《常用均值不等式及证明证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常用均值不等式及证明证明.docx（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、常用均值不等式及证明证明ai> a2> 、an R,当且仅当 ai a2an时取号均值不等式的一般形式：设函数 D x概念： 1、调和平均数：Hn2、几何平均数：Gn3 、算术平均数：An4 、平方平均数：Qn这四种平均数满足Hn GnAn Qn3i 3；8Lnn1 11a 1 a 2an1a 1 a 2 a nna( a?3nn222a?Hnn1r 0 时)；D x a ia ； aN (当 r o 时)(即ID 0 aia ; arf则有：当仁-1、1、O、2注意到Hnw Gnv Anw Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1) wD(0)wD(1)wD(2)由以上简化，有一
2、个简单结论，中学常用z 、ab aba2b21 122a b均值不等式的变形：(1)对实数a,b,有a2 b2 2ab (当且仅当a=b时取号),a2,b2 0 2ab对非负实数a,b,有a对负实数a,b,有a b -八ab 0(4)对实数 a,b,有 a a - b b a - b22对非负实数a,b,有a b 2ab 0(6)对实数a,b,有a2 .2ba b22ab(8)对实数a,b,c,b22C对实数a,b,c,2 b2c2abc2ab be ac3a b 2(9)对非负数a,b,abb2(iO)对实数a,b,c,有3 abc均值不等式的证明:方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉
3、格朗日乘数法、琴生不等式 法、排序 不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设 A>0, B>0,则 A B n An nAn iB注：引理的正确性较明显，条件 A> 0, B> 0可以弱化为A> 0, A+B>0（用数学归纳法）。 n 3n 原题等价于：腌 an当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即kak ai a2 akki中最大者,那么当n=k+i时，不妨设ak i是a i, 3 2,则 ka k iaks ka k 1 - s k kk1ak1ka k r s用引理 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法琴生不等式：上凸函数 点，X,Xi,X2, ,Xn是函数fx在区间(a,b)内的任意n个Xi X2XnfXf X2f Xn设fXInX, fX为上凸增函数所以,. Xi x2In XnIn XiIn X2In xn1In XA2 Xn nXi X2Y1An XlX2 人 n在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）