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1、题组层级快练（四十八）111127*用数学归纳法证明不等式1 + 2 + 4 + 尹"64（n N ）成立，其初始值至少应取C.D. 10答案解析1 + 1+1 + =2 42n111 Tn2127> -1641 2整理得2n>128，解得 n>7.初始值至少应取8.2设 f(n)= 1 + 1+ 3 + +(n N3n 1),那么 f(n + 1) f(n)等于()1A.3n+ 2C.3n+7 + 3n+ 2D.* +1 +3n 3n + 1 3n + 2答案 D3.若数列an的通项公式1an=2,W+ 1 )记 Cn= 2(1 a”(1 a2)(1 an),试通
2、过计算 C1,C2 , C3的值，推测Cn =答案n + 1123答案 看2, S2= 2, S3= 3(2)Sn=，证明略解析由(Si i) =2(ak 1 ak) (ak1 ak)(ak1 + ak) = Si, 得 Si=2；2 2由(S2 1) = (S2 Si)S2,得 S2= 3；由(S3 1)2= (S3 S2)S3,得 S3= 4.猜想：Sn= 一匚.n + 1证明：当n = 1时，显然成立；*k假设当n = k(k> 1且kN )时，Sk=成立.k+ 1则当 n= k+ 1 时，由(Sk+1 1)2= ak+ £k+1,得 Sk+1 =12 Skk+ 1k+
3、2k+ 1从而n= k+ 1时，猜想也成立.综合得结论成立.(n N).15 .已知数列 an的各项都是正数，且满足：ao= 1, an +1 = ?an (4 an),证明：an<an+1<2, (n N).证明略证明方法一：用数学归纳法证明：13(1)当 n= 0 时，ao= 1, a1 = ?ao(4 ao) = ?,所以ao<a1<2，命题正确.假设n= k时命题成立，即 ak1 <ak<2.则当 n= k+ 1 时，ak ak+11 1=?ak1 (4 ak 1) ak)1=2(ak 1 ak)(4 ak 1 ak).而 ak i 3k<0,
4、4 ak i ak>0,所以 ak ak+1<0.厂112又 ak+1 = 2ak(4 ak) = 2【4 (ak 2) <2.所以n= k+ 1时命题成立.由(1)(2)可知，对一切n取 时有an<an +1<2.方法二：用数学归纳法证明：13(1)当 n= 0 时，ao= 1, a1 = ?ao(4 ao) = ?, 所以 O<ao<a1<2.假设n= k时有ak 1<ak<2成立，1令 f(x)= 2x(4 x), f(x)在0,2上单调递增，所以由假设有 f(ak 1)<f(ak)<f(2).1 1 1即律-1 (
5、4 ak 1)<ak(4 ak)<?x 2 x (4 2).也即当n= k+ 1时，ak<ak +1<2成立.所以对一切n 6，有ak<ak+1<2.*6. (2014安徽理选编)设整数p>1 , n N .证明：当 x> 1 且 xm 0 时，(1 + x)p>1 + px.答案略证明用数学归纳法证明， 当p= 2时，(1 + x)2 = 1 + 2x+ x2>1 + 2x,原不等式成立.*k 假设当p = k(k>2, kN )时，不等式(1 + x) >1 + kx成立.k 1k2则当 p= k+ 1 时，(1 +
6、x) + = (1 + x)(1 + x) >(1 + x) ( + kx) = 1+ (k+ 1)x+ kx >1 + (k + 1)x. 所以当p= k+1时，原不等式也成立.综合可得，当x> 1, xm 0时，对一切整数p>1，不等式(1 + x)p>1 + px均成立.7. (2014 陕西理选编)设函数 f(x)= ln(1 + x), g(x) =xf' (x), x>0，其中f' (x)是f(x)的导函数.令 gl(x) = g(x) , gn + 1(x)= g(gn(x) , n N，求 gn(x)的表达式.答案gn(x)=
7、1 + nx解析 由题设，得g(x)= (x> 0).1 + xXxx,g3(x)=，可得 gn(x) =1 + 2x1 + 3xX1 + nxx1 + x由已知，g1(x) =,2(x)= g(g1(x)=1 + x1 + 亠1 + xF面用数学归纳法证明.x当n= 1时，g1(x)=，结论成立.1 + x假设n= k时结论成立，即gk(x)=-1+ kxx1 + kxgkfX )gk+ i(x)= g(gk(x)=那么，当n = k+ 1时,，即结论成立.1 + gk x 1 +1 + k+ 1 x1 + kx由可知，结论对 nN*成立.8. (2015衡水调研)首项为正数的数列an
8、满足an +1 =12*1(an+ 3), n N .(1)证明：若a1为奇数，则对一切 n2, an都是奇数； 若对一切n N*都有an+1>an,求a1的取值范围.答案 (1)略 0<內<1或a1>3解析 证明：已知a1是奇数，假设ak= 2m 1是奇数，其中 m为正整数，ak + 3 则由递推关系，得 ak+1 = 4 = m(m 1) + 1是奇数.根据数学归纳法，可知对任何n N *, an都是奇数.1方法一：由 an+ 1 an = 'an 1)(an 3)，知当且仅当 an<1 或 an>3 时，an+ 1>an.2十1 + 33
9、 + 3另一方面，若 0<ak<1，贝V 0<ak +1<4 = 1；若 ak>3，贝V ak+1>4_ = 3.* *根据数学归纳法，可知 ？ n3 ,0<a1<1? 0<an<1; ? n N , a1>3? an>3.综上所述，对一切 n3*都有an + 1>an的充要条件是0<a1<1或a1>3.、一a2+ 32方法：由 a2= 4 >a1,得 a1 4a1 + 3>0.于是 0<a1 <1 或 a1 >3.22can+ 3 an 1 + 3ja n + an1
10、 jan an1an+1 an=444an+ 3*因为a1 >0, an+1= 4 ，所以对任意 n , an均大于0因此an+1 an与an an-1冋号.根据数学归纳法，可知 ? n N , an+1 an与a2 a冋号.因此，对于一切 n 6*都有an+ 1>an的充要条件是 0<a1<1或a1>3.13解析 C1= 2(1 - a” = 2X (1 4)= 2,C2= 2(1 纳)(1 a2) = 2x (1 4) x (1 =3,C3= 2(1 a1)(1 a2)(1 a3)= 2X (1 弓 x (1 £) x (1 箱)=号,n + 2故由归纳推理得Cn=.n + 14.设数列an的前n项和为Sn,且对任意的自然数 n都有：（$ 1）2= anSn.（1）求 S1, S2, S3；（2）猜想Sn的表达式并证明.