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1、精品资料欢迎下载方程 x 2y 2D1 xE1 yF10 与 x 2y2D 2 xE2 yF20相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 O1 x 2y 2D1xE1 y F10和 O2：x 2y 2D 2 x E2 y F20的方程相减所得到的直线l：D 1D 2xE1E 2 yF1F20 表示两圆公共弦所在直线方程。但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交， 两圆相减照样可以得到直线l ，但 l 的几何意义就改变了。因而有必要就两圆的5 种位置关系进行讨论直线l的几何意义。我就两圆的5 种位置关系进行研究。一两圆相交设 P1 x1 ,y
2、1 、 P2 x 2 , y 2是 两 圆 的 交 点 ， 则 有 x 12y 12D1 x 1 E1 y1F1 0和22D 1 x 2E 1y 2F10成 立 ， 即 P1 x 1 , y1、 P2 x 2 , y 2x 2y 2满足方程( x 2y 2D 2 x E 2 y F2 ) ( x 2y 2D 1 x E1 y F1 ) 0即 D 1D 2xE1 E2yF1F20 。所以直线 l表示两圆相交弦所在直线。二两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时， 两交点逐渐靠近， 最终重合为一点， 此时两圆外切，同时与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点， 直线 l 成为两外
3、切圆的过同一切点的公切线。因此，直线 l ： D 1D 2xE1E 2y F1 F20 表示两外切圆的过同一切点的公切线。当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切， 同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l ： D 1D 2xE1E 2 yF1F20 表示两内切圆的公切线。例如，圆O1 ： xa 2y 2a 2与圆 O2 ： xb2y 2b 2相切于原点，那么两圆相减得：x0 ，该直线与两圆相切于原点。下面就两圆外切情况加以证明。设圆 O1 ，圆 O 2 的半径分别为 r1 , r2，则 r
4、12D12E124F1 ， r22D 22E224F2 。44D1D 22E1E22由两圆外切得：r 1 r 2，化简得：22224r1r2D1 D 2 E1E22 F1F2即：D1D2E1E 2F1F22r1 r2又22精品资料欢迎下载r12D 12E124F1， r22D 22E 224F2， 即 ：D 12E122r122F1 ，4422D 22E 222r222F2 。利用直线 Ax+By+C=0分线段 A x 1 , y1B x 2 , y 2的比为22AxAx12ByBy12C分 O1O2的比， 那 么 直 线l为CD1D1E1E2E1F1F2D222D1D2D 2E1E2E2F1
5、F222D12E12D1D2E1E2F1F22r12=22222F1F1F22r1r2F1F2D 22E22D1D2E1 E22r222F2F1F22r1 r2F1F2F1F22222= r1 。又 k O1 O2k l1 ，所以 O1O2 l （当直线 O1 O 2 与直线 l的斜率不存在时也成立） ；r2且 O1O2r1r2 ，所以点 O1 到直线 l 的距离为 r1 ，点 O2 到直线 l 的距离为 r2 。所以直线l 与两圆相切。三两圆相离这里首先得了解式子x 2y 2DxEy F的含义。因为圆的方程有两种表示，即x 2y 2DxEyFxx 02yy 2r 20 。当点 P（ x， y
6、）在圆外时，式子x2y 2DxEyFxx02yy02r 2 表示点 P 到圆的切线长。因而，对直线方程(x 2y 2D 2 xE 2 yF2 )(x 2y 2D 1x E1 y F1 ) 0 可以变形为：x 2y 2D 2 xE 2 y F2x 2y 2D 1xE1 yF1 ，即点 P 到两圆的切线长相等。因此， 直线 l 的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合。更进一步，如果两圆的半径相等，直线 l 就是两圆的对称轴。四两圆内含同“三”易知，直线l 上的点到两圆的切线长相等。（注：以上两圆非同心圆）五范例例：已知圆 O1 与圆 O2 ： x2y 21 外切于点 O，且两圆的过点O的公切线为yxb ，精品资料欢迎下载已知圆O1 的圆心落在直线上xy4 ，求圆O1 的方程。解：易得b2。设圆O1：x 2y21xy20，即：x 2y 2xy210 ，圆心坐标,落在直线xy4 ，解得4 。22所以圆O1 的方程为x 2y 24x4y4 210 。最后，利用几何画版动画演示圆O1 ，圆O2 ，直线l 的位置关系。