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1、和差公式及倍角公式的运用、和差公式sin()sin cos cossin ,cos()coscos sinsin ,tan()tan tan1 tan tan二、倍角公式2sin2 2cos2 1,sin2 2sin cos,cos2 cos2 sin2 12tan tan221 tan2 三、应用类型题型一） 给角求值例 1、求 sin 100 0 sin( 1600) cos200 0 cos( 2800 )的值cos60 01212C2例 3、已知 sin2 ，3则 cos( 2)A5B1C39【解析】cos(2)cos2(1答案： B的值为 （） 解析】原式= (cos100 sin
2、200 cos200 sin100) sin 300或原式 = (sin 800 sin 20 0 cos200 cos800 )例 2、计算 1 2sin2 22.50的结果等于（）A解析】 1 2sin2 22.50 cos 450 D 5 9 3222sin ) 2sin 1241199答案： B例 4、已知 为第三象限角， cos则 tan2321 ( 35)2sin 1 cos2 解析】 为第三象限角， cos5，sin 4是 tan cos 3 tan22tan 1 tan2 (43)2247sin22cos原式0= sin 20 02 cos1000?1? sin 100 ?2
3、? 2 cos5000 sin1400 2cos700例 5、求 sin 100 sin 300 sin500sin700的值解析】 法一： 利用二倍角公式的变形公式 解： sin2 2sin cos， sin 0 0 0sin 20 ?1? sin80 ? sin40 = 12sin 800 ?2?2sin400 ? 2sin 200 =16法二： 先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式11解：原式 = cos800 ? ?cos400 ? cos200 = cos200 cos400 cos800220 0 0 0 0 0 01 2 sin 20 ? cos 20 cos40 cos80 s
4、in40 cos40 cos8022sin 2004sin 200sin 800 cos800 = sin 160 0 = 18 sin 20 0 = 16 sin 200 =1611或原式 = cos800 ? ? cos400 ? cos200 = cos20 0 cos400 cos80022=1? sin4002 2 sin 200?cos400 cos8001 ? sin 800 cos8001 ?sin16008 sin 200 16 sin 200提示：sin2 2sin cos， cossin22sin 因此 cos 200116 sin 4002sin 2001 0 1 0
5、1 0 = sin 200 ? sin1000 ? sin1400210= sin 200810= cos108法三： 构造对偶式，列方程求解令x sin 10 0 sin500sin700,y cos10 0 cos 50 0 cos 70 0.则xy sin 10 0 cos10 0 ? sin 500 cos500 ? sin 700 cos70020 0 1 0 0 0 ?sin800 ?sin400= sin 800 ? sin 400 ? sin 200 8cos500 cos700 = 1 y80 ， x81，从而有 sin100sin300sin500sin700=116例 6
6、、求下列各式的值1)2sin82) 1 tan12tan12解析】1)原式= 12(2 sin281)1 2 12(1 2sin* 2 8)1cos2424；12)原式=tan62 tan12tan122 tan题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点：1)对“二倍角”应该有广义的理解， 如：4是2的二倍角， 是 2的二倍角， 3是122的二倍角等；2)公式逆用：主要形式有12 sin cos sin 2， sin cossin 2,2sin2sin ,cos2cossin22, cos2sin2sin 2tancos2,1 tan2tan 2.2变式训练】同步练习、求下列各式的值 cos2
7、00 cos400 cos 60 0 cos800 ； (cos sin )(cos sin 8) ；tan821 tan题型二）给值求值例 1、已知 sin( x) 1,x (0, ),求 cos2x 的值.4 5 4cos( x)点拨】求 x 的范围4而sin( 2x)2求cos( x)的值利用 cos2x42sin(x ) cos(44x)；cos(x)4sin(2 sin22x）求值,( 4 x)sin( x).4解析 】 x(0,4), 4 x(0,4),依题意，sin(41x) 15 ，sin 2( x)4265又 cos2xsin(22x) 2sin(x) cos(44x)2 1
8、 2 6554625 1sin ( x) sin( x) ,2 44546原式 = 25 4 6155题后感悟】1）从角的关系寻找突破口这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形， 将题设条件中的角、 函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论2）当遇到 x 这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将4x).条件与结论沟通 cos2x sin(2 2x) 2sin(4 x)类似这样的变换还有：cos2xsin( 2x)2sin(4 x)x),sin 2xcos(2 2x)2cos2(4 x) 11
9、 2sin2( x),4sin 2xcos( 2x)例2、已知sin（42x) 3,x1 2cos2( x)4 sin2x(0, ), 求42sin 2(4 x)的值1等等.解析】 sin2xcos(22x)又 x(0,4)依题意，sin(4x)sin( x)421 2sin2( 4 x)1 2 (23)2(0, 4), cos( x)421 sin 2( x)4而 sin( 4x)sin2(4x)cos( x)4原式1953515题型三）化简例、化简下列各式： cos100 (1 3 tan100 ) ; cos700 1 cos4002tan(422cos2 1)sin 2 ( )4点拨】
10、切化弦，并逆用二倍角公式03sin100cos100(10 )cos100 0解析】（1）原式= sin200 ? 2cos20cos1003 sin10 02 sin 40022(cos100 3sin100 ) sin 4002 2( cos120 3 2sin120 (2cos2120 cos1003 sin100 )22 sin 4002 2.2 2(sin300cos100 cos300 sin100 ) 2 2 sin 400sin 40 0sin 400提示：1、1 cos400 2cos2 200 ；2、还可以将 1变为 cos600,将 3 变为 sin 600 ,因此，分子
11、变为 cos500.22解析】(2)原式 =cos2cos2cos2 1.2sin( )sin( 2) cos24? cos2 ( )2cos( ) 3 cos 4204 3 sin 480sin 480sin 480题后感悟】被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦” ，然后 分析角的内部关系， 看是否有互余或互补的， 若有，应用诱导公式转 化；若没有， 再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三 角函数展开 （或重新组合），经过这样的处理后， 一般都会化简完毕变式训练】化简：3 tan120 3 sin120 (4 cos2 120 2)1 sin cos1 sin cos
12、1 sin cos1 sin cos 1)3 sin120 3cos120 2sin120 cos120 cos240解析】原式 =3sin120 32 3(1 sin 12023 cos120 )2sin 24 0 cos24 04 3(sin300sin120 cos300 cos120)sin 480法 2 2sin cos 2sin ：原式 = 2 2 2 2 2sin cos 2cos2 2 2 2 2sin cos 2sin2 2 2法二：原式 =(1 sin cos) 2 (1 sin cos) 2(1 sin cos)(1 sin cos)2(1 sin) 22 (1 sin
13、) 22cos2 2cos 2 2sin cos 2cos 2 sin2cos22 sin22 cos22 cos2 sin2 sin2 cos2sin4(1 sin )22sin (1 sin ) sin 四、万能公式 (正、余弦的二倍角与正切的单角的关系 )1 sin22sin cos 2sin cos22sin cos 2tan tan2 ,即sin 22tan 1 tan2 2 cos222 cos sin 22cos sin 22sin cos 1 tan2 2 , 即 cos21 tan2 1 tan2 1 tan2 说明：这两个公式叫做“万能公式” ，在是否记忆上不做硬性要求，但
14、记住了 S2、 C2与 T2之间的关系，就会使解题过程更简捷五、活用公式由于公式之间存在着紧密的联系， 所以，就要求我们在思考问题 的时候必须因势利导、融会贯通，要有目的地活用公式主要形式有：sin22cossin22sin、 1 sin2 sin2 cos2 2sin cos (sin cos)2 ,sin、 sin2 2sin coscoscos22cos2 1,cos212sin2 ,21cos2cos221cos2sin22 cos sin 2、cos2六、错例分析例、解不等式 sinx cosx 1 0.错解】 sinx cosx 1,两边平方，得 (sinx cosx)2 1, 1
15、 2sin xcosx 1, sin2x 0, 2k 2x 2k (k Z), 因此， k x k (k Z).2 即原不等式的解集为 (k,k ),其中 k Z.2正解】 sin x cosx 1, 两边平方，得 sin x cosx 0,必有 sinx 0且 cosx 0 ，又 sinx 1, cosx 1， x 必为第一象限角， 2k x 2k (k Z).2 即原不等式的解集为 (2k,2k ),其中 k Z.2错因】错因 1：忽略了 x为第一象限角(因为 sinx 1, cosx 1，又 sinx cosx 1,所以必须 sinx 0且 cosx 0)；错因 2：上述方法引进了 sinx cosx 1 的增解，如果改 用恒等变形，得 2sin(x ) 1,即sin(x ) 2 ，可避免增解， 也无需4 4 2寻找隐含条件12 2tan