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1、解析几何复习知识点总结第一章 向量与坐标第一节 向量的概念： 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量 的长度或模（ moduius） 。规定，长度为 0 的向量叫做 零向量 ，记为 0.模为 1 的向量称为单位向量。与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量。记为 -a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。长度为一个单位（即模为 1）的向量，叫做 单位向量 与向量 a 同向，且长度为单位 1 的向 量，叫做 a 方向上的单位向量，记作 a0， a0=a/|a|。1 共线向量定理两个空间向量 a,b 向量 （b 向量不等于 0）， a b 的充要条件是存在唯一的
2、 实数 ，使 a=b2 共面向量定理如果两个向量 a,b 不共线， 则向量 c 与向量 a,b 共面的 充要条件 是： 存在唯一的一对实 数 x,y, 使 c=ax+by3 空间向量分解定理如果三个向量 a、b、c 不共面， 那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x， y，z，使 p=xa+yb+zc 。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底， 零向量 的表示唯一。1.2 向量的加法三角形定则解决向量加减的方法： 将各个向量依次首尾顺次相接， 结果为第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点。平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点， 以向量的两条边作平行四边形
3、，向量的加法结果为公共起点的对角线。平行四边形定则解决向量减法的方法： 将两个向量平移至公共起点， 以向量的两条边作 平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。)坐标系解向量加减法：在直角坐标系里面 ,定义原点为向量的起点 .两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式 ,A(X1,Y1) B(X2,Y2) ，则 A+B= (X1+X2 ，Y1+Y2 )， A-B= (X1-X2 ，Y1-Y2 ) 简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。向量加法的 运算律 ：交换律： a
4、+b=b+a；结合律： (a+b)+c=a+(b+c)。减法如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为 0OA-OB=BA. 即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y) b =(x',y') 则 a- b =(x-x',y-y').如图： c=a-b 以 b 的结束为起点， a 的结束为终点。交换律： a+(-b)=a-b1.3 向量的数乘实数 和向量 a 的叉乘乘积是一个向量 ，记作 a，且 a = 当 >0时， a 的方向与 a 的方向相同；当 <0时， a 的方向与 a 的方向相反；当 =0时，
5、 a=0，方向任意。当 a=0 时，对于任意实数 ，都有 a=0 。注：按定义知，如果 a=0，那么 =0或 a=0 。实数 叫做向量 a 的系数 ，乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量 或压缩。当 >1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向( >0)或反方向( 来的 倍当 <1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向( >0)或 ××反方向 原来的 倍。实数 p 和向量 a 的点乘乘积是一个数。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： ( a )·b =(a·b )=( a ·b) 。*a。a 的有向线段伸长<0)
6、上伸长为原<0)上缩短为向量对于数的分配律(第一分配律)：( +a)=a+a.数对于向量的分配律(第二分配律)： a(+b)=a+b.数乘向量的消去律： 如果实数 0且a=b，那么 a=b。 如果 a0且 a= a， 那么 = 。需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。1.4 向量的线性关系与向量的分解如果 V是一个线性空间， 如果存在不全为零的系数 c1, c2, ., c n F，使得 c1v1+ c2v2+ . + cnvn= 0，那么其中有限多个向量 v1, v2, ., v n称为线性相关 的.反之，称这组向量为 线性无关 的。更一般的， 如果有无穷多个向量，
7、我们称这无穷多个 向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。分解定理平面向量分解定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面 内的任一向量，有且只有一对实数1，2使 a=1e1 +2e2我们把不平行向量 e1、e2 叫做这一平面内所有向量的一 基底 。定比分点公式定比分点公式 (向量 P1P=·向量 PP2 )设 P1、 P2 是直线上的两点， P 是直线上不同于 P1、P2 的任意一点。则存在一个任意 实数 且不等于 -1，使 向量 P1P=·向量 PP2 ，叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比。若 P1 ( x1,y1)
8、，P2(x2,y2) ，P(x,y) ，则有OP=(OP1 +OP2 )/(1+ ；)(定比分点 向量公式 )x=(x1+ x2)/(1+ ),y=(y1+ y2)/(1+ 。()定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的 定比分点公式三向量共面的充要条件是他们线性相关空间任何四个向量总是线性相关空间四个以上向量总是线性相关1.5 标架与坐标 三个坐标面把 空间分成八个部分，每个部分叫做一个 卦限。含有 x 轴正半轴 、y轴正半轴、 z 轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在 xoy 面的上方，按 逆时针 方向 确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五
9、、六、七、八卦限。空间向量的八个卦限的符号x+-+-+y+-+-z+-空间 的一个定点 O ，连同三个不共面的有序 向量 e1，e2 ，e3 的全体，叫做空间中的一 个标架，记做 O；e1，e2，e3。如果 e1，e2，e3 都是单位向量，那么 O；e1，e2，e3 就叫做笛卡儿标架。两两互相垂直的标架叫做笛卡儿直角标架。在一般情况下，O ；e1，e2 ， e3叫做仿射标架。标架一般是完全决定空间坐标系来用的，所以空间坐标系也可以用标架O； e1，e2，e3来表示，这时候点 O 就可以叫做坐标原点，而向量 e1，e2， e3 都叫做坐标向量。当空间取定标架 O；e1，e2 ，e3后，空间全体向
10、量的集合或者全体点的集合与全体有 序三数组 x，y，z 的集合具有一一对应的关系， 这种一一对应的关系就叫做空间向量或点的 一个坐标系。此时，向量或点关于标架 O ；e1 ， e2 ，e3 的坐标，也称为该向量或点关于由 这标架所确定的坐标系的坐标。标架是空间坐标系的向量化。笛卡尔坐标系 (Cartesian) - 系统用 X 、 Y 和 Z 表示坐标值。柱坐标系 (Cylindrical) - 系统用半径、 theta (q) 和 Z 表示坐标值。球坐标系 (Spherical) - 系统用半径、 theta (q) 和 phi (f) 表示坐标值。1.6 向量在轴上的射影设向量 AB 的始
11、点 A 和终点 B 在轴 l 上的射影分别为 A'和 B'，那么向量 A'B '叫做向量 AB 在轴 l 上的射影向量，记做射影向量 lAB射影 lAB =|AB |COS，=（l，AB ）1.7 两向量的数量积定义：已知两个非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b ，则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹 角，记作 a,b 并规定 0a,b 定义：两个向量的 数量积 （内积 、点积 ）是一个数量（没有方向），记作a·b。若 a、b 不共线，则 a·b =| a | ·|b| ·cos a， b （依定义有： cos
12、a,b=a·b / |a| ·|b |）；若 a、b 共 线，则 a·b =± a b。向量的数量积的坐标表示： a ·b =x·x'+y ·y'。向量的数量积的运算律a·b=b ·a（交换律 ）（ a） · b= （a（关·于b）数乘法的 结合律 ）（a+b） ·c=a·c+b·c（分配律 ）向量的数量积的性质a·a=|a|的 平方 。ab=a·b=0。|a·b | a| ·|b |（。该公式证明如
13、下： |a·b|=| a| ·|b | ·|cos 因|为 0 |cos | ，所1以| a·b | a| ·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即： （a ·b ） ·c a·（b ·c ）；例如： （a ·b ）2 a2·b2。2向量的数量积不满足消去律，即：由a ·b=a ·c（a0），推不出 b=c。3|a·b|与|a| ·|b|不等价4由 |a|=|b| ，不能推出 a=b ，也不能推出 a=-b，但反
14、过来则成立。1.8 两向量的向量积定义：两个向量 a 和 b 的 向量积向量的几何表示（外积、 叉积）是一个向量，记作 a×b（这里 “×并”不是乘号，只是一种表示方法，与“·不同，也可记做 “”）。若 a、b 不共线，则 a×b 的模是： a×b=|a| ·|b| ·sina，b； a×b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、 b 和 a×b 按这个次序构成 右手系 。若 a、b 垂直，则 a×b=|a|*|b| （此处与数量积不同，请注意），若a×b=0 ，则 a、b 平行 。向
15、量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。运算法则：运用三阶行列式设 a,b,c 分别为沿 x,y,z 轴的单位向量A=（x1,y1,z1）B= （x2,y2,z2 ）则 A*B=a b cx1 y1 z1x2 y2 z2向量的向量积性质：a×b是以 a和 b 为边的平行四边形面积。a×a=0 。a 平行 b = a×b=0向量的向量积运算律a×b=b×a( a) ×b =( a ×b ) = a×( b )a×( b+c ) = a ×b+a×c.( a+b ) ×c=
16、a×c+b× c.上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。 在演算中应注意不能交换 “×号”两侧向量 的次序。如： a×( 2b ) =b×(2a)和 c×(a+b)=a ×c+b×c 都是错误的！注：向量没有 除法，“向量 AB/ 向量 CD”是没有意义的。1.9 三向量的混合积定义：给定空间三向量 a、b、c，向量 a、b 的向量积 a×b，再和向量 c 作数量积 (a×b) ·c，所得的数叫做三向量 a、b、c 的混合积，记作 (a,b,c)或(abc )，即(abc )=( a
17、, b, c)=( a ×b ) ·c混合积具有下列性质：1三个不共面向量 a、b 、c 的混合积的绝对值等于以 a、b、c 为棱的平行六面体的体 积 V，并且当 a、b、c 构成右手系时混合积是 正数；当 a、b、c 构成左手系时，混合积是 负数，即(abc )=V(当 a、b、c 构成右手系时 =1；当 a、b、c 构成左手系时 =-1)2上性质的推论：三向量 a、b、c 共面的 充要条件 是 (abc )=03(abc )=(bca )=( cab )=-(bac )=-( cba )=-( acb )例题正方形 ABCD,EFGA,CHIK 首尾相连， L 是 EH
18、 中点，求证 LBGK ？设 AE=a 向量 , AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2,b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'* EH=-a+c+c'+bLB=EH/2-b-c= -a-c+c'-b /2, GK=-a'+c'+c+b' 从*： -a-c+c&
19、#39;-b ·-a'+c'+c+b' = =0. LB GK1.10 三向量的双重向量积由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：二重向量叉乘化简公式及证明向量积和数量积的关系式给定空间内四个向量 a、b 、c、d，则这四个向量之间满足如下关系：证明：由混合积的性质可知(即把 c×d 看成一个新的向量 e，利用性质 (a×b) ·e=a ·(b ×e)再根据二重向量积的性质可知该公式可用于证明三维的 柯西不等式证明：令公式中 a=c、b=d，则：么那等号成立的条件是，即 a 、b 共线（或 b =0 ) 第二章 轨迹与方程