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1、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®对称轴7.7用弹性中心法计算对称无钱拱 、弹性中心为了简化计算，采用以下两项简化措施:第一选取对称的基本结构力法方程简化为两组独立的方 程,即几 + 8n X 2 + J1P = 0 込X +叭2 X? + 厶=033 X 3 + 3P = °第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数&2和西1也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一元一次方程:几 X + Jlp =0 22 X 2 + J2p = 0 下面，说明如何利用刚臂来达到上“33 X3 + 3p = 0j述简化目的。第一步，把原来的
2、无较拱换成带刚 臂的无较拱,这个带刚臂的无较拱与 原来的无較拱是等效的，可以相互 代替。第二步，选取基本体系。将带刚臂的无较拱在刚臂下端。处 切开。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点。的位置。副系数512的算式如下All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®c M ,M .cEIr N1 r N2 ,fS + 为 JEAGAAll Rights Rese
3、rved重庆大学土木工程学院®All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®二二 1,和=:0,爲=0M2 :=y-儿，你2 -cos% Fq? = sin (pM.=二 X,=sin (p.F1 Q3-COS(P式中，比为刚臂长度；0为 截面处拱轴切线与水平线之 间的夹角，在右半拱取正， 左半拱取负。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®叭2 = 21 =XUds + O + O訂丄ds创丄dsEIJ ElJ EI令512=力21=0，便可得到刚臂长度ys为
4、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®EI(7-14)弹性中心ysAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院®为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等 于1/刃的图形，则(WET代表此图中的微面积，而式(7-14)就 是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结 构的弹性性质刃有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹性中心。如果先按式(7-14)求出比，即确定弹性中心的位置，并将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图7-37d所示带刚臂的 基本体系，
5、则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法 就称为弹性中心法。、荷载作用下的计算力法方程简化为式几 X + J1P = 0§22 X 2 +2P = 0"3X3 + 3P = 0当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时,或拱髙fv5时，或拱高f5且拱顶截面高度饥旳0时，还需 考虑轴力对心2的影响。即/ p=f=fEld5 = f（，5）' d5 +EA El2COS （P dsEA*2 2M 3r xds = f dsEl J ElJ El=c性性_ds J El訂 M N pJ ElMR由力法方程算出多余未
6、知力X" E和&后，即可用隔离 体的平衡条件或内力叠加公式参见单位未知力引起的内力表 达式（d）求得M = X + X°（y -1）+ %3兀 + M p Fq = X ° sin © + X 3 cos cp + FQPFn = X 2 cos 0 + X 3 sin 0 + FNpID式中，Mp、Fqp和Fnp分别为基本结构在荷载作用下该截面的 弯矩.剪力和轴力。弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次 超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院® XqdssinO 飞RB
7、qds gdscosOlK.0 I WF 勺eX.q曰djfr-fflXX、 y基本体系此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因(qds) cos 9 = qdx(qds) sin 0 = qdy由于荷载对称，故反对称力E=0All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®(1)求弹性中心位置Rcos 0)Rd3 +=0.81/?dsEI2EI71R(e +22R訂3All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®(2)计算系数和自由项由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为1) 在u作用下直、曲杆段2) 在X2=l作用下XAll Rights Re
8、served重庆大学土木工程学院®曲杆段直杆段M 2 二 y 儿二尺(1 cos &) -0.81 R = 7?(0.19 -cos 0M 2 = 丁一儿=歹一 0.817?3）在荷载作用下Mp（曲杆段）All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®曲杆段 Mp = -(7?sin A - (1-cos A = -7? 2 (1-cos &)2 222直杆段込一匚2 2据此，可求得系数和自由项为11J EI lxRd0 + 2Rlxdy =14 REI JoEI J REIA
9、ll Rights Reserved重庆大学土木工程学院®ApS22 = ds =J El/?2(019-cos&)映 d& +c M p2 rJ EIEl J22HEl2El2y-O.81/?)2dy =R712 - 1 x qR 2 (1 - cos e)Rd& o2+ )dj =2 2：ix（护q'R4A1 qR3El沁dsEl2 -f 2 -尺(0.19El Jo-cos &) x qR 2 (1 - cos O)RAO2.04/?3EI2+ El2R-(y 0.81/?) x (RqR 2+22qy “ )dy2 2A3qR4ElAl
10、l Rights Reserved重庆大学土木工程学院®(3)求多余未知力X和&3/ip 4.47 qR % EI _ q 87 qR 2 几EI5.14 7?X 2 =-2.43 於 EI =1 込 2EI2.04/?'(4)根据叠加公式，求得M A = X + X 2(y - y s) + M P.qR 2 q(2Rf=0.87 qR - +l14q/?(2/? 0817?) + 2 2=-0.27 qR 2 (外侧受拉)Mc = Xj - X2ys = O.SlqR2 -1.14qR x 0.81Z? = -0.05qR2 (外侧受拉)三、温度变化时的计算2 F
11、 2y基本体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®无较拱在温度变化时，将会产生明显的内力。设图74対所示 对称无较拱的外侧温度升高（1°C,内侧温度升高力法计算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图741b所示。由于温 度变化对称于y轴，因此X3=0,力法方程简化为几小+久=022 X 2 + J2r = °(7-16)主系数计算同式(7J5),自由项为ds +(0分别把臥二1、(f)，得和Fni = 0、Fn2 二-cos 0 代入式于是有ds-a At J hX = 0,
12、 x22c COS cp ds+ f dsJ EA这表明，当全拱内外侧温度均匀改变时，在弹性中心处只有水平多余力当温度升高时，&为正方向，使拱截面内产生压力；温度降低时，X2为反方向，使拱截面内产生拉力。对 于混凝土拱，应注意避免由于降温引起的拉力使拱产生裂缝。当多余未知力确定以后，拱上任意截面的内力均可按式(e) (令荷载项为零)求出。混凝土的收缩对超静定结构的影响与温度均匀下降的情况相似，故可用温度均匀变化的计算方式来处理。混凝土的 温度线膨胀系数为« =0.00001,而一般混凝土的收缩率必约为 0.025%,相当于温度均匀下降25°C»若拱体的混凝
13、土是分段 分期浇筑的，则其收缩的影响通常相当于温度下降10°C15C。四、支座移动时的计算力法方程为几 X|+/0、<522X2 + J2c = 0 >$33 X 3 + 3c = ° .式中，主系数计算同式(7-15),自由项 为基本体系血一工斥° (QAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院®求出各单位多余力作用于基本结构时与支座位移相应的支座反力(图7-42c),代入式(g),得儿=一(一1 x 0) = 02c 二 _ 一(/ _ 儿' )X 0 _ 1 X=(f ys )& + q1=-(x &am
14、p; + 1 x b)=201 b2All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®于是有_9dsJ EIX2Ac5 22 (了-儿)。(yEI丄d$+ a2> COS (PdsEAX?A, 久391 b2All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®当多余未知力确定以后，拱上任意截面的 内力均可按式（e）（令荷载项为零）求出。与其它超静定结构一样，无较拱由于温度III变化和支座移动引起的内力也与拱的绝对刚度 有关，且成正比，拱的刚度愈大，由于温度变 化或支座移动所引起的自内力也愈大。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院®