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1、连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系对于连续限带(B)的时间信号x(t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样(抽样频率fs=1/Ts= 2B'>2B),其样点为xn=x(nTs)。可以由样点序列进行 内插来恢复原始信号x(t):x(t) -、 x(nTs)sin c 2B'tn)(1)n证明：抽样采用理想冲击脉冲串：g(t )=送6(t-nTs )Xs t =X（t）、Ts t八 x nTs、t-nTsn其中2B'=1/Ts。由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号xs(t)的傅里叶变换为：1'kXs(f)=X(f)*F送 d f 一匸Is
2、 k IT s 7其中*表示连续的卷积运算。于是得到1Xs f Wk Xkk=fsE X f-4k I Ts 丿即理想抽样信号在频域是原信号x(t)傅里叶变换(频谱密度)的周期性位移，周 期为1/Tso其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆(信号与系统)/樊 昌信先生(通信原理)/周炯盘先生(通信原理)。本文目的是架起连续时间 傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽 样定理不再赘述。在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B。理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数出沪二总)，它对应的时域单位冲激响应函数h(t)=2B's
3、i nc(2B't)为内插函数。其中内插函数 sine函数的定义为:sin (兀 xsin ex：nx于是有1X(f)二一fsXs f H f对上式作傅立叶反变换，利用变换的卷积性质，以及h(t)的定义，得x(t) =TsXs t h t把 Tsh(t)作为新的 h'(t)，即卩 h'(t)=2B'Tssinc(2B't)= sinc(2B't)，则(7')x(t) =Xs t h' t代入xs(t)的表达式(2)，以及h'(t)的表达式，到 中，得x(t) =h'(t”、x n Ts、t- nTs-n -2B&#
4、39;Tssine 2B't 八 x nT、t - nTs_ n”=' x nT； sine 2B' t 一 nT；n=、x nT si n e 2 t n(8)n八 x(nTsh tg nTs )(8)n(8)式即为内插公式。同(1)。证毕。对(8')式进行傅里叶变换，得X fx(nTs)h'(t-nTs)2怙_ n：X(nTs)h'(t -nTs)e_j27rftdtn八 x(n Ts).；：h'(t- nTs)ej2Fdtn=11nfejn2 兀2B'(时延性质)= x(nTs)enF 沪兀仏，f 2(9)1二一、x(n)enfs ，fY(10)fs n2VX ej -.而(10)式中的后面的和项就是离散序列 x( n)的离散时间傅里叶变换(DTFT )。 其中.=2: fTs，心三tt,二而在用快速傅里叶变换FFT算法计算时，计算的是X e，所以算出结果来之 后根据(10)要除以fs。于是在-fs/2, fs/2这个范围内，得到的便是X(f)的频谱密度 所在的范围。