《湖北省孝感市2013年高考数学备考资料 研究专题3（必修1）：试题解法探究与推广.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省孝感市2013年高考数学备考资料 研究专题3（必修1）：试题解法探究与推广.doc（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、解法探究与推广湖北省孝感高级中学 蒋志方 王国涛 题目：设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线（I）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（II）过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点直线交曲线于另一点是否存在使得对任意的都有若存在，求的值；若不存在，请说明理由。 此题取材于课本，经过加工改造后又高于课本，充分体现了高考命题依纲靠本，源于教材又高于教材的指导思想。本题以探索性问题设问，考查椭圆中恒垂直问题，这是高考考查的热点之一。主要考查椭圆中的基本量，求轨迹方程的方法，
2、直线与椭圆的位置关系，向量数量积运算，方程恒成立等知识。渗透分类讨论，函数与方程，数形结合，化归与转化等数学思想。本题也一改总是考查韦达定理中两根和，积的传统模式，有利于纠正“教学题型化”，“解题套路化”的片面做法，实现了新课改背景下考查解析几何问题的创新与突破。因此本题达到了考查学生创新意识的目标，是一道能有效考查数学基础知识，基本思想和思维能力的优秀试题，值得探究与推广。1解法探究解（I）解法1（转移法）设由得若则曲线为焦点在的椭圆，其焦点为若则曲线为焦点在的椭圆，其焦点为解法2（参数法）设由得消去得下同解法1。（II）解法1（直接求交点法）不妨设存在合题意，由得关于对称，直线方程为将其代
3、入椭圆消去得2 / 9 上式对任意恒成立，即存在合题意。解法2（联立直线和椭圆借助韦达定理法）易知直线方程为设直线方程为代入椭圆消去并整理得此方程的两根为上式对任意恒成立，即存在合题意。解法3（常数逆代法）同解法2设直线方程为令以为原点建立新坐标系则在新坐标系下椭圆的方程为直线方程变为逆代上式并化简整理得两边同除以则是该方程的两根，即存在合题意。解法4（参数方程法）设时，故三点共线， 又或（此时重合，故舍去），上式对任意恒成立，即存在合题意。解法5（设而不求，利用点差法）设中点在椭圆上，两式相减得2考题溯源2.1教材背景 上面的高考题第（1）取材于人教版高中数学普通高中课程标准实验教科书选修2
4、-1例习题。题1（教材第41页例2）在圆上任取一点过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？题2（教材第50页第1题）轴，点在的延长线上，且当点在圆上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状。与例2相比，你有什么发现？题3（教材第74页第1题）从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 值得注意的是，去年解析几何大题第（1）问也来源于教材中多次出现的例习题，这充分说明高考题遵循来源于课本但高于课本的命题原则。真可谓“得教材者得天下”。2.2往年高考题背景（2011年高考江苏卷第18题）如图1，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过
5、坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限.过作轴的垂线，垂足为连接并延长，交椭圆于点设直线的斜率为（1）若直线平分线段求的值；（2）当时，求点到直线的距离（3）对任意的求证： 可以看出，今年的湖北卷高考题第（2）问正是此题的逆命题，这也充分说明搞题海战术是行不通的，必须对某些经典题目进行深入研究，包括推广，类比，逆向和变式研究，而不是浅尝辄止。同时也有利于推进中学数学的素质教育。3命题推广先对第（1）问推广得到下面一个命题：命题1设是曲线上任意一点，过作轴的垂线段为垂足，且则点的轨迹方程为容易得出，当是圆时，经过这样的伸缩变换后变为椭圆；当是椭圆时，经过这样的伸缩变换后变为圆或椭圆；当是双曲线时，经过这样的伸缩变换后变为双曲线；当是抛物线时，经过这样的伸缩变换后变为抛物线。 再对第(2)问推广得到离心率为的椭圆的一个优美性质。性质1设椭圆过原点作斜率为的直线交于两点，在轴（轴）上的射影为直线与交于另一点则证明：仅证焦点在轴的情形，易知直线方程为设直线方程为代入椭圆消去并整理得：此方程的两根为 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！