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1、平面问题总刚度矩阵的组集单元刚度矩阵 T扩展T叠加三角形单元的单元刚度矩阵单元结点力与单元结点位移之间的关系Ke e = Feknk12k13k14k15kJikk21k22k23k24kk26k3ik32k33k34k36Ke=11k41k42k43k44k46kk51k52k53k54k56k61k62k63k64k66 J£11乍JIPe1 卜F1FelFjD1J将单元刚度矩阵按单元结点号分块、命名ri 12沪21上2213 片 14 % &24片15切 為5 *26 "2 褊1七42*33.3443片 44七35*3645十酗島1片52%54片55片56_6
2、1 %魅4%抵_KeKeI e_KeKeKeFie9个子块!例：设系统的结点数为6, e为系统中的一个三角形单元，三个定点的编码分别为 1, 5, 6KeKeKe1 丨(FeKi1Ki551厂1K：1k：5K56F5e(K：i K：5 K汕 6】底扩展：将各子块按下标放在总刚度矩阵对应的位置KeoooKie5Ki訂oooo0o!eoooo0oK扩oooo0ok；oook550!1爲ooook66j叠加扩展后的单元刚度矩阵得原始总刚度矩阵原始总刚度矩阵：解除所有约束的结构的总刚度矩阵引入边界条件69页例题原始方程 K=PK 12 行、12 列 二 12345（T =Ui V U V2 u V3
3、u W U V U 莎=0 v1 0 v2 u3 Vs 0 0 u5 0 u6 0TPHP £ P3 P4 P5 P6T =Rx -10R2X 000 R4x R4y 0 R5y 0 只69（1）手算：划去方程组的第 1、3、7、8、10、12个方程以 及总刚余下的行中的第 1、3、7、8、10、12列元素，得引 入边界条件后的总刚度矩阵 K珥PK 6 行、6 列 =V1 V2 U3 V3 U5 U6TP =-10 0 0 0 0 0T（2）机解：置大数法将位移为零的自由度所对应的总刚度矩阵的对角线元素乘 以一个大数，载荷对应项置零。例如，上例中U2 7, U2对应的自由度的序号为
4、3,贝y将原始 总刚中的k33乘以一个大数，比如1010 ,并将P3赋零（原为R2x ）, 这时方程组的第三个方程成为：10k31U1k32V110k33U2k34V2k35U3k36V3 k311U6k312V= 0注意，方程左边的各项与第三项相比均可忽略，即上述方程 近似等价于：10l°k33U2=0 而k33不为零，所以这时方程所 表示的意义就是 u2 = 0置大数后各矩阵的改变:K的维数不变，与受约束自由度对应的对角线元素被 改变； S没有改变；P的维数不变，与受约束自由度对应的元素均为零。等效结点载荷一非结点载荷的处理 静力等效原则：转换后的结点载荷与原载荷在任意虚位移上
5、的虚功相等1. 集中力的等效： e* TP" M T円二呼区yM)T P M 二N (xm , yM )*I pe|N(XM yM )TPNmTP例：图示三角形单元ijk的边界jk上作用有沿x方向的集 中力P,力的作用点的坐标为 (0.5,0.75 ),求力P的等效结 点载荷y10. 5N 0“解： p = *'P,0Nm =10Nj0Nk0 1Ni0N j 0Nk 一x=0.5y=0.75 P® = Nm T p=求 Nj(x,y)Ni0Nj0NkNi0Nj0N k x.5-y .75fPl -讣Ni 0Nj0 Nkl.T0 x.5-yj.75Nj(x,y)二印
6、a2X a3yNi(Xi,yJ = M(0,0) =1=Ni(Xjy)二 Ni(2,0) =0 二Ni(Xk,yQ 側(1,0) =0 二3i = 1Aa1 2a2 = 0= a2-2a1 a3 = 0= a3 - -1二 N j (x, y) =1 0.5x - y汕(0.5, 0.75) =1-0.5 0.5-0.75=0(2) 求 Nj(x, y)Nj(x, y)二 d Qxb3yNj(Xj,yJ 二 Nj(0,0) =0Nj(Xjy)=叫(2,0)=1MU 二 M(1,0) =0解得b| = 0b2 二 0.5 b3 = 0二 Nj(x, y)=0.5xNj (0.5,0.75) =0
7、.5 0.5=0.25(3) 求 Nk(x, y)Nk(x, y)二 C1C2XC3yNk(x,yJ 二 Nk(0,0) =0Nk(Xjy)二NQO) =0NgyQ 二 Nk(1,0) =1解得 G = 0 c2 = 0c3 = 1二 Nk(x, y) = yNj (0.5,0.75) =0.75eeeeeeeT P = Pix Piy Pjx Pjy Pkx Pky=000.25P 00.75P0T0. 75P形函数的几何意义在下图中，Aijk位于xoy平面内，ii 'jj 'kk '分别垂直于xoy平面kNi(x,y)Nj(x, y)Nk(x, y)和& &
8、#39;ik为直角三角形和冯jk为直角三角形和Ak ji为直角三角形上例:三角形单元ijk的边界jk上作用有沿x方向的集中力P,力的作用点的坐标为(0.5,0.75),计算力P的等效节点载荷yjk 2x= =0.75jkx =1- 0.750.25=Nj(0.5,0.75)ykMjk互二 0.252k1jk二 0.25x =1-0.25=0.75=Nk(0.5,0.75)2. 分布力的等效(面力、体力)如果单元上受的载荷是分布载荷q(x,y),作用在面积微元dxdy上的力为q(x,y)dxdy,他的等效结点载荷为dpe，即dpe二N(x, y)Tq(x, y)dxdy pe|N(x,y)Tq(
9、x,y)dxdy3. 组集结点载荷向量在上例中，如果系统所受载荷如下图所示，则结点3的等效结点载荷应为：J > J M P：4）卜f3x卜.P3ylP3yJ P3y J3y JmP=瓦 pe + fiixixixe第i个结点的载荷：mP= E pe + f.iyiyiye出作业1.证明单元的形函数N,x,y), Nj(x,y), Nk(x,y)满足Nj(x,y) Nj(x,y) Nk(x,y) = 12 .已知矩形单元的四个顶点坐标分别为：i(-1,-1), j(1,-1),k(1,1),m(-1,1)。求该 单元的4个形函数Ni(x, y)，Nj(x,y)， N/x, y)， Nm(x, y)。(二次项取 xy) 3.求图示等腰直角三角形单元的分布载荷和重力Q(作用在重心)的等效结点载荷。4. 求图示系统4个结点的等效载荷，集中力 Q均作用在三 角形的重心。