1、中国梦中国梦全国优秀多媒体教学课件评选大赛课件全国优秀多媒体教学课件评选大赛课件等比数列等比数列（第第一一课课时时）数学是有用的-陈省身语 数学是有用的 古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯他用象形文字写了一部算书，记录了公元前2000年前1700年间数学研究的一些成果其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其各级注数为7,49,343,2401,16807.并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器原书上并无任何说明，遂成为数学史上的一个难解谜.2000多年中无人能解释你能解释吗？情景（1）-懂圣贤语 数学是有用的曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子庄子意思：意
2、思：“一尺长的木棒，一尺长的木棒，每日取其一半，永远也每日取其一半，永远也取不完取不完”。如果将如果将如果将如果将“一尺之棰一尺之棰一尺之棰一尺之棰”视为一份，视为一份，视为一份，视为一份，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：情景（1）-懂圣贤语 数学是有用的给你一张足够大的纸，假设给你一张足够大的纸，假设其厚度为其厚度为0.1毫米，那么当你毫米，那么当你把这张纸对折了把这张纸对折了51次的时候，次的时候，所达到的厚度有多少？所达到的厚度有多少？把一张纸折叠把一张纸折叠5151次，次，得到的大约是地球与得到的大约是地球与太阳之间的距离
3、太阳之间的距离！情景（2）-培智慧根 数学是有用的指数爆炸指数爆炸情景（2）-数学是有用的：培智慧根 数学是有用的 一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?情景（2）-培智慧根 数学是有用的指数爆炸指数爆炸 一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：在30天中，每天借给穷人10万元借钱第一天，穷人还1分钱；第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都
4、是前一天的2倍，30天后，互不相欠。穷人听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。情景（3）-固君子本 数学是有用的国际象棋起源于印度，关于国际象国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：发明者说：“请在棋盘上的第一个请在棋盘上的第一个格子上放格子上放1粒麦子，第二个格子上粒麦子，第二个格子上放放2粒麦子，第三个格子上放粒麦子，第三个格子上放4粒麦粒麦子，第四个格子上放子，第四个格子上放8粒麦子，依粒麦子，依次类推，直到第次类
5、推，直到第64个格子放满为止。个格子放满为止。”国王慷慨地答应了他。你认为国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？国王有能力满足上述要求吗？左图为国际象棋的棋盘，棋左图为国际象棋的棋盘，棋盘有盘有8x8=64格格12345678上述棋盘中各格子里的上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成麦粒数按先后次序排成一列数：一列数：情景（3）-固君子本1844,6744,0737,0955,1615 数学是有用的12345678“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.（我国现行定期储蓄中的自动转存
6、业务实际上就是按复利支付利息的）计算本利和的公式：本利和=本金(1+利率)存期.现在银行存入10000元，年利率为1.98%，则按照复利列出5年内各年末得到的本利和分别是多少？情景（4）-为民生计 数学是有用的“时间时间”“年初本金年初本金”“年末本利和年末本利和”三三个量之间的对应关系，个量之间的对应关系，各年末本利和各年末本利和(单位：元单位：元)组成了下面数列：组成了下面数列：10 00010 0001.019 81.019 8，10 00010 0001.019 81.019 82 2，10 00010 0001.019 81.019 83 3，10 00010 0001.019 81
7、019 84 4，10 00010 0001.019 81.019 85 5.情景（4）-为民生计 数学是有用的复习回顾一复习回顾一什么是等差数列？什么是等差数列？一般地一般地一般地一般地，如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第2 2 2 2项起，每一项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的项的项的项的差差差差等于等于等于等于同一个常数同一个常数同一个常数同一个常数，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做等差数列等差数列等差数列等差数列。这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常
8、数叫做等差数列的公差公差公差公差，用，用，用，用d d d d表示表示表示表示。比较下列数列比较下列数列共同特点？共同特点？(1)(2)(3）9 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95 5，9 96 6，9 97 73636，36360.90.9，36360.90.92 2,360.93,（4）从第从第2项起，每一项与项起，每一项与前前一项的比都等于一项的比都等于同一常数同一常数.类比仿写一类比仿写一由等差数列仿写等比数列？由等差数列仿写等比数列？一般地一般地一般地一般地，如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第2 2 2 2项起，每一项与前一项起，每一
9、项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的项的项的项的差差差差等于等于等于等于同一个常数同一个常数同一个常数同一个常数，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做等差数列等差数列等差数列等差数列。这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差公差公差，用，用，用，用d d d d表示表示表示表示。1、文字语言：、文字语言：一般，如果一个数列从一般，如果一个数列从第第2项起项起，每一，每一项与它前一项的项与它前一项的比等于同一个常数比等于同一个常数，这个数列就叫做，这个数列就叫做等比数列等比数列。这个。这个常数常
10、数叫做等比数列的叫做等比数列的公比公比，公比通常，公比通常用用字母字母q表示。表示。或或(q0）2、数学符号语言：（递推公式）、数学符号语言：（递推公式）等比数列的每一等比数列的每一项都不为项都不为0，即，即an0。等比数列定义等比数列定义名名称称等差数列等差数列等比数列等比数列定定义义如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的项的差差都等于都等于同一个同一个常数常数，那么这个数列，那么这个数列叫做等差数列叫做等差数列.这个这个常数叫做等差数列的常数叫做等差数列的公差，用公差，用d d表示表示如如果果一一个个数数列列从从第第2 2项项起起，每每一一项项与与它
11、它前前前前一一项项的的比比都都等等于于同同同同一一一一个个个个非非非非0常常常常数数数数,那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等比数列比数列.这个常数这个常数叫做等比数列的叫做等比数列的公公比比，用，用q表示表示.类比归纳类比归纳概念内涵与外延一概念内涵与外延一1.公比是等比数列，从第公比是等比数列，从第2项起，项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。每一项与前一项的比，不能颠倒。2.对于一个给定的等比数列，它的对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个非公比是同一个非零零常数。常数。3.等比数列的每一项都不为等比数列的每一项都不为0，即，即an0。若若an+1=anq(nN+,q为常数），则为常数）
12、则数列数列an是否是等比数列？反之能是否是等比数列？反之能成立吗？成立吗？概念内涵与外延二概念内涵与外延二不一定是等比数列。这是因为：（不一定是等比数列。这是因为：（1）若）若an=0,等式等式an+1=anq对对nN恒成立，但从第二项起，每一项与它恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零；（能为零；（2）若）若q=0，等式，等式an+1=anq，对，对nN仍恒成仍恒成立，此时数列立，此时数列an从第二项起均为零，显然也不符合从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比等比数列的定义
13、故等比数列中的公比q不能为零。不能为零。所以，所以，如果如果an+1=anq(nN，q为常数），数列为常数），数列an不一不一定是等比数列。反之能成立。定是等比数列。反之能成立。答：答：等比数列中等比数列中(1)公比公比q为什么不能等于？首项能等于吗？为什么不能等于？首项能等于吗？(2)公比公比q=1时是什么数列？时是什么数列？(3)q1数列递增吗？数列递增吗？q1数列递增吗？数列递增吗？q1数列递减吗？数列递减吗？说明：说明：(1)公比公比q0，则，则an0(nN)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；既是等差又是等比数列为非零常数列；(3)q=1，常数列；既是等差又是等比数列。常数列
14、既是等差又是等比数列。q0q0，摆动数列；，摆动数列；概念内涵与外延四概念内涵与外延四如果等比数列如果等比数列an的首项是的首项是a1,公比是公比是q,那么那么这个等比数列的第这个等比数列的第n项项an如何表示如何表示?概念内涵与外延四概念内涵与外延四当当n=1时，时，（等比数列通项公式）（等比数列通项公式）法一：法一：（不完全归纳法）（不完全归纳法）证明：证明：将等式左右两边分别相乘可得：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：化简得：即：即：此式对此式对n=1也成立也成立法二：法二：（叠乘法叠乘法）想一想？想一想？一般形式：一般形式：1、判别下列数列是否为等比数列、判别下列数列是否为等比数列
15、2)1.2,2.4,-4.8,-9.6(3)2,2,2,2,(4)1,0,1,0课堂练习课堂练习等差中项等差中项 若若a,A,ba,A,b三个数成等差数列，则三个数成等差数列，则A A叫做叫做a,ba,b的等差中项。的等差中项。2A=a+b2A=a+b复习回顾二复习回顾二如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b组成一组成一个等比数列，则中间的数个等比数列，则中间的数G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。若若G2=ab，则，则a，G，b一定成等比数列吗一定成等比数列吗？2 2、等比中项：、等比中项：类比仿写二类比仿写二观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，三
16、个观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，三个数就会成为一个等比数列：数就会成为一个等比数列：（1）1，9（2）-1，-4（3）-12，-3（4）1，13261概念巩固概念巩固例例1、在等比数列、在等比数列an中，已知中，已知:求求an.例题剖析例题剖析解得解得因此，因此，例例1、在等比数列、在等比数列an中，已知中，已知:解：设等比数列解：设等比数列an的公比为的公比为q,由题意得由题意得求求an.规范解答规范解答求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（2）1.2，2.4，4.8，（1）5，-15，45，课堂练习课堂练习求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（2）1.
17、2，2.4，4.8，（1）5，-15，45，规范解答规范解答从从1976年至年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亿多亩，增产稻谷亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。万人口。西方世界称他的杂交稻是西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻东方魔稻”，并认为是解决，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。下个世纪世界性饥饿问题的法宝。例例2、袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代、袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得
18、到下一代的种子都可以得到下一代的120粒种子，到第粒种子，到第5代时大代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？效数字）？例题剖析例题剖析例例2、袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的种子都可以得到下一代的120粒种子，到第粒种子，到第5代时大代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？效数字）？由于每代的种子数是它的前一
19、代种子数的由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为因此，逐代的种子数组成等比数列，记为答：到第答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子代大约可以得到这种新品种的种子2.51010粒粒.解：解：规范解答规范解答例例 已知已知an、bn是项数相同的等比是项数相同的等比数列，试证数列，试证anbn是等比数列是等比数列.数数列列等等差差数数列列等等比比数数列列定义式定义式公差（比）公差（比）定义变形定义变形通项公式通项公式一般形式一般形式 an+1-an=dd 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an=a1+(n-1)d a
20、n=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m课堂小结课堂小结变形变形1：已知已知an、bn为等比数列，为等比数列，c是非零常是非零常数，则数，则can、an+c、an+bn是否为等比数列是否为等比数列？变形：变形：已知已知an为等比数列，问为等比数列，问a10,a20,a30,是是否为等比数列？否为等比数列？变形变形2：已知已知an为等比数列，问为等比数列，问a2,a4,a6,是是否为等比数列？否为等比数列？课后作业二课后作业二祝同学们自今日起，学业成正等比数祝同学们自今日起，学业成正等比数列指数爆炸式递增！列指数爆炸式递增！前途焦虑压力成负等比数列指数爆炸前途焦虑压力成负等比数列指数爆炸式递减！式递减！
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