《2021版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质(2)学案新人教A版选修2-1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质(2)学案新人教A版选修2-1.docx（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、222 椭圆的简单几何性质(二)【学习目标：1.进一步稳固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识ET问题导学1知识点一点与椭圆的位置关系2X 2思考1判断点P(1 , 2)与椭圆-+ y = 1的位置关系答案I当x= 1时，得y2= 4，故y=± f，而2>F，故点在椭圆外.思考22 2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点F(xo, yo)与椭圆-2+器=1(a>b>0)的位置关系的判定吗？2 2答案当P在椭圆外时，二+ y2>1 ；a b2 2当P在椭圆上时，耸+罟=1;a b2 2xo yo当P在椭圆内时，+ 2<1.a b2 2
2、梳理 设F(xo, yo)，椭圆*+占=1( a>b>0)，那么点P与椭圆的位置关系如下表所示:宀护¥方 位置大糸满足条件F在椭圆外2 2xo yo孑+A1P在椭圆上22xo yo 討F=1P在椭圆内2 2xo yo知识点二直线与椭圆的位置关系 思考1直线与椭圆有几种位置关系?答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离思考2如何判断y= kx + m与椭圆a2+b2=1( a>b>0)的位置关系?y= kx + m,答案联立x2 y2£+ b= 1,消去y得关于x的一元二次方程宀护¥方 位置大糸解的个数A的取值相交两解A >0相切一
3、解A = 0相离无解A <0梳理(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.假设A >0,那么直线和椭圆相交；假设 A = 0,那么直线和椭圆相切；假设 A <0,那么直线和椭圆相离.(2) 根与系数的关系及弦长公式2 2x y设直线I : y= kx + mjkM0, m为常数)与椭圆二+ 2= 1(a>b>0)相交，两个交点为 A(xi, yi)、 a b巳X2, y2)，那么线段AB叫做直线I截椭圆所得的弦，线段 AB的长度叫做弦长下面我们推导 弦长公式：由两点间的距离公式，得| AB =7 Xi X
4、2 2+ yi y2 2，将yi= kxi + m, y2= kx2+ m 代入上式， 得| AB = xi x2 2+ kxi kx22 = xi x22+ k2 xi x22 =p 1 + k21 xi X2| ,而| xi X2| =寸 Xi + X2 2 4xiX2，所以 | AB = 71 + k2 寸 Xi + X22 4xiX2，其中 xi + X2与 X1X2均可由 根与系数的关系得到. 直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用A >0.2 2x y例如，直线I : y = k(x 2) +1和椭圆；6+ = 1.无论k取何值，直线I恒过定点(2
5、, 1),而定点(2 , 1)在椭圆内部，所以直线I必与椭圆相交2 2x y例1点P(k, 1)，椭圆-+才=1,点在椭圆外，那么实数 k的取值范围为 答案(一8,- ¥)U(¥，+8)k21解析据题知9 +1>1， 解得k<-穿或k>攀.引申探究假设将本例中P点坐标改为“ P(1 , k)呢？答案 (a, 432)u(432，+m)21 k2 32解析 依题9+->1，解得k2©,即k<弩或¥反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题, 注意求解过程与结果的准确性.2 2x y跟踪训练1点
6、(3 , 2)在椭圆+ b>= 1(a>b>0)上，那么()A.点(一3, 2)不在椭圆上B.点(3 , 2)不在椭圆上C.点(一3, 2)在椭圆上D.以上都不正确答案 C94解析 由得-+ 2= 1,只有选项C符合该条件a b命题角度2直线与椭圆位置关系的判断2 2x y例2 (1)直线y= kx k+ 1与椭圆-+总=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案 A解析 直线y = kx k + 1 = k(x 1) + 1过定点(1 , 1),且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相-X 2(2)在平面直角坐标系 xOy中，经过点(0 ,2)且斜率为k的直线l与椭圆
7、+ y = 1有两个解由条件知直线2Xol的方程为y= kx + 2,代入椭圆方程得 -+ (kx + 2) = 1.整理得不同的交点P和Q求k的取值范围P和 Q等价于 A = 8k2 4 1+ k2 =1 2即k的取值范围为24k 2>0，解得 k< m， T u -2, +-2+ k2 x2 + 2 2kx + 1 = 0.直线I与椭圆有两个不同的交点反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1) A >0?直线与椭圆相交？有两个公共点.(2) A = 0?直线与椭圆相切？有且只有一个公共点.(3) A <0?直线与
8、椭圆相离？无公共点.2 2跟踪训练2 (1)直线I过点(3 , 1)，且椭圆C： * += 1,那么直线I与椭圆C的公2536共点的个数为()A.1 B.1 或 2 C.2 D.02 2x y假设直线y= kx + 2与椭圆-+牙=1相切，那么斜率k的值是()6663A. B. T C. 士 T D. 士 "3答案(1)C(2)C32 1 2解析 (1)因为直线过定点(3 , 1)且方+ 36 <1,所以点(3 , 1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.2r八A x把y = kx+ 2代入+2y = 1 得(2 + 3k2) x2 + 12kx+ 6 = 0，由于 A
9、= 0,k=±类型二 弦长及中点问题2 2x y例3椭圆 亦+ : = 1的弦AB的中点M的坐标为(2 , 1)，求直线AB的方程.解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线 AB的斜率存在，设直线AB的方程为y 1 = k( x 2).将其代入椭圆方程并整理，得(4 k= 4k2 + i + 1)x2 8(2 k2 k)x+ 4(2 k 1)2 16 = 0.设A(xi, yi), B(x2, y2)，贝U xi, X2是上述方程的两根,十口82k2 k于疋 xi + X2 =4k2 + i .又M为线段AB的中点,xi + X24 2k2 ki2，解得k= 2
10、故所求直线的方程为 x+ 2y 4= 0.方法二点差法设 A(xi, yi) , Bx2, y2), xi*X2. M2 , i)为线段AB的中点，.Xi + X2= 4, yi+ y2= 2.又A, B两点在椭圆上，2 2 2 2那么 xi + 4yi= i6, X2 + 4y2= i6,两式相减，得(xi x2) + 4(y2 y2) = 0,于是(Xi + X2)( Xi X2)+ 4( yi + y2)( yi y2)= 0.yi y2 Xi+ X24ixi X24 yi+ y24X22，i即kAB=勺故所求直线的方程为 x+ 2y 4= 0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭
11、圆的一个交点为A(x, y),由于点M2 , i)为线段AB的中点，那么另一个交点为 B(4 x, 2 y).T A, B两点都在椭圆上，2 2X + 4y = i6, 224 x + 4 2 y = i6.，得 x + 2y 4 = 0.B的坐标也满足这个方程，而过A, B两点的即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点直线只有一条，故所求直线的方程为X + 2y 4 = 0.引申探究 在本例中求弦AB的长.解 由上例得直线 AB方程为x+ 2y 4= 0.x+ 2y 4= 0,联立方程组 x2 y2消去y并整理，得+ = 116十 4|，x(x 4) = 0,得 x= 0 或 x= 4，得两
12、交点坐标 A(0 , 2) , B(4 , 0),故|AB =0 4 2+ 2 0 2 = 2 5.反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式A .解决弦长问题，一般应用弦长公式而用弦长公式时，假设能结合根与系数的关系“设而不求，可大大简化运算过程2 2跟踪训练3椭圆36十碁=1和点P(4 , 2)，直线l经过点P且与椭圆交于 A B两点.1(1)当直线I的斜率为2时，求线段AB的长度； 当点P恰好为线段AB的中点时，求I的方程.1 1解(1)由可得直线I的方程为y 2 = 2(x 4)，即y=-x.1y=尹，2
13、 2x y 十=1369，消去y可得x2 18= 0,假设设 A(X1, yj , B(X2, y2).那么 X1 十X2 = 0, X1X2= 18.= 2 X1+ X2-2 X6 . 2= 3.10.4X1X2 =所以线段AB的长度为3 .石. 方法一 设I的斜率为k,那么其方程为y 2 = k(x 4).y 2 = k x 4 ,联立 x2 y2十=136 十 9，消去y得2 2 2 2(1 十 4k)x (32k 16k)x+ (64 k 64k 20) = 0.假设设 A(X1, y1) , B(X2,32k2 16ky2)，那么刘十 X2=1 + 4k2,由于AB的中点恰好为 P(
14、4 , 2),所以X+X2 i6k 8k1 + 4k2解得k=2且满足A >0.这时直线的方程为iy 2= (x4),即 x+ 2y 8= 0.方法二设A(Xi,yi) , 0X2, y2)，那么有2 2Xi yi + = i36+ 9,2 2X2 y2 + = i36 + 9,2 2 y2 yi +°,2 2.,r , ，-, X2 X i 两式相减得飞厂+369 X2+ Xi整理得陨=yEy36y2+ yi ,由于R4 , 2)是AB的中点,二 Xi + X2= 8， yi+ y2= 4,是 .9X8 i疋 Kab=,36X4 2'1于是直线AB的方程为y 2 =
15、2(X 4),即 x+ 2y 8= 0.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4 椭圆4x2+ y2 = i及直线y= x + m(1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2) 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.,2 2 “4x + y = i,22解由得 5x + 2m)+ m i= 0,y = x+ m因为直线与椭圆有公共点，所以A = 4ni 20(吊i) >0,解得一-2< mw5.(2)设直线与椭圆交于 A(xi, yi), B(X2, y"两点，2 2由(i)知：5x + 2m)+ m i = 0,2mi 2所以 Xi + X2 = 5, xiX2=
16、 5(m i),55所以 | AB = Xi X2 + yi y2 = 2 Xi X2 = 2 Xi + X2 4xiX2/ 4吊22 2=*2 亦5m i = 5J08m当堂训练所以当mi= 0时，| AB最大，此时直线方程为y = x.反思与感悟求最值问题的根本策略 求解形如|PA + IPB的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时| PA +1 PB取得最值.(2) 求解形如|PA的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取 值范围.(3) 求解形如ax+ by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决(4) 利用不等式，尤其是根本
17、不等式求最值或取值范围2 2跟踪训练4动点Rx, y)在椭圆X +丄=1上，假设点A的坐标为(3 , 0) , | AM = 1,且2516丽AM= o,求|PM的最小值.解 由|瓜M = 1, A(3 , 0)，知点M在以A(3 , 0)为圆心,1为半径的圆上运动， pm- AM= 0且P在椭圆上运动， PML AM即PM为O A的切线，连接 PA如图)，-F-r那么 | PM = a/| pA2-| Am2 = V | PA|2-1,.当 | PA min= a C= 5 3 = 2 时,2 2x y1. 点A(a, 1)在椭圆-+ 2= 1的内部，贝U a的取值范围是(A. .2<
18、a< .2B.a< 2或 a> . 2C. 2<a<2D. 1<a<1答案 A2解析 由题意知4 + <1,解得一#2<a<.2.2x 22. 直线l : x + y 3 = 0，椭圆+ y = 1,那么直线与椭圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相切或相交答案 C2X 2解析把X+ y 3= 0代入-+ y = 1,2X得二 +(3 x) = 1，即 5x 24x + 32 = 0.4.=( 24) 2得(1 + 2k )x + 4kx = 0, 4X 5X 32 = 64<0,直线与椭圆相离3. 以Fi( 2, 0)
19、, F2(2 , 0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y + 4= 0有且仅有一个公共点,那么椭圆的长轴长为.答案 2 72 2解析由题意可设椭圆的方程为眷+ a4 = 1(a>2)，与直线方程x+ 3y + 4= 0联立，得 4( a2 3) y2 + 8 3 ( a2 4)y + (16 a2)( a2 4) = 0，由 A = 0，得 a=7,所以椭圆的长轴长为 2 7.2 2b的取值范围为4. 假设直线y= kx + b与椭圆x + T = 1恒有两个公共点，贝U94答案 (一2, 2)解析 直线y = kx+ b恒过定点(0 , b),2 2x y且直线y = kx + b与椭圆+
20、 丁 = 1恒有两个公共点，2 2x y点(0 , b)在椭圆-+ ； = 1内部， 2<b<2.2x 25. 直线l : y= kx + 1与椭圆+ y = 1 交于M N两点，且解 设直线I与椭圆的交点为 Mx1, y1), Nx2, y2),y = kx +1,由x22消去y并化简，I MN = ¥，求直线I的方程.所以X1 + X2 =4k1 + 2k2，X1X2= 0.2 + y = 1,由 | MN =4 232得(X1 X2)2 + (y1 y2)2=,所以(1 + k )( X1 X2)=,所以(1 + k2)( X1+ X2)2 4x1X2 = 3224
21、k 2 32即(1 + k)( = §，化简得 k4+ k2 2 = 0, 所以k2 = 1,所以k =± 1.所以所求直线l的方程是y = x+ 1或y= x+ 1.L规律与方誌1.直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长 当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于 A(X1，y"，B(X2，y2)两点，那么有|AB = ： XX2 + yy ° = ' 1 + k X1 X2 2=；1 + k2 苇 X1+ X2 2 4X1X2=1 + 1 屮y2 21 + ；
22、2 :; 0 + y22 4y1y2( k 为直线斜率).(3) 如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况 2.解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决点差法：禾U用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系(3) 共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(Xo，yo)，设其一交点为 A(X，y)，那么另一交点为 B(2 Xo X，2yo y)，2X2 +a2b-2= 12xo x2yo y2-=1两式作差即得所求直线方程.特
23、别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错40分钟课时作业、选择题. . 2 21.假设直线I : 2x + by+ 3 = 0过椭圆C： 10x + y= 10的一个焦点，贝U b的值是11或11 1A.1 B. J C.D.或2答案C解析因为椭圆22 yx +10-1 的焦点为 F(0， 3) , F2(0 , 3),所以b= 1 或一12.椭圆的方程是 x2 + 2y2 4= 0，那么以M1 , 1)为中点的弦所在直线的方程是()A.x + 2y 3= 0B. 2x+ y 3 = 0C.x 2y+ 3= 0D.2x- y+ 3 = 0答案 A解析 易知所求直线的斜率存在
24、，设过点 M1 , 1)的方程为y = k(x 1) + 1,即y = kx +1 k.x2+ 2y2 4= 0,由消去y,y = kx +1 k2222得(1 + 2k)x + (4 k 4k)x+ 2k 4k2 = 0,2所以X1+ X21 4k 4k=_ X2 = 1221 + 2k113解得k= 2，所以所求直线方程为y = x+ 2，即 x+ 2y 3= 0.2 2x y3.椭圆-+ 2 = 1(a>b>0)的离心率为a b，假设直线y= kx与椭圆的一个交点的横坐标Xob,那么k的值为答案解析根据椭圆的离心率为b2c2a2，22b2y0丄cX。 a 2 .由 x
25、6; = b, 得 y°= b (1 孑) y°=± bC,A k =匸=土二=± a2x4.F1, F2是椭圆匚+ y2= 1的两个焦点，P为椭圆上一动点，那么使|PF| |PF2|取最大值4的点P为A.( 2, 0) B.(0, 1) C.(2, 0) D.(0, 1)或(0，- 1)答案 D解析 由椭圆定义得| PF| + | PF| = 2a= 4,I PF| + | PB| 2|PF| PF| w( )2= 4,当且仅当| PF| = | PF = 2,即 R0 ,- 1)或(0,1)时，取“2 2x y5.椭圆：+= 1(0< b<
26、;2)，左，右焦点分别为F1, F2,过F1的直线l交椭圆于 A, B两点，假设| B冋+ | AR|的最大值为5，那么b的值是()A.1 B. 2 C. | D. 3答案 D解析 由题意知a= 2,所以|BF| + |A冋+ |AB = 4a= 8,因为| BR| + | AF|的最大值为5,.24 - b 9+ 4F=1,所以|AB的最小值为3,当且仅当ABL x轴时，取得最小值，此时A - c, 2 , B - c,即 1-7+49b2=1,2代入椭圆方程得4 +缶=1，又c2= a2-b2= 4-b2,所以 4所以=4,解得b = 3,所以b=寸3. 2 2 2 26.圆 C: x +
27、 2cx + y = 0,圆 C2: x - 2cx + y = 0, c>0,椭圆C:2yg+E= 1(a>b>0)，且c2 = a2-b2.假设圆C, C2都在椭圆内，那么椭圆离心率的取值范围是A.*,1) B.(0, 2 C.-2, 1) D.(0, I2答案解析圆C, C2都在椭圆内等价于圆G的右顶点(2C, 0)，上顶点(c, c)在椭圆内部,只需2c w a,2 2c c2+ 2< 1 ,a b1ew=,可得 2e4- 3e2 +1>0,结合e (0 , 1)，可得10<e<?二、填空题2 27. 椭圆士 + y = 1上的点到直线I :
28、x+ y- 9= 0的距离的最小值为169答案 2.2解析在椭圆上任取一点P,设P(4cos 0 , 3sin 0 ),那么点P到直线l的距离d=-腭-91|5si n(B + 0) -9| >2；2(其中 tan 0= 4).故 dmin= 2 28. 人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米，假设地球半径为 r千米，那么运行轨迹的短轴长为 .答案 2 ' p+ r q+ rp+ r = a- c,解析q+ r = a+ c,b2= a2- c2= (a+ c)( a-c) = (q+ r)( p+ r), /2 b= 2 ： p+
29、 r q+ r .2 222XV9. 假设直线m灶ny = 4与圆x + y = 4没有交点，那么过点 P( m, n)的直线与椭圆-+ : = 1的交点个数为.答案 2解析 因为直线mx ny= 4与圆x2 + y2= 4没有交点，所以2 " 2>2，所以m+<4,y/m + n2 2即点P(m n)在以原点为圆心，以 2为半径的圆内，故过点P(m, n)的直线与椭圆 侖+鲁=1 有两个交点10. 设椭圆中心在坐标原点，A(2 , 0) , B(0 , 1)是它的两个顶点，直线y = kx( k>0)与线段AB相交于点D,与椭圆相交于 E、F两点假设ED= 6DF
30、,那么k的值为.2 3 答案2或82x 2解析 依题意得椭圆的方程为 4 + v2= 1,直线AB, EF的方程分别为x+ 2y = 2 , y= kx( k>0).如图，设 D(xo , kxo), E(X1 , kx" , F(X2 , kx2),其中 X1<X2,那么 X1, X2满足方程(1 + 4k2) x2 = 4 ,故 X2 = X1 =22./14k2由ED= 6DF知 Xo xi= 6(X2Xo),ZB 15102得 X0 = (6 X2+ X1) = X2 =777屮 + 4k2由D在直线AB上知，X0+ 2kX0= 2, X0=订莎,210所以订丟=
31、7,1 + 4k2,化简得 24k2 25k + 6 = 0,2 3由此解得k=三或k =.3 8三、解答题11.设直线l : y= x + m与椭圆C：2X2+ 2a ;2孕 =1(a>1)相交于A, B两点，且I过椭圆C的右 a 1焦点，假设以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C的方程.2 2x y12解 由椭圆 C： a+ &2 1 = 1( a>1)得 c= a a 1 = 1,椭圆的两个焦点为Fi( 1, 0),F2(1 , 0).又'.T 经过点 F2,.'. m= 1,即直线I的方程为y= x 1,2 2x y代入-2 + 2 7 = 1
32、( a>1)得a a 1 (2 a2 1) X2 2a2x+ 2a2 a4= 0.24、2a a设A(X1,y, Bx2 ,y2)，贝UX1X2=2_-2a 1又以AB为直径的圆过点 F1,. AF丄BF.y1y2kAF-kBF=-1，即 x1+r x+r1, y1y2+ (X1 +1) ( X2 + 1) = 0.-y1 = X1 1,y2= X2 1, (X1 1)( X2 1) + (X1 + 1)( X2+ 1) = 0, 即 X1X2= 124 = 1 , 解得 a2=2±. 3.又a >1, a = 2 + .' 3，即卩 a 1 = 1 + <
33、-.；3.2故所求椭圆的方程为科3+寿=1.2 2X y_12.椭圆g+ gz= 1( a>b>0)与直线x+ y 1 = 0相交于P, Q两点，且SpL6Qo为坐标原点).(1)求证：秒+占等于定值;假设椭圆的离心率eG#,#，求椭圆长轴长的取值范围(1)证明椭圆的方程可化为b2x2 + a2y2 a2b2= 0.22222.2只b X + a y a b = 0, 由X+y1 = 0,消去 y 得(a2 + b2) x2 2a2x + a2(1 b2) = 0.由4a4 4( a2 + b2) a2 (1 b2)>0 得 a2 + b2>1.设 Rx1, y&quo
34、t; , QX2, y2),2 2 . 2nt2aa 1 b贝 U X1 + X2 = 22 , X1X2 = 22.a + ba + bt OP3! OQ - X1X2+ y12= 0. X1X2+ (1 xi) (1 X2)= 0. 2X1X2 (X1+ X2) + 1 = 0,2.2 2卄 2a 1 b2a.即C2丄 X2 C2丄 X2+ 1 = 0.a + b a + bc解/ e=-,ae2.2c 2.2c2小2一2、又 T a + b = 2a b , 2 e = 2a (1 e ),e211即 a =二+，.1 e 2 2 1 e 4< a2< 3，即于 < a
35、/, 5W2aw .6，即椭圆长轴长的取值范围是.5,.6.X2 y23113.椭圆C -4= 1(a>b>0)过点(1 ,-)，离心率为乙，左，右焦点分别为F1, F2,过R的a b22直线交椭圆于A, B两点.求椭圆C的方程;当 F2AB的面积为 字时 ,求直线的方程x2 y23(1)因为椭圆C：云+合=1(a>b>0)过点(1 , 2),9所以 a2+ 4b=1.21c 1b 3又因为离心率为-，所以-=R所以=7 a 2a 4解得a2= 4, b2= 3.所以椭圆C的方程为2 2x y+ = 14十3(2)当直线的倾斜角为上时2时,A - 1, |), B -1
36、,15a abf2 =2l AB| X| F1F2I1 12=x3X2=3工 7n当直线的倾斜角不为 时，设直线方程为 y = k(x +1),2 2代入夕 + y = 1,得(4 k2 + 3)x2+ 8k2x + 4k2- 12= 0.4 3设 A(X1,屮),B>, y2),2 2那么 X1 + X2 =8k4k -12X1X2= 4k + 34k + 3=2y1-y2i FFi =丨 ki JX1 + X22 4X1X2所以Saabf28k2 2 , 4k2-12 12| k| . k2+14k2+ 3 - 44k2 + 3 =4k2 + 3=12 27，所以 17k4+ k2-18= 0,解得k=1( k=17 舍去),所以k=± 1,