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1、中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。一、三角形的一条中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，人。是4 ABC的中线，贝0 Saabe=Saacd= - Saabc （因为 ABD与 A ACD是等底同高的）。例1.如图2，A ABC中，AD是中线，延长 AD到E,使DE=AD DF是A DCE的中线。已知AABC的面积为2,求：A CDF的面积。丄 丄解：因为 AD是A ABC的中线，所以 Saacd=上Sa
2、 abc=二X 2=1，又因CD是A ACE的中线，故 SA CDE=Sa AC=1，J_ £ J_因 DF是A CDE的中线，所以 Sacdf=二 Sacde= - X 1=。 A CDF的面积为 -。二、由中点应想到利用三角形的中位线例2如图3,在四边形 ABCD中，AB=C E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G H。求证：/ BGE=/ CHE证明：连结 BD,并取 BD的中点为 M,连结 ME MF/ ME是厶BCD的中位线，1/ ME - J CD, / MEF=/ CHE/ MF是厶ABD的中位线，1/ 7 MF - - AB, / MFE
3、" BGE/ AB=CD, ME=MF - / MEF玄 MFE从而/ BGEN CHE三、由中线应想到延长中线，使延长的部分等于中线长例3.如图4,已知 ABC中，AB=5, AC=3,连BC上的中线 AD=2,求BC的长解：延长 AD到 E,使 DE=AD 贝0 AE=2AD=2X 2=4。在 A ACD和厶 EBD中 ,/ AD=ED, / ADC=/ EDB CD=BD A ACDA EBD, AC=BE ,从而 BE=AC=3在 A ABE 中，因 AE2+B=42+32=25=AB2 ,故/ E=90° , BD= '：'':,=-、，=
4、.；，故 BC=2BD=2 '-。例4 如图5,已知 ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中 线。求证： ABC是等腰三角形。证明：延长 AD到E,使DE=AD仿例 3 可证： BEDA CAD,故 EB=AC / E=Z 2,又/ 仁/2,/仁/E,. AB=EB，从而AB=AC即A ABC是等腰三角形。四、由直角三角形应想到它的斜边中线的性质例5.如图6,已知梯形 ABCD中, AB/DC , AC丄BC, AD丄BD,求证：AC=BD证明： 取AB的中点E,连结DE CE贝0 DEA ABC斜边 AB上的中线，故 DE=CE= - AB,因此/CE分别为 Rt
5、A ABD RtCDE=/ DCE/ AB/DC , / CDE=/ 1，/ DCE=/ 2 , / 仁 / 2 ,在A ADE和 A BCE中,/ DE=CE, / 仁/ 2 , AE=BEA ADEA BCE - AD=BC,从而梯形 ABCD是等腰梯形，因此 AC=BD五、由平分一个角且与一条线垂直的线段，应想到该线段是某个等腰三角形的中线例6 .如图7 , A ABC是等腰直角三角形， / BAC=90° , BD平分/ ABC交AC于点D, CE交BD的延长线于点 E。求证：BD=2CE证明：延长 BA, CE交于点 卩，在4 BEF和厶BEC中,/ 仁/2, BE=BE
6、/ BEF=Z BEC=90 , BEFA BEC, EF=EC，从而 CF=2CE又/ 1 + Z F=Z 3+ / F=90°,故/ 仁/3在A ABD和 A ACF中，J / 1 = / 3, AB=AC / BAD=Z CAF=90 ,A ABDA ACF,： BD=CF,. BD=2CE。注：此例中BE是等腰A BCF的底边CF的中线。与中点有关的辅助线作法例析安徽省利辛县教育局督导室夏飞线段的中点是几何图形中的一个特殊点.在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，贝U是处理中点问题的关键.但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。
7、下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法.一、遇到中点找中点这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位 线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线.例1 :如图1 ,二,E、F分别为BC、AD的中点，射线 BA、EF交于点G,射线CD、EF交于点H .求证：二三三三二-二Y三分析：连接AC,并取其中点P,构造 PEF,证明S = FF，再利用中位线的性质即可得证.证明：连接AC,取AC的中点P,连接PE、PF.J E 为 BC 的中点， PE/ AB ,
8、-,同理 PF / CD,-.由 PE / AB，得一J - FSS ,由 PF / CD，得CFiS = x_55S_r 二込=-二上三.说明：已知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线.二、遇到中点作中线这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质.因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线.例2 :如图2, ABC中，二占二二二，AD为高，E为BC的中点，求证：2.分析：在厶ABC中，出现了 Rt ADC和Rt ADB这两个直角三角形； 又因为E为BC的中点，即题目中有中点与直角
9、三角形的条件按照“遇到中点找中点”的方法，可取Rt ADC斜边AC的中点F （或AB的中点），连接 EF，即得 ABC的中位线；再依据“遇 到中点作中线”的方法，连接DF，即得到 Rt ADC斜边AC上的中线，然后只要证明EF = -AB2 即可.证明：取AC的中点F，连接EF、DF.SF = -AB E、F 分别为 BC、AC 的中点， EF / AB，；./ AD是高， ADC是直角三角形.DF = -AC=FC又 F为斜边AC的中点，】，二1 =二1 .由 EF / AB，得一二王二-=.又 1 + Z2，疋1 = 2 .DE 二 SF = -AB二 .说明：若一点是直角三角形斜边的中点
10、或等腰三角形底边的中点，则应常想到作中线.三、遇到中点倍长线段这种方法是指：若图中出现由中点引出的线段，则应常想到成倍延长这一线段，可为解题提供更为广阔的思路.例3:如图3，在 ABC中，已知D为BC边中点，FD丄ED于点D，交AB、AC于点F、E.求证:BFaE>EF分析：待证的线段BF、CE、EF之间没有明显关系。但点D是BC边的中点，故应考虑倍长ED （倍长FD也可）到点G,连结BG、FG, BGD CED，所以匸匚一己二，又因为 FD丄ED ,则5'?= jFh ,这样就把BF、CE、EF转移到了厶BFG中，再利用三角形三边关系即可证得结论.证明：延长ED到G ,使三二三
11、匸.点D是BC边的中点，三二二 二,又_=* =亠三:', BGD CED ,工二 EC ;在厶FGE中，三匚二,FD 丄 ED，P,在厶FGE中，三1 -三"F 了 ,三三一匚三 £5 .说明：“倍长线段”法在解题过程中有着很重要的作用，通过倍长相应的线段，再结合 相应的条件可得到全等三角形，从而可转移边、角但须注意它的使用前提是已知条件中存在着线 段的中点.四、遇到中点，且结论为比例式时，常过中点作平行线在解决有些几何问题中， 尽管遇到了中点， 但要证明的结论是比例式，此时可考虑过中点作平行线.例4:如图4,过厶ABC的顶点C任作一直线，与边 AB及中线AD分别
12、交于点F、E.求证：-壬；三二=二弓:戶三分析：AD是中线，则D为BC的中点，要证明的结论为比例式，且AE、ED又不在一DM = -BP 个三角形内，为此，可过D点作DM / AB，可知DM是厶BFC的中位线则有- 同时又可证得 AEFDME，则有 ： 1= ： -2'1，接下去利用等量代换即可证得结论成立.证明：过点D作DM / AB交CE于M，则：AE. ED = AF. DM三_ 二二，DM / AB ,上二一, DM 是厶BCF的中位线,DM=-BF - .在厶AEF与厶DME中,=二mm, AEF s DME ,崔 5ASi ED=A-FB 】,即.芸；上_-=二；上三注：此
13、例也可按照“遇到中点找中点”的方法，取 FC的中点M,然后连接DM . 说明：中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果 能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题迅速得到解决.五、遇到线段垂直平分线上的点，则常将这一点与线段的端点连接起来由于“线段垂直平分线上的点， 到线段两端点的距离相等”，所以可根据这一性质定理， 若遇到线段垂直平分线上的点， 则常将这一点与线段的端点连接起来， 往往可使问题变得简 便，从而顺利证得结论成立.例5、如图5，设P是等边ABC的BC边上任一点，连接 AP,作AP的中垂线交 AB、AC于M、N .求证：三丄口 -二匚上三丄江
14、二匚.分析：连接PM、PN.因为MN是AP的中垂线，所以 m丄亡,则厶MPNMAN，于是有'：-.又由于 Z.5MP+ LBPM = £NPC+BPM = 120，可得：三/航，于是 有厶BPMCNP，于是可证得 三F F二二EUf 7.7 .证明：连接PM、PN .在AMPN与MAN中，/ MN是AP的中垂线，斫二伽 NP = NA ? ?MN是公共边， AMPN MAN ( SSS),亠二 m :：AU-,ABPM sCNP ,从上述几例含有中点条件的问题可以看出，在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，或题中已知条件出现了中点与其它条件的组合，则要由中点联想到作三角形的中线、中位线，或加倍延长线段等方法添加辅助线，然后依据相关性质，通过探索，即可迅速 找到解决问题的途径或方法.