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1、-!行测常用数学公式、工程问题工作量=工作效率X工作时间;工作效率=工作量十工作时间;工作时间=工作量十工作效率;总工作量=各分工作量之和;设总工作量为1或最小公倍数（最外层每边人数）（最外层每边人数-（最外层每边人数）注：在解决实际问题时，常 二、几何边端问题（1）方阵问题：1. 实心方阵：方阵总人数=最外层人数=2. 空心方阵：方阵总人数二2=（外圈人数* 4+1） 单边线形植树：棵数=总长 单边环形植树：棵数二总长 单边楼间植树：棵数=总长=N"1）X 42-（最外层每边人数-2X层数）=（最外层每边人数-层数）X层数X 4二中空方阵的人数。无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数
2、都满足：外圈比内圈多 8人。3. N边行每边有a人，则一共有N（a-1）人。4. 实心长方阵：总人数=MX N 外圈人数=2M+2N-45. 方阵：总人数=NN排N列外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10-3）X 3X4 = 84 （人） 排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1 ）人，后面有（N-M人（3）爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1 ）楼，从第N层爬到第M层要爬M N层。三、植树问题线型棵数=总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1间隔+ 1;总长=（棵数-1 ） X间隔 间隔；总长二棵数X可隔间
3、隔一1;总长=（棵数+1） X间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的 2倍。（5） 剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了 （ 2nX M+ 1）段四、行程问题路程二速度X时间；平均速度二总路程十总时间平均速度型：平均速度二2v1 v2（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）X相遇时间追及问题：追击距离=（大速度一小速度）X追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）X背离时间（3）流水行船型：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。顺流行程二顺流速度X顺流时间=（船速+水速）X顺流时间 逆流行程=逆流速度X逆流时间=（船速一水速）X逆流时间（4）火车过桥型
4、：列车在桥上的时间=（桥长-车长）*列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）*列车速度列车速度=（桥长+车长）*过桥时间（5）环形运动型：反向运动：环形周长=（大速度+小速度）X相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度一小速度） 相目遇时间（6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数X （1 u梯）,（顺行用加、逆行用减）U人顺行：速度之和X时间=扶梯总长逆行：速度之差X时间=扶梯总长队尾：队伍长度=（u人+u队）X寸间对头：队伍长度=（u人-u队）X时间（7）队伍行进型：对头 队尾（8）典型行程模型：离）等距离平均速度：U2u1u2u1 u2等发车前后过车：核心公式：T等间距同向反
5、向.t同UiU2t反UiU2不间歇多次相遇:单岸型：3 s,S2s22也t1 t2无动力顺水漂流漂流所需时间2t逆t顺（U1、U2分别代表往、返速度）U 车t?tiu人t2ti两岸型：s 3s, S2（s表示两岸距（其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）五、溶液问题 溶液二溶质+溶剂浓度=溶质十溶液溶质二溶液X浓度溶液=溶质十浓度r廖/仏“+期小浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量L后浓度都变成c%，则容潑加入比例沏3的溶齐L在倒出相同的溶薇，则浓度肯丄）-X朿农夏 +住混合稀释型 ®凰出比例为a的潛湛 再加入相同的溶质,则浓度为（1X眞浓度等溶质增减
6、溶质核心公式：22叩3（其中ri、r2、r3分别代表连续变化的浓度）六、利润问题（1）利润=销售价（卖出价）一成本;销售价-成本成本销售价成本（2）销售价二成本X（ 1+利润率）；销售价1 +利润率（3）利息=本金x利率x时期；本金=本利和*（ 1+利率x时期）本利和=本金+利息=本金x（ 1+利率x时期）二本金（1禾y率）期限；月利率二年利率十12；月利率x 12=年利率。例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10. 2%。（即月利1分零2毫），三年到期后，本利 和共是多少元？”2400x（ 1+10. 2%x 36） =2400 x 1. 3672 =3281 . 28 （元）七、年龄
7、问题关键是年龄差不变；几年后年龄=大小年龄差*倍数差-小年龄 几年前年龄=小年龄-大小年龄差*倍数差八、容斥原理两集合标准型：满足条件 A的个数+满足条件B的个数一两者都满足的个数=总个数一两者 都不满足的个数三集合标准型：A+B+C- （AB+BC+AC ） +ABC=总个数-都不满足的个数，即满足条件A的个数+满足条件B的个数+满足条件C的个数-三者都不满足的情况数A B C =A BC AB B CA C ABC三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC而至少满足三个条件之一的元素的总量为W其中：满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件 的元素数量为
8、z，可以得以下等式：W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z三集和图标标数型：禾I用图形配合，标数解答 特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 标数时，注意由中间向外标记九、牛吃草问核心公式：y=（Nx）T原有草量=（牛数-每天长草量）x天数，其中：一般设每天长草量为X注意：如果草场面积有区别，如“ M头牛吃W亩草时”，N用M代入，此时N代表单位面积W上的牛数。十、指数增长 如果有一个量，每个周期后变为原来的 A倍，那么N个周期后就是最开始的An倍，一个周期前应该是当时的1 oA十一、调和平均数等价钱平均价格核心公式:2PlP2（Pl、P2分别代
9、表之前两种东西的价格 ）PiP2等溶质增减溶质核心公式:2rir3（其中ri、r2、r3分别代表连续变化的浓度）调和平均数公式：2a a? aa a?十二、减半调和平均数a?核心公式：aa?十三、余数同余问题核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”注意：n的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值 十四、星期日期问题闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日，记口诀：一年就 是1，润日再加1; 一月就是2，多少再补算。平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平年不能被4整除365天28天闰年r可以被4整除366天29天星期推断：一年加1天；闰年再加1天大月
10、与小月包括月份月共有天 数大 月1、3、5、7、8、10、1231天小 月2、 4、 6、 9、 1130天注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每（N+1）天”（1） 一元二次方程求根公式其中：x1= b b2 4ac2a2:ax +bx+c=a(x-x "(x-x 2)ib b2 4ac 八 2b -4ac 0)X2=2a根与系数的关系：X1+X2=- b，a（2）a b 2、ab （a b）22X1c -X2=a2 2ab a b 2aba b c)3 abc-!(3) a2 b2 c2 3abc a b c 33 . abc推广：X X2X3.Xnnnx1 x2.xn(4
11、) 一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。(5) 两项分母列项公式：b =(1 丄)史m(m a) m m a a(6) 三项分母裂项公式：-=-芒m(m a)(m 2a) m(m a) (m a)(m 2a) 2a十六、排列组合(1) 排列公式：P： = n (n 1) (n 2)( n m+ 1), (m< n)。A73 7 6 5543(2) 组合公式：cm二pm宁pm =(规定co二1)。&3 2 1(3) 错位排列(装错信封)问题：D = 0,1,2,9, D5 = 44, D6 = 265,(4) N人排成一圈有A,/N种；N枚珍珠串成
12、一串有AN/2种。十七、等差数列(1) Sn = n苑=na+丄 n(n-1)d ;(2) an= a1+( n 1) d;(3)项数 n =色 + 1 ；22d(4)若 a,A,b 成等差数列，贝U: 2A= a+b;(5)若 m+n=k+i,贝U： an+an=ak+ai ;6)前n个奇数：1, 3, 5, 7, 9,-( 2n1)之和为n2(其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，Sn为等差数列前n项的和) 十八、等比数(1) an = a1qn1;(2) Sn =3 (q 1)(3)若 a,G,b 成等比数列，贝U:ab;1 q(5) am-an=(m-n)d(4)若 m+n
13、=k+i,贝U： am - an=ak - a：;(6)am(m-n)=q(其中:n为项数,a1为首项,an为末项，q为公比，Sn为等比数列前n项的和)an十九、典型数列前N项和4.24.34.7平方 数底数1234567891011平方149162536496481100121底数1213141516171819202122平方144169196225256289324361400441484底数2324252627282930313233平方52957662567672978484190096110241089、 、 立方数底数1234567891011、 、 立方182764125216
14、34351272910001331次方1234567891011224816326412825651210242048多次 方数3392781243729441664256102455251256253125663621612967776次 方123456789底 数111111111122 1486241 862 1339713971344 :6464664 155 1555551 555 1666666666677 19317917 188 1426841 268 199191919191既不是质数也不是合数101 103 1091.200以内质数 23571113 17 19 23 29
15、11312713113731 37 41 43 47 53 5913914915115716316761 67 71 73 79 83 89 97173179 181 191 193 197 199数字1的变换：1 a01N(1)2N(a 0)特殊数字变换：16244264264382813492256 28 4162512298372993272361024210453222.典型形似质数分解91=7X 13111=3X 37119=7X 17133=7X 19117=9X 13143=11X 33147=7X 21153=7X 13161=7X 23171=9X 19187=11 X172
16、09=19X 111001=7X 11X 133.常用“非唯一”变换数字0的变换：0 0n(N 0)个位幕次数字：4 2241823819 3291二十、基础几何公 式2 2 21.勾股定理：a+b=c(其中：a、b为直角边，c为斜边)直角边369121551078常用勾股数直角边4812162012242415斜边510152025132625172. 面积公式:止方形=a2长方形=a b11三角形= 一 ahabs inc221梯形二丁 b）h圆形二氏平行四边形二ah扇形一n 0 R2360°3. 表面积：正方体=6a2长方体=2 （ab be ac） 圆柱体=2n/+ 2 n
17、rh球的表面积=4 R24. 体积公式2124正方体=a 长方体=abc 圆柱体=Sh=nr h 圆锥=nr h 球=R335. 若圆锥的底面半径为r，母线长为I，则它的侧面积：S侧=nrl ;6. 图形等比缩放型：一个几何图形，若其尺度变为原来的 m倍，贝U：1. 所有对应角度不发生变化；2.所有对应长度变为原来的m倍；3. 所有对应面积变为原来的m倍；4.所有对应体积变为原来的m倍。7. 几何最值型：1. 平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。2. 平面图形中，若 面积一定，越接近于圆，周长越小。3. 立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4. 立体图形中，若体积一定，越
18、接近于球，表面积越大。 二一、页码问题对多少页出现多少1或2的公式如果是X千里找几，公式是 1000+X00*3如果是X百里找几，就是100+X0*2, X有多少个 0就*多少。依次类推！请注意，要找的数一定要小于 X ，如果大于X就不要加1000或者100 一类的了，比如，7000页中有多少 3 就是 1000+700*3=3100（个）20000页中有多少 6就是 2000*4=8000 （个）友情提示，如3000页中有多少3,就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了 二十二、青蛙跳井问题例如：青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次 方可出井
19、？单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上 单杠？总解题方法：完成任务的次数=井深或绳长 -每次滑下米数（遇到半米要将前面的单位转化 成半米）例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的 4米转换成8个半米再计算。完成任务的次数=（总长-单长”实际单长+1数量关系公式1. 两次相遇公式：单岸型 S=（3S1+S2）/2 两岸型 S=3S1-S2例题： 两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙 岸，另 一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后， 每艘船都要 停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后
20、返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。 问：该河的宽度是多少？A. 1120 米 B. 1280 米 C. 1520 米 D. 1760 米解： 典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸 400 米处又重新相遇）代入公式 3*720-400=1760 选 D如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸丫米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸2. 漂流瓶公式：T=（ 2t逆*t顺）/ （ t逆-t顺）例题：AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，AB,从A城到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动
21、力的木筏，它漂到B城需多少天？A、3天 B 、21天 C 、24天 D 、木筏无法自己漂到B城解： 公式代入直接求得 243. 沿途数车问题公式：发车时间间隔T=（2t1*t2）/（t1+t2 ） 车速/人速=（t1+t2）/ （t2-t1）例题： 小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运 行，没隔 6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？A. 3B. 4C. 5 D. 6解：车速 /人速=（10+6） /（10-6） =4 选 B4. 往返运动问题公式： V均=（2v1*v2）/（v
22、1+v2）例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的 平均速度为多少千米 /小时？（ ）A.24B.24.5C.25D.25.5解：代入公式得 2*30*20/(30+20)=24 选 A5. 电梯问题：能看到级数 =(人速+电梯速度) *顺行运动所需时间(顺)能看到级数 =(人速- 电梯速度) *逆行运动所需时间(逆)6什锦糖问题公式：均价 A=n / (1/a1 ) +(1/a2)+(1/a3)+(1/an)例题： 商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖 每千克费用分别为 4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混
23、在一起成为什锦 糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？A4.8 元 B 5 元 C 5.3 元 D 5.5 元7. 十字交叉法： A/B=(r-b)/(a-r)例：某班男生比女生人数多 80%，一次考试后， 全班平均成级为 75 分，而女生的平均分比男生的平均分高 20% ，则此班女生的平均分是：析：男生平均分 X，女生 1.2X1.2X75-X175=X1.2X-751.8得 X=70 女生为 849. 一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成(2的N次方*M+1)段10. 方阵问题：方阵人数=(最外层人数/4+1 )的2次方 N排N列最外层有4N-4人 例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层
24、的人数是 96人，问这个学校共有学生？解：最外层每边的人数是 96/4+1 = 25,则共有学生25*25=62511. 过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河(M-A / (N-A)次例题 (广东 05)有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载 5人，需要几次才能渡 完？A.7B. 8C.9D.10解：( 37-1 )/ ( 5-1 )=915.植树问题：线型棵数 =总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1例题：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M 186M 234M树与树之间距离为6M,三个角上必须栽一棵树，共需多少树？A 9
25、3B 95C 96D 9912. 星期日期问题：闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日， 记口诀：一年就是1,润日再加1; 一月就是2,多少再补算例：2002年9月1号是星期日2008年9月1号是星期几？解：因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，贝U:4X1+2X2=8此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？解：4+1 = 5,即是过5天，为星期四。（08年2月29日没到）13. 复利计算公式：本息=本金* （ 1+利率）的N次方, N为相差年数例题：某人将10万远
26、存入银行，银行利息2%年, 2年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为20%则税后他能实际提取出的本金合计约为多少万元？（）A.10.32B.10.44C.10.50D10.61解：两年利息为（1+2%的平方*10-10=0.404税后的利息为0.404* （1-20%）约等于0.323 ,则提取出的本金合计约为10.32万元14. 牛吃草问题：草场原有草量=（牛数-每天长草量）*天数例题：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？A 16 B 、20 C 、24 D 、28解：（10-X） *8= （8
27、-X） *12 求得 X=4（10-4） *8= （6-4） *Y 求得答案 Y=2416:比赛场次问题：淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1淘汰赛需决前四名场次=N单循环赛场次为组合N人中取2双循环赛场次为排列N人中排2比赛赛制比赛场次循环赛单循环赛参赛选手数X（参赛选手数1 ） /2双循环赛参赛选手数x（参赛选手数1 ）淘汰赛只决出冠（亚）军参赛选手数 1要求决出前二（四）名参赛选手数8. N人传接球M次公式：次数=（N-1）的M次方/N最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的 整数为末次传给自己的次数例题：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次 传球，
28、若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。A. 60 种 B. 65 种 C. 70 种 D. 75 种解：（4-1）的5次方/ 4=60.75 最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最 后传给自己的次数数量关系归纳分析、等差数列：两项之差、商成等差数列1. 60 , 30 , 20 , 15 , 12，（） A .7 B .8 C .9 D .102. 2. 23 ，423，823，（）A .923 B .1223 C .1423D .10233. 1 ，10，31，70， 123（） A .136 B .186 C .226 D .256二、“两项之和（差）、积（商
29、）等于第三项”型基本类型： 两项之和（差）、积（商）二第3项； 两项之和（差）、积（商）土某数=第3项。4. -1 ，1，（ ），1，1，2A.1B.0 C.2 D.-15. 21，31，（ ），61，0，61A.21 B.0C.61 D.316. 1944 ， 108， 18，6，（ ） A3 B.1 C. 10 D. 877. 2 ，4，2，（ ），41，21A.2 B.4 C.41D.21三、平方数、立方数1）平方数列。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121。2）立方数列。1，8，27，64，125，216，343。8.1 ，2，3，7，46 ,()A.2109B
30、.12189C.322 D.1479.-1 ， 0 ， -1(),-2 , -5,-33A.0 B.1C.-1 D.-2四、升、降幕型10.24 ， 72 ，216,648 ,()A.1296B.1944C.2552D.324011.219 ， 113，1，2 ,(), 24A.3B.5C. 7D. 10五、质数数列及其变式12.113 ， 17，13,119,()A.122B.129C.1 D.12325六、跳跃变化数列及其变式13.9 ， 15，22，28 , 33 , 39 ,55,()A. 60B.61C. 66 D. 58七、分组数列（若干项组成一组，每组的关系式一致）14. 2，9
31、， 1， 8，（）， 8，7，2A.10B.9C.8 D.7八、分数数列（分子、分母各成不相关的数列或分子、分母交叉看）15.41 , 103, 207, 52,()A.53 B. 54 C. 1D. 20916.21 , 31, 32, 36,()A.129 B. 318C. 618 D. 3618十、阶乘数列17.1 , 2 , 6 , 24 ,(),720A. 109B. 120 C. 125 D. 169十、余数数列18.15 , 18 , 54 ,(),210A. 106 B.107C. 123 D. 112技巧方法:（一）观察数列的变化趋势。1、单调上升或下降的数列先减加，再除乘，
32、平方立方增减项”2、波动性的数列。“隔项相关 ”3、先升后降的数列。 “底数上升，指数下降的幂数列 ”“最后一项为分子为 1 的分数，倒数 第二项为 1”1、1A6,2A5,3A4,4A3,5A2,6A1,7A0,8A-1,即 1 , 32, 81, 64, 25, 6, 1, 1/8 ;整除判定基本法则1. 能被 2、 4、 8、 5、 25、 1 25整除的数的数字特性能被2（或5）整除的数（余数） ,末一位数字能被 2（或5、 0）整除（余数） ;能被4（或 25）整除的数（余数）,末两位数字能被 4（或 25）整除（余数） ;能被8（或1 25）整除的数（余数） , 末三位数字能被 8（或1 25）整除（余数） ;2. 能被 3、 9 整除的数的数字特性能被 3（或9）整除的数（余数） ,各位数字和能被 3（或 9）整除（余数）。3. 能被 11 整除的数的数字特性能被1 1整除的数, 奇数位的和与偶数位的和之差,能被 11整除。4. 能被 6：能被 2和3整除； 能被 1 0：末位是 0；能被 12：能被 3和 4整除