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1、ai1ai2ai3解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻r， 它的两端电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式i r = v求出来，这就是通常所谓一元一次方程的问题，在中学代数中，我们解过一元， 二元，三元以致四元一次方程组，这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次 方程组，即线性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组， 而下一章则在更 一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。对于二元线性方程组ci iX i a 12X 2 ba2 iX
2、i a 2 x=2 b 2当印畑 "221=0时，此方程组有唯一解，即D a? 2 a i bxi 二aia 22 aaa ib厂 a 2 bX2 :ai i a 2 a i a4我们称aiia2 ai2a2i为二级行列式，用符号表示为aiiai2222 一 Ci2C2i -a2ia22于是上述解可以用二级行列式叙述为:当二级行列式aiiai2-0a2ia22时，该方程组有唯一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论,设有三元线性方程组bai2aiibib2a22a2ib2aiiai2,X2aiiai2a2ia22a2ia22X =biaiixiai2X2ai3X3i a2iXia22X
3、2a23X3 = b2a3iXia32X2a33X3 = b3称代数式为三级行列式aiia22a33ai2a23a3iCi3C2i a32 - aii a23a3 _ ai2a2i a33 _ai3a22a3i ，用符号 表示为aiia22a33 + ai2a23a3i +ai3a2ia32 aiia23a32 ai2a2ia33 ai3a22a3i = a2la22a23a31a32a33我们有：当三级行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33d =-0时，上述三元线性方程组有唯一解，解为did2d3X1, X2 , X3 :dddbi其中dj = b2b3ai2a22a3
4、2a1 1b1a1 3a1 1a 1 2bd2 =a2 1b2a2 3d 3 =a2 1a 2 2ba3 1b3a3 3a3 1a 3 2b811X1+ a12x2+i23ai3a23a33在这一章中我们要把这个结果推广到n元线性方程组I 11 alnXn = bla2ixi + a22x2 + 11 a2nXn = b2IIIIIHIIIIIaniXi +an2X2 +il|annXn=bn(1)aniX< an X的系数矩阵ai ia2 1a 1 2 IHa 22IH(2)的情形2克拉墨法则现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题， 在这里只考虑方程个数与 未知量的个数相等的情形，以
5、后会看到这是一个重要的情形，下面我们将得出与 二元和三元线性方程组相仿的公式。本节的主要结果是 定理：如果线性方程组ai X 1 a X2 2l|anXni = ba? X i a X2 2Ha nXnb2IIIIINIIHIJHannXnan2 IH的行列式那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为4 d2dnx_d"d 1川吹其中di是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项bdlHh所成的矩阵行列式，即a11IIIab 1aj1 , 1 1dj =a21+IIIa 2卜卜b 2a42, 1IJII-an1IIIan,丄 ib na * 11H7定理中包含着三个结论：
6、1,方程组有解；2,解是唯一的；3,解由公式（3）给出,这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是:1, 把 虫,9川川虫 代入方程组，验证它的确是解Id d d 丿2, 假如方程组有解，证明它的解必由公式 给出，在下面的证明中，为了写起来简短些，我们尽量用连加号 证明：1把方程组（1）改写为n' aijX j二 bi * 1,21 nj 1首先来证明（3）的确是（1）的解，把（3）代入第i个方程，左端为n-a*j j吕d1 1 d d因为dj = b Ajnj" b jSTb Aj所以nn'aj'bsAsjj 二1 s 二 11 nn=匚、aj,a*j Asjb
7、sd j d s41 nnaij xaijAjbsd s 壬 j d1 nn=aj （送 a Ajbs）d sd j =1根据定理中（6）有恋可任ajjs J dbd S4 j4d这与第i个方程的右端一致，换句话说，把(3)代入方程使它们同时变成恒等 式，因而(3)确实为方程组(1)的解2设(GGliC)是方程组的一个解，于是有n个恒等式n、aijCbi",2 n(7)j 4为了证明Ck'k，我们取系数矩阵中第k列元素的代数余子式Ak,A2kHIAnk， d用它们分别乘(7)中n个恒等式；有nA送aj予b A胡，卑 nj 二这还是n个恒等式，把它们加起来，即得nnn为 Ak
8、a i c 为 b A i k(8)i 1 j 1i等式右端等于在行列式d按第k列的展开式中把aik分别换成bi，因此，它等 于把行列式d中第k列换成b,b2川bn，所得的行列式，也就是dk，再来看(8)的左 端，即卩nnn n二 A k 二 a i C 二 j - a iA C< ji =1j Aid j =1n n=送无 aij Aik Cj j 4 i =1n n=送（送坏Ak） Cji A j An送 aij Aki =1_ d,j =k-O,j=k所以n n瓦（瓦可Ak ）q = dCk j zi i =i于是，（8）即为dq =dk,k = 1, 12 n也就是这就是说，如果
9、（G,C2H|Cn）是方程组的一个解，它必为虫川|虫d d d因而方程组最多有一组解 定理通常称为克拉默法则 例解方程组"2捲 + 血 一 5 x3 + x4 =8X1 -3 X2 -6 X4 = 92x2 - X32 X4 = -5x14 x2 _ 7 x36 x4 二 0方程组的系数行列式21011-324因之可以用克拉默法则,d1d2d3d489-501-324-50-1-7由于-50-1-716 =27式02616=812101210189-501-3241-32所以方程组的唯一解为-50_ 1一 789-5050-1-716= -10816= 27-5089 =27x3,x
10、 -4 ,X3 - -1x4 = 1149应该注意，定理只是讨论系数矩阵的行列式不为零时的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章讨论常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，显然，齐次线性方程组总是有解的，因为(o,o川0)就是一个解，它称为零解，对于齐次线性方程组，我们 关心的问题常常是，它除去零解以外还有没有其他解，或者说它有没有非零解， 对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理：如果齐次线性方程组匕 X i+a Xz+HlanXnOa2 x 1+ a x 2 +2l|a nXn2=0< (10)I IIIIIIIH
11、IIIaniXi an x 2 川annXn =0的系数矩阵的行列式|A卜0，那么它只有零解，换句话说，如果方程组(10)有非零解那么必有|A| = 0证明：应用克拉默法则，因为行列式中有一列为零，所以dj =0j 1,12 n这就是说，它的唯一的解是虫吗IIIII虫 b(0,0 川0)Id d d 丿例求在什么条件下，方程组f /X1 x2 = 0片 x2 二 0有非零解根据定理，如果方程组有非零解，那么系数行列式1所以，二_1，不难验证，当，二-1时，方程组确实有非零解克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在 以后许多问题的讨论中是重要的，但是用克拉默法则计算是不方便的，因为按这 一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算n T个n级行列式，这 个计算量是很大的。11