2yb tany2x2=1(a>0,b>0)xa sec双曲线a2-的参数方程为：（为参数）b2yb tan25002000PQ1500B1000500A-4000-3000-2000-1000100020003000M40005000-500-1000-1500-2000-2500-3000-35002、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法如果 x 对应的参数形式是sec ，则焦点在x 轴上如果 y 对应的参数形式是sec ，则焦点在y 轴上例 1：如图，设 M为双曲线 x2
3、y21（ a>0,b>0 ）任意一点， O为原点，过点M作双曲线两渐近线a2b2的平行线，分别与两渐近线交于A， B 两点，探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？变式训练1：化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法？a1xa (ete t)2(t为参数 ,a>0, b>0)x(t）b (et2t(t为参数 ,a>0,b>0 )ye t)b12y(t)2t小结：参数方程的表示不唯一，如何判断是哪种曲线，必须化为普通方程。4、抛物线的参数方程的推导：1）抛物线方程 y2 2px(p>0)x 2pt 2的参数方程为(t
4、 为参数 ).y 2pt2x2 pt2）抛物线方程x =2py(p>0)的参数方程为y2 pt 2 （ t 为参数）3）抛物线方程y2=-2px (p>0)的参数方程为4）抛物线方程2的参数方程为x = -2py (p>0)x 2 pt 2 （ t 为参数）y2 ptx2 pty2pt 2例 2：如图 O是直角坐标原点， A， B 是抛物线 y2=2px (p>0) 上异于顶点的两动点，且 OA OB， OM AB并于 AB 相交于点 M，求点 M的轨迹方程。变式训练2（探究）在本例中，点A、 B在什么位置时，AOB的面积最小？最小值是多少？课堂练习：、若曲线x2 pt
5、 2为参数)上异于原点的不同两点，M 2所对应的参数分别是t1, t2 ,则弦M1M 21y(tM 12pt所在直线的斜率是（）、t2， 、，、 1，D、 1A t1B t1 t2Ct1 t2t1 t22、设 M 为抛物线 y22 x上的动点，给定点M 0 ( 1,0)，点 P为线段 M 0M 的中点，求点P的轨迹方程。三、课堂小结，巩固反思：、1、双曲线的参数方程；2、抛物线的参数方程。3. 对同一条曲线选取不同的参数，就得到不同形式的参数方程，对圆锥曲线的参数方程，只要求掌握上述几种4. 在研究圆锥曲线上的动点或未知点的有关问题时，可利用其参数方程设出点的坐标，从而拓广了解决问题的途径，优
6、化了解题思路 .形式 .5. 利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般不考虑参数的几何意义，只利用参数方程的外在形式.四、课时必记：1、双曲线的参数方程1）双曲线 x 2y 21参数方程xa sec（为参数）a 2b 2yb tan2）双曲线y2x2xa sec为参数）a2- b2 =1(a>0,b>0) 的参数方程为：（yb tan2、抛物线的参数方程：1）抛物线方程y2 2px(p>0) 的参数方程为x 2pt 2(t为参数 ).y 2pt2x2 pt2）抛物线方程x =2py(p>0)的参数方程为y2 pt 2（ t 为参数）3）抛物线方程y2=-2px (p>0
7、)的参数方程为4）抛物线方程x2= -2py (p>0)的参数方程为x 2 pt 2 （ t 为参数）y2 ptx2 pty2pt 2五、分层作业：1双曲线x 2 3tan ，y 6sec (为参数 )的两焦点坐标是 ()A (0， 43)， (0， 4 3)B ( 4 3， 0)， (4 3， 0)C(0，3)， (0， 3)D ( 3， 0)， ( 3， 0)解： A cos ，2参数方程x sin 22( 为参数 )的普通方程为 ()y 2sinA y2 x2 1B x2 y2 1C y2 x2 1(|x| 2)D x2 y2 1(|x| 2)解： Cx t2，3点 P(1， 0)
8、到曲线(t 为参数， t R)上的点的最短距离为 ()y 2tA 0B 1C. 2D 2解： Bx2pt，M1、 M2 所对应的参数分别是t1、t2，则弦 M1M24若曲线y2pt2 (t 为参数 )上异于原点的不同两点所在直线的斜率是 ()A t1 t2B t1t2C.1D.1 tt1t2t1 2解： Ax3sec 2，5双曲线的顶点坐标为 _y tan 2解： (3， 0)、 (3， 0)x t2，6圆锥曲线( t 为参数 )的焦点坐标是 _y 2t解： (1，0)B 组：1、（课本 P34 习题 3.2 NO:3 ）a证明： 设等轴双曲线的普通方程为x2 y2 a2(a>0)，则它
9、的参数方程为x cos ， ( 为参数 )，设y atan aM cos ， atan 是 双 曲 线上 任 意 一 点 ， 则 点 M到 两 渐 近线 y x 及 y x的距离之积是aaa2 atan atan2tan | 2| 2 acos cos cos a12 12·12 1222 (常数 )2、（课本 P34 习题 3.2 NO:4 ）证明： 设点 A，B 的坐标分别为 (2pt12，2pt1 )，(2pt22， 2pt2)，则点 C 的坐标为 (2pt22， 2pt2)直线 AB的方程为 y2pt112y 2pt112 t (x 2pt1)，所以点 D 的坐标为 ( 2p
10、t1t2，0)直线 AC 的方程为 t (x 2pt1)，t12t12所以 E 的坐标为 (2pt1t2， 0)因为 DE 的中点为原点 O(0， 0)，所以抛物线的顶点O 平分线段 DE .3、（课本 P34 习题 3.2 NO:5 ）解析：直线 OA 的方程为 y kx，直线 OB 的方程为 y1x.解方程组y kx，2p，2p；k得点 A 的坐标是2ky2 2pxk12p2k2 2pky kx，2， 2pk)设点 M(x， y)，则 xp2， y解方程组得点 B 的坐标是 (2pk的坐标为2k2 pky2 2px2p 2pkxp2，k2 pk kp pk，所以线段 AB 的中点 M 的轨迹的参数方程是(k 为参数 )2kyp pkk