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1、第五十六课时曲线与方程课前预习案1考纲要求1. 理解坐标法研究解析几何问题的根本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程2. 掌握常用的几种求轨迹方程的方法.心、根底知识梳理1. 曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x, y) = 0之间具有如下关系：(1) 曲线C上点的坐标都是(2) 以方程 F(x , y) = 0的解为坐标的点都 那么这个方程叫做，这条曲线叫做2. 求动点的轨迹方程的一般步骤(1) 建系一一建立适当的坐标系.(2) 设点一一设轨迹上的任一点Rx, y).(3) 列式列出动点 P所满足的关系式.(4) 代换一一依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x, y
2、的方程式，并化简.(5) 证明一一证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3. 两曲线的交点(1) 由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个 曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点； 方程组无解，两条曲线就没有交点.(2) 两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的 交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.4. 求轨迹方程的常用方法(1) 直接法：直接利用条件建立x, y之间的关系F(x, y) = 0;(2) 待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的
3、方程， 再由条件确定其待定系数；(3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程；(4) 代入法(相关点法)：动点Rx, y)依赖于另一动点 Qxo, yo)的变化而变化，并且Qx。,yo)又在某曲线上，那么可先用x, y的代数式表示xo, yo,再将xo, y。代入曲线得要求的轨迹方程；(5) 参数法：当动点 Rx, y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可 考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.预习自测1. 点 A 2,0)、B(3,0)，动点P(x, y)满足PA- 瑶x2- 6，那么点P的轨迹
4、方程是2. 两定点 A 2,0)、耳1,0)，如果动点P满足| PA = 2|PB，那么点P的轨迹所包围的图形的面积为.3. 方程(2x + 3y 1)( x 3 1) = 0表示的曲线是( )A.两条直线B.两条射线C.两条线段D. 条直线和一条射线4. 点P是直线2x y+ 3 = 0上的一个动点，定点M 1,2) , Q是线段PM延长线上的一点，且| PM = | MQ，贝y Q点的轨迹方程是()A. 2x + y+ 1 = 0B. 2x y 5 = 0C. 2x y 1 = 0D. 2x y+ 5 = 05. 假设点P到直线x = 1的距离比它到点(2,0)的距离小1,那么点P的轨迹为
5、()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线第五十六课时曲线与方程(课堂探究案)典型例题考点1直接法求轨迹方程【典例1】M4,0) , N1,0)，假设动点P满足MN- M= 6| NP-(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 设Q是曲线C上任意一点，求 Q到直线I : x + 2y 12= 0的距离的最小值.【变式1】 如下图，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 丨1,丨2,假设11交x 轴于A,丨2交y轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程.IVOx考点2定义法求轨迹方程【典例2】两个定圆 O和Q，它们的半径分别是1和2,且| 0Q| = 4.动圆M与圆O内切， 又与圆Q外切，建立适当的坐标系，求动
6、圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.【变式2】如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕 m交线段CM于点N现将圆形纸片放在平面直角坐标系xQy中，设圆C:(x + 1)2 + y2= 4a2 ( a>1), A(1,0)，记点 N的轨迹为曲线 E(1) 证明曲线E是椭圆，并写出当 a= 2时该椭圆的标准方程；(2) 设直线I过点C和椭圆E的上顶点B,点A关于直线I的对称点为点Q假设椭圆E的离心率e 2, ，求点Q的纵坐标的取值范围.考点3相关点法求轨迹方程【典例3】设F(1,0) , M点在x轴上，P点在y轴上，且MN= 2祈？
7、 PMl PF,当点P在y轴上 运动时，求点 N的轨迹方程.【变式3】长为1 + .'2的线段AB的两个端点 A B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB 上一点，且AP=申用 求点P的轨迹C的方程.応*当堂检测1. 方程(x + y 4) Jx + y + 1 = 0的曲线形状是2. ABC的顶点 A 5,0 , B5,0 , ABC的内切圆圆心在直线 x = 3上，那么顶点C的轨迹方程是2 2x yA = 19162 2x yB = 11692 2x y C- = 1 ( x>3)9162 2x yD. = 1 ( x>4)1693.平面直角坐标系中，两点A(3,1) , B
8、( 1,3)，假设点 C满足&=入 Oat 入 23BO 为原点，其中入1,入2 R,且入1+入2= 1,那么点C的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线2 2x y4.动点P为椭圆尹产1a>b>0上异于椭圆顶点土 a，0的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段 PR相切，那么圆心 C的轨迹为A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线第五十六课时曲线与方程课后拓展案J；' A组全员必做题1. 点 M 3,0 , N3,0 , B1,0，动圆C与直线 MN切于点B,过M N与圆C相切的两直线相交于点 P,那么P点的轨迹方程为()2
9、2 y A. x = 1 ( x>1)822 y B. x 8 = 1 ( x< 1)22C. x2+ y = 1 ( x>0)82 yD. x210= 1 ( x>1)2. 有一动圆P恒过定点F(a,O) ( a>0)且与y轴相交于点A、B,假设 ABP为正三角形，那么点P的轨迹为A.椭圆B.双曲线D.圆3.点P是以Fi、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作/ F1PF2外角平分线的垂线，垂足为C.抛物线那么点M的轨迹是4.A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2 2P是椭圆 2+ b= 1 3 b 0上的任意一点，Fi、F2是它的两个焦点，o为坐标原点，pF+ 晞
10、，那么动点 Q的轨迹方程是 .5. M 2,0) , N(2,0)，那么以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是j B组提高选做题2 2x y1. 过椭圆-+ 2= 1 ( a>b>0)上任意一点 M作x轴的垂线，垂足为 N,那么线段 MN中点的轨迹a b方程是.2. 如下图，正方体 ABCA1B1GD的棱长为1,点 M在 AB上，且1AM= 3AB点P在平面ABCDk，且动点 P到直线AD的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是.3. 点A(1,0)，直线I : y = 2x 4，点R是直线I上的一点，假设RA= Ap求点P的
11、轨迹方 程.4. 如图，设P是圆x2 + y2= 25上的动点，点 D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且| MD4=41 % 当P在圆上运动时，求点 M的轨迹C的方程;4(2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被C所截线段的长度.参考答案*预习自测1. 【答案】y2= x【解析】PB= (3 x, - y), PAi= ( 2-x, y),二 PA- PB= (3 x)( 2 x) + y2= x2 x 6 + y2= x2 6，二 y2= x.2. 【答案】4n【解析】设 Rx, y)，由 | PA = 2|PB，得：x+ 2 2+ y2= 2.： x 1 2+ y2,'3x2+
12、3y2 12x = 0,即 x2+ y2 4x= 0. P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为 2的圆即轨迹所包围的面积等于4n.3. 【答案】D2x + 3y 1 = 0,【解析】原方程可化为或x 3 1 = 0,x3>0%即2x+ 3y 1 = 0 ( x>3)或x = 4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.4. 答案】D【解析】由题意知，M为PQ中点，设Qx, y)，贝U P为(一2 x, 4 y)，代入2x y+ 3 = 0得2x y + 5= 0.5. 答案】D解析】依题意，点P到直线x = 2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点 P的轨迹是抛物线1典型例题典例1】
13、(1)设动点F(x, y),那么 MP= (x 4, y), MN= ( 3,0) , PN= (1 x, y),由得一3( x 4) = 6,'1 x 2+ y 2 ,2 2化简得 3x2+ 4y2 = 12 ,即 x + y = 1.432 2x y点P的轨迹是椭圆 C：匸+：7= 1.43(2)由几何性质意义知，I与平行于I的椭圆C的切线I '的距离等于 Q与I的距离的最 小值.设I': x + 2y + D= 0.将其代入椭圆方程消去 x,化简得：16y2+ 12Dy+ 3( D 4) =0.A = 144D2 192( Cf 4) = 0? D=±
14、4 ,I 12 4点Q与I的距离的最小值为 5.5【变式1】设点M的坐标为(x, y), M是线段AB的中点， A点的坐标为(2x, 0) , B点的坐标为(0,2 y).l '和I的距离的最小值为 PA= (2x 2, - 4) , PB= ( 2,2 y 4).由 PA- PB= 0, 2(2 x 2) 4(2y 4) = 0, 即 x + 2y 5= 0.线段AB中点M的轨迹方程为 x+ 2y 5= 0.【典例2】如下图，以 OQ的中点O为原点，OQ所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.由|OQ| = 4,得0( 2,0)、0(2,0).设动圆M的半径为r,那么 由动圆M与圆O内切
15、，有|M0 = r 1;由动圆M与圆Q外切，有|MQ = r + 2. |M0 |M0 = 3. 点M的轨迹是以 0、Q为焦点，实轴长为 的双曲线的左支.3 c .222 7 a=-，c = 2, b = c a = 一.2，4、4x2 4y23点M的轨迹方程为 =1 ( x < 2).【变式2】(1)证明依题意，直线 m为线段AM的垂直平分线,I NA = 1 NM I NQ + | NA = INC + | NM = |CM = 2a>2, N的轨迹是以C A为焦点，长轴长为 2a,焦距为2的椭圆.当a= 2时，长轴长为 2a= 4，焦距为2c = 2, .222小 b = a
16、 c = 3.2 2椭圆的标准方程为4+3=1.2 2x y解 设椭圆的标准方程为 孑+合=1 ( a>b>0).22由(1)知：a b = 1.又 Q 1,0) , B(0 , b),x y直线l的方程为 二彳+ £= 1.即bx y + b= 0.设Q(x, y)，因为点Q与点A(1,0)关于直线l对称,吕 b= 1,x 14b消去x得y=廿+ 1.离心率e3 ,即】w w 3. -w a2w 4.4'4 a 43 4< b2+ 1W4,34b 4y=7= w 2,当且仅当b= 1时取等号.b + 1,1b+ b又当b=3时，y=3;当b=,y = ,3
17、,a 3< y w 2.点Q的纵坐标的取值范围是,3,【典例 3】设 Mxo, o), P(o , yo), N(x,2 y),> > >>/ PMLPF, PM= (xo, yo) , PF= (1,yo),2 ( Xo , yo) (1 , yo) = 0, - - Xo+ y°= 0.t tx xo= 2xo由MN= 2M得(x xo , y) = 2( xo , yo) , y = 2yoXo= X，即故所求的点N的轨迹方程是y2= 4x.【变式 3】设 A(xo, 0)，耳0 , yo)，P(x,y), AP=又 AP= (x xo, y),
18、PB-( x,xo= 1 +# x, yo= (1 + 2)y.yo y),所以 xxo= x, y=¥(y° y)，得因为 | AB = 1 + 2，即 x0+ y0= (1 + 2)2 ,所以 1 + 孑 x 2+ (1 + 2)y2= (1 + 2)2 ,2 2x 2x 2化简得2+y = 1. 点p的轨迹方程为+ y = 1.1.【答案】C22,只x+ y + 1 = 0 和圆 x2x + y 4 = 0,【解析】由题意可得x+ y + 1 = 0或它表示直线x + y +1> 0,+ y2 4 = 0在直线x + y + 1 = 0右上方的局部.2.【答案】
19、 C【解析】如图，|AD = |AE = 8, |BF =|BE = 2, |CD =|CF ,所以 | CA | CBB = 8 2= 6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为 6的双曲线的右支，方程为2 2x y土= 1 ( x>3).9163.【答案】【解析】设 C(x，y)，那么0C= (x，y),Oa= (3,1) , 0B= ( 1,3),线. x = 3 入 1 一入 2T OC=入 1OAF 入 2OBy =入1 + 3入2，又 入1+入2= 1，二x + 2y 5= 0,表示一条直4.【答案】【解析】如下图，设三个切点分别为| PF| + | PF2| =
20、 | PF| + | PM + |F2N| = | FN| + | F2N| = | 尸冋 + 2| F2N =2a,IF2N = a c , N点是椭圆的右顶点,CNLx轴，.圆心 C的轨迹为直线.QMA组全员必做题1.【答案】A【解析】设另两个切点为 E、F,如下图，贝y | PE = | PF ,|ME = |MB,| NF = | NB.Jya.M OB N x从而 | PM | PN = |ME INF = |MB |NB = 4 2 = 2<| MN，所以 P 的轨迹是以M N为焦点，实轴长为 2的双曲线的右支.a= 1, c = 3,2 b2 = 8.故方程为 x2 首=1
21、 ( x>1).2. 【答案】 B【解析】 设P(x, y)，动圆P的半径为R,由于 ABP为正三角形, P到y轴的距离即| x| =R而 R= | PF|x- a 2+ y2x| =2 2亠222x+ 3ay整理得：x+ 3a 3y = 12a ,即卩2 2= 1.4a点P的轨迹为双曲线.3.【答案】 A【解析】如图，延长 FM交FiP延长线于N.| PF2| = | PN|FiN| = 2a.连接0M那么在 NFF2中，0M为中位线,i那么| 0M = 2I FiN = a. M的轨迹是圆.24.【答案】2 2x y2+2=14a 4b【解析】> > > >
22、> > > >由 0Q= PF+ PR, 又 PF+ PF>= PM= 2P0=- 20P设Qx,y，那么 0P=2oQ= 2x, y=x2,即p点坐标为x2,p在椭圆上,x 22那么有一L + rray 2"272 = 1, 即卩 42+ 4. b4a4b2x"22y.=1.5.【答案】x2 + y2 = 4 x工土 2【解析】设Px, y，因为 MPF为直角三角形， | MP2 + | NR2=| MN2,222222X + 2 + y + x 2 + y = 16,整理得，x + y = 4. M N P不共线，二x工土 2,2 2轨迹方
23、程为x + y = 4x 土 2.7B组提高选做题2 2x 4y2 + 乞=1a b1.【答案】【解析】2x2 +a设MN的中点 Rx, y，那么点 Mx,2y在椭圆上,2 2 22y x 4y厂=X即孑+ f = 1.2.【答案】2 2 1 y= 3x9M【解析】过P作PQL AD于 Q,再过Q作QHL AD于H,连接PH:曲二了2 2PM 可证 PHL AD，设 P(x, y)，由 I PH I PM = 1,2 1 2 2 2 2 1得 x + 1 X 3 + y = 1,化简得 y= 3X 9.3解 / RA= AP, R A, P三点共线，且 A为RP的中点，t t1 X1 = x
24、1设 P(x, y), R(X1, y1)，那么由 RA= AP,得(1 X1 , y" = (x 1 , y)，贝Uy1=y即X1= 2 x,屮=y,将其代入直线 y= 2x 4中，得y = 2x,点P的轨迹方程为y = 2x.4.解(1)设M的坐标为(x, y) , P的坐标为(xp, yp),Xp= x ,由得 5yp= 4y， P在圆上, x2 + (|y)2= 25 ,即轨迹 C 的方程为 2X5+ 16 = 1.44 过点(3,0)且斜率为5的直线方程为y = 5( X 3),设直线与C的交点为A(X1 , y，B(X2 , y2),4将直线方程y = H x 3)代入C的方程，得52 2x x 3口“225+25 = X 即 x 3x 8=°.匕=宁,X2 =宁41 41 = 52X1 X2线段 AB 的长度为 | AB = ; X1 X2 2+ y1 y2 2= )1+ k2