《2021版高考数学一轮复习周周测训练第8章数列.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版高考数学一轮复习周周测训练第8章数列.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、周周测8数列的综合测试一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. (2021 山西太原五中调考)把1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如下图)F i 豪皿H 寸!.*W'* EFF =F*13ft10】§那么第7个三角形数是()A. 27 B . 28C. 29 D . 30答案：B解析：观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即an= an 1 + n(n?2).所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是ay= a6+ 7
2、 =a5 + 6+ 7 = 15+ 6 + 7= 28.应选 B.12. (2021 山东潍坊期中)在数列an中，a1= 2, an+1 = an+ ln 1+ -，贝U an=()A. 2 + Inn B . 2 + ( n 1)ln nC. 2 + nln n D . 1 + n+ In n 答案：A解析：解法一 由得an+1 an= ln11+= lnnn 1 卜lnn+ 1n,而 an = (an an 1) + ( an 1 an 2)2ln1+2=lnn n 1n1 n 2+ + (a2 a) + a1,n?2,所以 an= In+ ln + +n 1n 2+ 2 = In n +
3、 2, n?2.当 n= 1 时，a1= 2 = ln1 + 2.应选 A.1n解法二由 an = an1 + ln 1 + 门=an1 + In= an1 + ln nln( n 1)( n?2)，可知an In n= an-1 ln( n 1)( n?2).令 bn= an Inn,那么数列bn是以 b1= a1 In1 = 2 为首项的 常数列，故bn= 2，所以2= an In n,所以an= 2+ Inn.应选A.3. 数列an的通项公式为an= 2n2+ tn + 1,假设an是单调递增数列，那么实数 t的取 值范围是()A. ( 6,+) B . ( a, 6)C. ( a, 3
4、) D . ( 3,+a )答案：A解析：解法一 因为an是单调递增数列， 所以对于任意的n N*，都有an+ 1>an，即2(n +1) +1 (n+1) + 1>2n + tn + 1，化简得 t> 4n 2,所以 t > 4n 2 对于任意的 n N都成 立，因为一4n 2W 6，所以t> 6.选A.解法二 设f ( n) = 2n2 + tn + 1,其图象的对称轴为 n= 4,要使an是递增数列，那么t 1 + 24< 2 ，即 t> 6.选 A.4. (2021 新课标全国卷川，9)等差数列 an的首项为1,公差不为0.假设aa, a3,
5、a6成等比数列，那么an前6项的和为()A. 24 B . 3C. 3 D . 8答案：A解析：此题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为d,依题意得a3= a2 a6，即(1 + 2d)2= (1 + d)(1 + 5d)，解得6x5d= 2 或 d= 0(舍去)，又 a= 1， S6 = 6X 1 + 2 x ( 2) = 24.应选 A.大理一诊)在等差数列an中，假设a3 + a4+ a5+ a6+ a7= 45,贝U a5 =()595. 2021A.C.答案： 解析：B .D .D由等差数列的性质知a3+ a4+ a5+ a+ a?= 5a5= 45，所以
6、a5= 9.应选D.1an6. 2021 安徽合肥二模一是等差数列，且 a1= 1, a4= 4，那么ae=4A. - B .54C.-13答案：5413D.4A14,由此可得1111a4 a1得一=1,=匚，所以等差数列-的公差为d=a1 a4 4an31n5154,.=.+ .，因此一=,所以 ae=口.应选 A.444a10457等比数列an共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64,那么其公比q为A.?2C. 2答案：解析：由奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1 5a2 a4 a6 a8 aw_ r丄/、山=64，贝U q = 32,那么 q= 2,应选a1 a3 a5 a7
7、 a9& 2021 辽宁盘锦高中月考an是首项为1且9S3= Ss,那么数列1的前5项和为an15亠 31亠A. m或5 B.花或515D. 8解析:由题意,1-=1 + (n 1) x anB. ,2D . 2 2C15831C.16答案:解析:aioa3 a5a7 a9= 2,a2a4 a6 a8aioC.1的等比数列，S是an的前n项和,C假设q= 1,那么由9S= S,得9X3a1 = 6a1,那么a1 = 0,不满足题意，故qz 1.由9S.3.6.a11 q a11 qn-1n-111=Sa,得 9x=，解得 q= 2.故 an= ag= 2,=1 q1 qan2T.所以数
8、列1 51 x 1 ;111231-是以1为首项，以厅为公比的等比数列，所以数列 二的前5项和为T5=.an2an1161 2应选C.9.八里关，算相还.2021 潍坊二模中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题：“三百七十 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走了 6天才到达目的地.那么此人第4天和第5天共走的路程为走的路程为前一天的一半, A. 60 里 B . 48 里C. 36 里 D . 24 里 答案：C1那么有1ai 1 -=378,1 2解析：由题意知，此人每天走的路
9、程构成公比为 2的等比数列.设等比数列的首项为 ai,1 1解得 ai = 192, a4= 192- = 24, a5= 24X 石=12, a4 + a5= 24 + 12= 36,82所以此人第4天和第5天共走了 36里路，应选C.10. 2021 河北冀州中学质检数列an满足a1= 0, &+1= an+ 2n,那么a2。仃的值 是2A. 2 017 B . 2 015 X 2 017C. 2 016 X 2 018 D . 2 016 X 2 017答案：D解析：因为 an+1= an+ 2n, a = 0an= an 1 + 2n 1,an-1 = an-2+ 2n 2,a
10、n- 2= an-3+ 2n 3,所以将这n 1个式子累加得 an = a1 + 2 x 1 + 2X2a3= a2+ 2 x 2,a2= a1 + 2 x 1,1 + n 1 n 1+ + 2(n 2) + 2(n 1) = 0 + 2X=n( n- 1).所以 a2 017= 2 016X 2017,应选D.11. (2021 大理一模)假设数列an的首项a1=2,且 an+1 =3an+ 2(nN*)，令bn=log3(an+1)，贝y b1 + b2 + b3+ b100 =()A. 4 900 B . 4 950C. 5 000 D . 5 050 答案：D*an + 1 + 1解析
11、：由 an+1 = 3an+ 2( n N)可得 an+1+ 1 = 3( an+ 1)，故=3,所以数列an+ 1an+ 1是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an+1 = 3n，所以bn= Iog3(an+ 1) = n,因此b +100X 1 +100b2 + b3+ b100= 5 050，选 D.12. 数列an的通项公式为an=3n a1a,由a1>0可知一19<0.故当n= 10时,令Cn= log3a2n,bn=，记数列bn的前Cn 6+ 2n项和为Tn,右对任意的n N ,入Tn恒成立，那么实数入的取值范围为)11A. a,6 B.-m,311C. m,4 d.
12、-m,5答案：D解析：vn 1an= 3,Cn= log 3a2n,. Cn= 2n 1,. Cn +2= 2n+ 3,bn =1 1 14 2n 1 2n+ 3 '1111111二 Tn = 4 1_5+ 3 - 7 + 5_9 + +11111=2n 3 2n+ 12n 12n+ 31 1 1 11 + 一=43 2n+12n+ 31 1 11342n+ 1 + 2n+ 3，由于Tn随着n的增大而增大，11Tn的最小值为T1 = 口，二入的取值范围为 入 <-，选D.55二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分把答案填在题中的横线上.13. 2021 兰州一模在数列1
13、,2，寸10,餐，中，2寸19是这个数列的第 项.'答案：26解析：数列 1,2 , - 7, .'10, 13,，即数列 _1, 3X 1+ 1,3X 2+ 1, 3X 3+ 1, ,.3X 4+ 1,，该数列的通项公式为 an= 3 n 1 + 1 =, 3n 2, a 3 n 2= 2,：19 = 76,a n= 26，故2 19是这个数列的第 26项.a1 a2 a3an 114. Sn为数列an的前n项和，I1=an 2 n?2，且ai = 2,那么2 3 4nan的通项公式为.答案：an= n + 1a1 a2 a3an1a1a1解析：T 2 + 3 + 4 +-
14、= an 2n?2，二当 n=2 时，三=a2 2，解得 a2= 3.2 +a2 a3an13 + 4 +2an+ 1ananan+1an卜 n+ 1 = an+1一2, n+1 = an+1一2 an 2 n?2'得 n+ 2 = n+ 1心2'an+1ana2-= 1 , an = n+ 1n?2，当 n= 1 时也满足，故 an= n+ 1.n + 2 n+ 13115. 等比数列an满足 a1 = , a2a8= 2a5 + 3,贝U a9 =.答案：18解析：解法一 先由条件得出根本量a1, q,再由等比数列的通项公式求得a9.2 84设公比为 q,由 a2a8= 2
15、a5+ 3,得 ag = 2aq + 3,1 1又 a1= ，所以 q8 4q4 12= 0,解得 q4 = 6 或 q4 = 2舍去，所以 a9= aq8=孑从2 =18.解法二由等比数列的性质可得a2a8 = a5,可得a5= 3，由aa9=空即可求出a9.根据等比数列的性质，可得a2a8= a5,又a2a8= 2a5+ 3,所以a； 2a5 3 = 0,解得 a5= 3 或 a5= 1,2因为a1>0,所以 隹=ag4>0，所以a5= 3,因为a£9= a2，所以a9= = 18.a116. 等差数列an的前n项和为满足S8= S12,且a1>0,那么S中最大
16、的是 .答案：So8X712X11解析：通解 设等差数列an的公差为d,根据S8= S12可得8a1 + 一2 d = 12a1+2 d,2n n 12a1210C即 2a1+ 19d = 0,得到 d = 19a，从而 S= na +2x = 19n 10 + 石优解 根据S8 = S2可得a9+ aio+ aii+ ai2= 0,再根据等差数列的性质可得aio+ an= 0,由ai>0可知aio>O, aii<0.从而可知所有正数相加时，Sn可取得最大值，即前 i0项和最大.三、解答题：本大题共 6小题，共70分解容许写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.i7.(本小
17、题总分值i0分)i数列an满足(an+ i i)( an - i) = 3( an an+ i) , ai = 2,令 bn=.an 一 i证明：数列bn是等差数列；求数列an的通项公式.解析：(i)证明：(an + i i)( an i) = 3( an i) ( an+ i i),ian + i iiii=_ ,即卩 bn+ i bn= ,. bn是等差数列.an i33i 2(2) bi = i所以an是以i为首项，2为公比的等比数列，所以an= 2n i.19. (本小题总分值i2分)(20i8 新疆模拟)数列an的前n项和为S,满足S= 2an 2n(n N*).(1) 证明：an+
18、 2是等比数列，并求an的通项公式；1(2) 数列bn满足bn= log 2(an+ 2) , Tn为数列的前门项和，假设Tn<a对任意正整数 , bn= 3n+ 3，3 n+ 5an i =',. ai =.n+ 2n+218. (本小题总分值i2分)(20i8 内蒙古呼和浩特二中月考)各项都为正数的数列 an满足ai= i, a： (2 an+ii) an 2an+ i = 0.(1) 求 a2, a3 ；(2) 求an的通项公式.解析：(i)因为 an (2 an+ i i) an 2an+ i = 0,2 所以当 n= i 时，ai (2 a2 i) ai 2a2= 0.
19、i因为ai= i,所以a2= 22 i冋理，当 n = 2 时，a2 (2 & i) a2 2a3= 0，所以 a3=.4(2)因为 aDnbi +in都成立，求a的取值范围.解析：证明：因为 Sn= 2an 2n(n N)，所以ai= S= 2ai 2，得ai= 2.当n?2 时，Si-1 = 2an i 2( n i).由两式相减得 an= 2an-1+ 2,变形得an+ 2= 2(an-1 + 2).又因为ai+ 2 = 4，所以an+ 2是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an+ 2 = 4X2n1,所以 an = 4X2n 1 2= 2n+1 2(n?2).又ai= 2也符
20、合上述表达式，所以an = 2+1 2( n N).(2)因为 bn= log 2( an+ 2) = log 22= n+ 1,1 1 1 1 (2an+1 i)an2an+1 = 0,所以 2an + i ( an+ i) = an( an + i).因为an的各项均为正数，所以2an+ i= an,ibnbn+ 1n+ 1n+ 2n+ 1 n+ 2'即 an+i = an,而 ai= i,1111 1 1所以 Tn= 2 3 + 3一 4 +1围是2，+m .20.本小题总分值12分2021 北京四中月考等比数列an中，a1,n+1 n+21 1 1 12，依题意得a>2，
21、即a的取a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某求数列an第一列第二列第三列第-行13210第二行6| 414第三行9818数，且a1, a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列n项和-1、c n-1.八 n. _.)=2 3+ ( -1) ln2 + (In2 - ln3) + - 1 + 2 - 3(2)假设数列bn满足：bn= R+ ( - 1) b如求数列6的前 解析：(1)当a1= 3时，不合题意；当a1= 2时，当且仅当 a2= 6, a3= 18时，符合题意；当a1= 10时，不合题意.因此 a1 = 2, a2= 6, a3 = 18,所以 an的公比 q= 3.所以 an
22、= 231(n N).(2)由(1)得 bn = an+ ( 1)nlnan = 23n-1+ ( 1)nln(2 3, (n- 1)ln3 = 2 3 n1 + ( - 1)n (ln2 - ln3) + ( - 1)nnln3 ,所以 S= 2(1 + 3 + + 3n一1) + - 1 + 1- 1 + -+ ( - 1)n + + ( - 1)nnln3.n当 n 为偶数时，S = 2X 1-3+?n3 = 3“ + ?n3 - 1;n.当n为奇数时,1 3n 1nn 1S = 2X - (ln2 - ln3) + n ln3 = 3 -ln3 -ln2 - 1.1 322n n3 +
23、 2丨n3 - 1, n为偶数，综上所述，S=n n 1 3 - 一1 n3 - ln2 -1, n为奇数.21.(本小题总分值12分)设数列an的前 n项和为 S, a1= 2®= 8,S+1 + 4S-1 = 5S( n>2), Tn是数列log 2an 的前n项和.(1) 求数列an的通项公式；1111 011(2) 求满足1 -1- 1->- n.o的最大正整数n的值.1213In2 018解析：(1) T 当 n >2 时，Sn+ 1 + 4S1- 1 = 5Sn,Si+1 Si = 4( S Si-1)an + 1 = 4an.a1 = 2, a2= 8
24、,.a2 = 4a1,.数列an是以2为首项，4为公比的等比数列，n- 12n -1an = 2X4= 2.(2)由(1)得 log 2an = log 222n 1 = 2n- 1,.Tn = log 2a1 + log 2a2 + + log 2an=1 + 3+-+ (2n 1)_n 1 + 2n- 11 1T-T21-T31 11 - 2 1-321 x 3x 2x 4X 3x 5X X1f =“ 2 2 2 2,12 -13 - 14 - 1n - 11 2 = 丁 x 丁 x 丁 x xn223242n- 1 n+ 1n+ 1人 n+ 11 011令 2n 2 018，22.(本小
25、题总分值(2021 天津卷，比数列，且公比大于1 009解得nw2，二正整数n12分)18) an为等差数列，前0, b2 + b3 = 12, b3= a4-2a1,的最大值为504.n项和为S(n N) , bn是首项为2的等 Si = 11 b4.2n ，(1) 求an和bn的通项公式；(2) 求数列a2nb2n-1的前n项和(n N*).解析：本小题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等根底知识.考查数列求和的根本方法和运算求解能力.(1) 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由 b+ b3= 12,得b(q + q2) = 12,而 b1= 2,所以 q + q-
26、 6= 0.解得 q = 2 或 q= - 3, 又因为q>0，解得q= 2,所以bn= 2.由 b3= a4 2a1，可得 3d a1 = 8.由 Sn= 11 b,可得 a1 + 5d= 16.联立，解得 a = 1, d= 3,由此可得an= 3n 2.所以，数列an的通项公式为an= 3n-2,数列bn的通项公式为bn= 2n.(2) 设数列a2nb2n-1的前 n 项和为 Tn,由 a2n= 6门一 2 , »2n- 1 = 2 X4 "一 得 a2nb2n- 1 = (3 n 1) x4n,故T= 2x4+ 5x4 + 8x4 + (3n 1) x4，4Tn= 2x4 2+ 5x4 3 + 8x4 4+ (3 n-4) x4 n+ (3n 1) x4 n+1,，得-3Tn= 2x 4+ 3x4 2+ 3x4 3+ 3x4 n-(3 n- 1) x4 n+1n12 x 1 4n+1=4-(3n 1) x41 - 4=-(3n-2) X4 n+1-8,3n 2n+1 8得齐二丁乂彳"1+ .QOQ所以数列a2nb2n-1的前n项和为一3 X4 n+ 1 + 3.3312n 12n+ 3