《三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质53915.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质53915.docx（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1. O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0；1若 O 是 ABC 的重心，则 S BOC AOCAOB 3S AB C 故 OA OB OC 0；uuuru u uruuiruuurPG1-( PA PB PC ) G 为 ABC 的重心.3tan A : tan B : tan C2. O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA若O是ABC （非直角三角形）的垂心，则S BOC ： S AOC ： S AOB故tan AOA tan BOB tan COC 01 2 2- 23. O
2、 是 ABC 的外心 |OA I |OB| |OC|(或 OA OB OC)若 O 是 ABC 的外心贝S BOC： S AOC： S AOB Sin BOC：sin AOC：sin AOB sin2A : sin2B : sin2c故 sin2AOA sin 2BOB sin2COC 0OA' (JOB' (&)Ob (/&)04. O 是内心 ABC 的充要条件是 |AB |AC|BA |BC |1cA 11cBi引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB,BC,CA的单位向量为e1，e2，e3,则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成0A (e1 e3)
3、OB (e1 e2) OC (e2 e3) 0 , O是ABC内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0 。若O是 ABC的内心，则S BOC :S AOC : S AOB故 aOA bOB cOC M sin AOA uuur uuir uur uuu uuu uur r| AB | PC |BC | PA | CA | PB 0P 是uuu uuur向量(堆辟 -ACL)(0)所在直线过| AB| |AC|分线所在直线)；范 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查sin BOB sin COC 0；)ABC的内心；ABC的内心（是 BAC的角平例1 . O是平面上的一定点，A,B,C
4、是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA0,则P点的轨迹一定通过 ABC的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 只供学习与交流此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除ABuuuuuu uur解析：因为fB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2 ,又ABOP OA AP ,则原式可化为AP（e e2）,由菱形的基本性质知AP平分 BAC ,那么在ABC 中，AP平分 BAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是4ABC所在平面内任一点，ha HB HB HC HC HA 点H是4ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB （
5、HC HA） 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB , HA BC.故H是 ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是 ABC所在平面上一点，若 PAPB PB PC PCPA,则P是4ABC的（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由 PA PB PB Pd得 PA PB PB PC 0 .即 PB （PA PC） 0,即PB CA 0则PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P为ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”/；例4.G是4ABC所在平面内一点，Ga gb GC=0 点G是ABM/叶、重心.卡呆证明 作图如右，图中GB
6、gC gE'连结BE和CE, WJ CE=GB, BE=GC BGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将而 GC GE 代入 GA GB GC =0,得GA EG=0 Ga Ge 2Gd ,故G是 ABC的重心.（反之亦然（证略）例5.P是4ABC所在平面内任一点.G是 ABC的重心 pG -（pA pB PC）.3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG （AG BG CG） （PA PB PC）. G 是 ABC 的重心 .Ga Gb Gc=0 ag bg Cg =0,即 3PG pa pb pc由此可得PG -（PA PB PC）.（反之亦然（证略
7、） 3uuu uur umr r例6若O为ABC内一点，OA OB OC 0 ,则O是ABC的（）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心只供学习与交流此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除解析：由uuu uuu uuur r uuu uuurOA OB OC 0 得 OB OCuuu uuurOB OCuuuuuur i uuurOD ,由平行四边形性质知 OE OD ,OA 2OE ,同理可证其它两边上的这个性uuuOA,如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，则只供学习与交流质，所以是重心，选Do（四）将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为ABC内一点,uuuOAuuurOBuuur
8、OC ,则O是ABC的(A.内心B.外心 C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选B。 （五）将平面向量与三角形四心结合考查例8.求证证明已知向量 op； , OP2 , op3 满足条件 op； + op；+op3 =0, |op1 |=|op2 |=|op3 |=i, PiP2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题） 由已知Op； + 0P2=-0?3 两边平方得 丽 - OP2 =-,2同理OP2 - OP3 =OP3 OPi朋|=|获质 |=由,从而 PlP2P3是正三角形.反之，若点。是正三角形Pip2P3 的中心
9、，则显然有 OPi+OP2+OP3 =0 且 |OPi | = |OP2 |=|OP3 |.即。是4ABC所在平面内一点,OPi +OP2 +OP3 =0且|OPi |=|OP2 |=|OP3 | 点 O 是正 PiP2P3的中心.例9.在ABC,已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： Q G H三点共 线，且 QG:GH=i:2设 A(0,0)、BXi,0)、【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系C（X2,y 2） , D E、F分别为AB BC AC的中点，则有：xiD ( ,0)、2xi x2G (3xE(-y 23i x 22 uuuu)AH
10、y2x2 y2江)、F(,22 2uuur(x2，y4)QF (uuuBC (xuuuuQ AHXi，y2）uuur BCuuuu umrAH?BC x2(x2 xi) y2y4 0 x2(x2 xi)y2uurQQFuuuuuiu ACuuuu）由题设可设x2xi y2()一222QF ?AC*2(x2 xi)y 3八2y 2x1) y22y22y3)0uuurQH(X2Xi万,y4丫3)2x 2 x13X2(X2 Xi)也) 一瓦一万LULTQGXiXi2y2、万y3)2x 26X2(X2 Xi)y2(2X2 Xi63x2(x2 X1)6y2y2、 i/x2T) 3rXi2y23x 2(X
11、22y2Xi)y22i uuur =-QHLULUuuur3即QH =3QG，故Q G H三点共线，且QG GH=i： 2例i0.若 O、H分别是 ABC的外心和垂心.求证OH OA OB OC .证明 若zXABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD, CD.AD AB , CD BC .又垂心为 H, AH BC , CH AB , .AH / CD, CH /AD, 一四边形AHCD为平行四边形，AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：(i)三角形的外心、重心
12、、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例ii. 设O、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 og -oh3证明 按重心定理 G是 abc的重心 oG -(oA oB oc)3按垂心定理 oH OA OB Oc由此可得 oG -OH .3补充练习i,已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP = 1 (-OA+-oB+2oC),则点 P一定为三角形 ABC 的(B )3 22A.AB边中线的中
13、点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点i ii1 . B 取 AB 边的中点 M,则 OA OB 2OM，由 OP =- (OA + OB+2OC)可得 一 一 一3223OP 3OM 2MC ,；加 2MC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且 3点P不过重心，故选B.ULULiruuuuuinuuuuuu uuuuuruuuuuir222222 .在同一个平面上有abc及一点o酒足关系式： oa + BC = OB + CA = OC +山嗅、，一山，一、AB ,则。为 ABC 的 ( D )A 外心 B 内心 C重心 D 垂心uuu uuu uuir3
14、.已知 ABC的三个顶点 A、B、C及平面内一点 P满足：PA PB PC 0,则P为 ABC的( C )A 外心 B 内心 C重心 D 垂心4 .已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足：OP oA (aB AC),则P的轨迹一定通过 ABC的( C )A 外心 B 内心 C重心 D 垂心5 .已知 ABC, P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足：uuu uur uuu uuu uuu uuirPA?PC PA?PB PB?PC 0,则P点为三角形的( D )A 外心 B 内心 C重心 D 垂心uuu uuuuuir6 .已知AABC, P为三角形所在平面
15、上的一点，且点 P满足：a PA b PB c?PC 0,则P点为三角形的A 外心 B 内心 C 重心 D.26.在三角形ABC中，动点P满足：CA(B )A 外心 B 内心 C 重心 D(B )垂心 2 一CB 2AB?CP,则P点轨迹一定通过 ABC的:垂心7.已知非零向量AB与AC满足(A.三边均不相等的三角形AB AC |AB| +|AC|)B.直角三角形一厂 aBaCi 、，BC=0=3 ,则AABC 为()|AB|A C| 2C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足uuu (福|AB| |AC|uuirAC加u-)=0,即角 A的平分线垂直于BC, AB=AC,又uu
16、ir uuurcosA-uuB- AC =J , /A=,所以 ABC为等边三角形，选D. |AB | |AC | 238 . ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH m(OA OB OC),则实数m=/9 .点O是 ABC所在平面内的一点，满足 OA OB OB OC OC OA ,则点O是 ABC的(B )(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点uuuv uuv10 .如图1,已知点G是 ABC的重心，过G乍直线与AB, AC两边分别交于M N两点，且AM xAB ,uuu/uuiv1 1AN yAC，贝卜一3
17、 x y此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除uuv UJUT证 点G是ABC的重心，知GA GBUULV uuv uuuv uuv uuuv , uuv得 AG (AB AG) (AC AG) O,有 AG上)，uuu/GC O,1 uuv uuuv-(AB AC)。又M, N, G三点共线(A不在直线MN31),uuvuuuvuuu/于是存在,uuu/ 有AGuuuv xAB,使得AGAMAN (且uuLV 1 uuv uuuvyAC=-(AB AC),例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2 、向量的加法、数量积等性质3
18、、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4 、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习- 2 2 21.1 已知O是 ABC内的一点，若OA OB OC ,则O是4人3。勺A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心1.2 在ABC+,有命题 AB AC BC；AB BC CA 0 ;若 AB AC ? AB AC 0,则ABCJ等腰三角形；若AB?AC 0 ,则 ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B 、 C 、 D 、2、知识回顾2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状
19、判断方法2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3 、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知ABCt,有JAB JAC ?BC 0和禺？空 1，试判断4ABC的形状 |ab| |ac|ab| ac 2练习1、已知ABC, Ab a, BC b, B是ABCt的最大角，若a?b 0,试判断aabc的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知O是 ABC所在平面内的一点，满足 O.BC.2OB|ac2 1oc2O是ABC勺只供学习与交流此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除B 、垂心C 、外心、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P
20、是ABC所在平面内的一动点，且点 P满足OPOA 胃 £ , Q ,AB AC则动点P一定过 ABC的A重心练习2、已知B 、垂心O为平面内一点、外心、内心B、C平面上不共线的点，动点P满足OP OAAB1 2BC，0,则动点P的轨迹一定通过 ABC勺A、重心例 4 、垂心CABC、外心所在平面内、内心的一点，动点 P满OP OAABAC0,则动点P一定过ABC勺AB cosBAC cosCA、重心练习 3、垂心O是CABC、外心 所在平D 、内心面内的一点，动点 P满OP OB OC2ABAC0,则动点P一定过 ABC的AB cosBAC cosCA、重心例5、已知点、垂心 是的重
21、心，C 、外心过G作直线与D 、内心AB、AC分别相交于M、N两点，一 一一 一 一一 .11AM x?AB, AN y?AC,求证：-3x y6、小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化, 合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。7、作业1、已知O是ABCft的一点，若OA OB OC 0 ,则O是AABC的2、3、A、重心B 、垂心、外心、内心若 ABC的外接圆白圆心为0,半径为1,且OAOBOC0 ,则OA?OB等于A、2已知O是 ABC所在平面上的一点B、C、12所对的过分别是a、b、c只供学习与交流a?OA b?OB c?OC
22、0,则 O是4ABC的A、重心B 、垂心C 、外心、内心AC 3AP ,则 P 是ABO4、已知P是ABCff在平面内与A不重合的一点，满足AB此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心5 、平面上的三个向量 OA、OB、OC满足OA Ob Oc 0, OA ob Oc 1,求证：ABCJ正三角形。6、在ABCt, O为中线AM上的一个动点，若 AMh 2,求OA (OB OC)三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”(必 修4第二章)的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运
23、算；另一方面，我们又以向 量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几 何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转 化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质， 又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。-、重心”的向量风采0 ,则G是 ABC的重心.如图.uuu uur uuur【命题1】G是4ABC所在平面上的一点，若GA
24、 GB GC图图【命题2 已知O是平面上一定点， A B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足 uuu uuu uuu uuurOP OA (AB AC),(0,)，则P的轨迹一定通过 ABC的重心.uuuuuuuuiruuuuuur【解析】由题意AP(ABAC),当 (0,)时，由于(ABAC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图.二、垂心”的向量风采【命题31P是4ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA,则P是4ABC的垂心.uuu uuuuuuujir uuu uuruuruuu uuuuuu uuu【解析】由PA PB
25、PBPC,得PB (PAPC)0 ,即PB CA0 ,所以PB ± CA.同理可证只供学习与交流此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除uuinuuuPC ± AB ,uun uuinPAX BC .P 是 ABC的垂心.如图.uultB, C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuu uuuOP OAuuinABuuuAB cos BACuuurAC cosC(0,),则动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.【解析】uuuAPtunABuuuAB cos B-uuur AC,由丁 cosC-tunu- ABcosB-uutn- ACcosCuuuuuuuuur ACuuu A
26、Buuur ACuunBC 0 ,uuuAButu-uuuBCuuurACuutr-uuurBCuuiurBCuuuuCB 0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且AB cos BAC cosC垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，如图.三、内心”的向量风采【命题5】 已知I为 ABC所在平面上的一点，且AB c , AC b , BCuutinalA bIBtun cIC0,则I是AABC的内心.图【解析】un uu uurn tun .旧 IA AB , ICuuIAuuuruuuuu uiurAC ,则由题意得(a b c)IA bAB cAC0,uurn
27、uuurbAB cACutun uuuAC ABuun uuurAB ACutur uunAC ABuuuAB i-UUtTiABuuur AC uuur AC只供学习与交流uurAIUUUuuuruuruurABACAB卜一 AC1111n uuuiUUUrr . iUUUr-u uurABACABACbca b cuuiruur分别为AB和AC方向上的单位向量,uur AI与/ BAC平分线共线，即AI平分 BAC .同理可证:BI平分 ABC, CI平分 ACB .从而I是AABC的内心，如图.【命题6】已知O是平面上一定点,A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuu uuuO
28、P OAuuir AB uuir ABuuir AC luiu AC(0,则动点P的轨迹一定通过 ABC的内心.【解析】uuu由题意得APuurABL-IL-UEI uuu IABuuur AC M* uuur I ACuuir当（0,）时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过4ABC的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O是 ABC所在平面上一点，若uuur uuuur uuurOA2 OB2 OC2 ,贝U O是 ABC 的外心.图UUU2【解析】若OAuuuOBuuu. OAuuir 2OCuuu2OBUUU2uuu 2OC ,则 OAuuur 2 OBuuurOC ,则。是 ABC的外心，如图。【命题7】 已知O是平面上的一定点,B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足uuu uuurUUUr OB OCOP 2uurABuuuAB cosBuuurACuuuAC cosC(0,），则动点P的轨迹一定通过 4ABC的外心。【解析】由于uurOBuur-OG过BC的中点，当2(0,)时,uurABuuuAB cos BuurACuuurAC cosCuuu表小垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过4ABC 的外心，如图。