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1、一、谈话导入，出示课题教师：最近老师发现，我有一项非常神奇的本领。什么本领呢？我发现只要从 1开始的连续奇数相加，比方，1+3,1+3+5像这样的算式，我都算得特别快。你们信吗？教师：不信也没关系，我们现场来比一比。师生比赛，看谁算得快。教师：这个方法快吗？你们想不想也像老师一样算得快呢？教师：老师给你们一点点提示， 我是借助图形发现这个方法的，今天这节课我们就来研究一数与形板书。【设计意图】从谈话导入，通过设置悬念，激发学生学习兴趣，从而顺理成章地引出课题。二、动手实践，以形解数1 教师：我先根据算式中的加数拿出假设干个图形。比方，1+3,我就先拿一个小正方形，再拿三个小正方形贴在黑板上，我
2、发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，那我就把它们拼成一个大的正方形。教师：接着，我观察图形和算式之间的关系，就发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？教师：先来两个加数的，再来三个加数的。请同学们在小组内先完成第一步，再完成第二步，看看哪个小组最先发现老师的方法。2 小组动手操作，教师巡视。3 学生汇报，全班交流分析。先讨论1+3,再讨论1+3+5。教师：根据同学们的汇报，大家认为1+3=22, 1+3+5=32。除了这两组同学的汇报，你们还有其他发现吗？学生：算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。教师：你们认同他的方法吗？能不能举个具体的例子来说一说?学生 1： 1
3、+3+5+7+9=52。学生 2： 1+3+5+7+9+11=62。教师：那我们从头来看一看。请看屏幕：1+3+5+7+9= 52。教师：一个小正方形可以看成 12，想要拼成一个更大的正方形，再增加 1个是不够的，增 加的个数要比前一个加数再多 2 也就是3；想拼成更大的正方形，再增加 3个是不够的, 还要比3个再多2个也就是5个，此时是1+3+5；再往下去，要加 7才能拼成更大的正 方形，依此类推，加到了 9，就能排成每行、每列的个数是 5的大正方形。教师：那看来只要是1开始的，连续的奇数相加，就能排成每行、每列个数是几的大正方形， 和也就是几的平方。4练习。(1) 1+3+5+7+9=(1
4、+3+5+7+9+11+13= 2;=92。教师请学生独立完成，然后全班核对答案。2 利用规律，算一算。1+3+5+7+5+3+仁；1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=。全班交流，请学生说明计算结果和原因。5.小结。教师：我们同学都很细心，现在不但能很快算出从1开始的连续奇数的和，稍加一点变化,你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题的吧？教师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？图形。看来，有的计算问题借助图形 解决会更容易。就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。【设计意图】充分让学生动手实践，感受如何将数和形结合，体会数和形之间
5、的紧密联系， 同时让学生感受到“形可以展示“数的特点，通过“形使解决“数的问题变得更加 容易。三、练习稳固1 .下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？学生答复，课件出示答案。教师：请你认真思考、观察，上边的图形和对应的数之间有什么规律？四人小组交流。教师：刚刚有一个同学说，蓝色的小正方形顺次增加1个，红色的小正方形顺次增加 2个。为什么蓝色的小正方形每次增加1个，而红色的小正方形每次增加 2个呢？教师：我们一起来看一看。第一个图形，假设要增加1个蓝色小正方形，其上方、下方就要各增加1个红色小正方形；依此类推，第三个图形在第二个图形的根底上增加了1个蓝色小正方形，那么红色小正方
6、形就要增加几个？教师：如果不让你看图，照这样画下去，第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？你能写出来吗？在草稿本上写一写。教师请学生介绍，说说是怎么算出来的。教师：观察发现，图形中左右两侧的红色小正方形个数固定不变为6个，在中间局部，蓝色小正方形的个数乘以 2就是红色小正方形的个数。 即使在蓝色小正方形个数较多的情况 下，仍然可以算得很快， 看来图形问题确实也蕴涵着数的规律。找到了其中的规律，解决问 题就清晰、容易多了。2课件出示教材第109页练习二十二第 2题。1 教师：上方有图，下方有对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？小 组交流一下。全班交流。学生：第2
7、个图形中小圆的个数为 1+2,第3个图形中小圆的个数为 1+2+3，第4个图形中 小圆的个数为1+2+3+4。学生：是第几个图形，其中就有几行小圆。教师：照这个规律往下画，你能画出来吗？图形下方的数字表示的是什么？第5个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出来？教师请学生独立完成在练习纸上。教师请学生汇报，说说是怎么得到结果的。教师：图形中的最后一行是第几行？含有几个小圆？教师：现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第10个图形，它是什么样子的？ 一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一算，第10个图形下方的那个数是多少？能算出来吗？动笔试一试。展示学生作品，请学生介绍方法。2教师
8、介绍“三角形数“正方形数。教师：同学们发现没有，55个小圆能排成什么图形？三角形而且这个三角形的每一行 的小圆的个数分别是从 1到10。教师：回过头来看看。 3、6、10、15、21呢？它们是否也具有同样的特点？教师：在数学上，我们把 1、3、6、10、15、21、28这样的数称为“三角形数。请同学们 想一想，28后面的下一个三角形数是多少？ 36教师：大家再看，一个图形，如果是 4个小正方形可以拼成大正方形，如果是9个小正方形可以拼成大正方形，16个小正方形也可以拼成大正方形。像这样的数，我们称之为“正方 形数。【设计意图】 通过两个练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用形来解决数的有
9、关问题的直观性与简捷性。在练习中充分让学生动脑、动口、动手，在交流中发现特点，解决 问题。四、回忆反思教师：今天这节课，我们一起学习了 “数与形，说说你有什么收获？课后反思：形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，让学生通过解决问题体会到数与形的完美结合，通过数与形的对应关系，相互印证结果，发现“和都是“平 方数，再通过图形的规律理解“平方数即正方形数的含义，并让学生大胆说出自己发现的其他规律，从不同角度寻找规律， 例如从第一个图到第三个图，每次增加多少个小正方形，用加法怎样列式，加数都是连续奇数， 这些奇数在图中什么地方，从而对规律形式更 直观的认识。?利用图形求等比
10、数列之和?教学设计教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第107108页例2及相关练习。教学目标：1 在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。2 让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等根本数学思想。教学重难点：探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。教学准备：教学课件。教学过程：一、直接导入，揭示课题同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。板书课题：数与形【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。二、探索发现，学
11、习新知一教师与学生比赛算题1教师：你知道等于多少吗？学生：教师：那等于多少呢？学生计算需要时间教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算 算。2 只要按照这个分子是 1,分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我 都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？学生出题。预设：在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。3 知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗?【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默
12、的语言， 吸引学生的注意力， 激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为 接下来学习例题做好铺垫。二借助正方形探究计算方法1这件法宝就是师边说边课件出示一个正方形，让我们来把它变一变，聪明的同学们 一定能看明白是怎么回事了。2 进行演示讲解。1演示：用一个正方形表示“ 1，先取它的一半就是正方形的涂红，再剩下局部的 一半就是正方形的涂黄。想一想：正方形中表示的涂色局部与空白局部和整个正方形之间有什么关系呢？涂色局部等于“ 1减去空白局部空白局部占正方形的几分之几？那么涂色局部还可以怎么算 呢？，也就是说。2 继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？根据学生答复，板书。3 演示：那么计算就可以得到
13、？。3 看到这儿，你发现什么规律了吗？4 小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。5这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？6 尝试练习：【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。三知识提升，探索发现1感受极限。1刚刚我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？再接着加，一直 加到，得数等于？随着不断继续加，你发现得数越来越？大无数个这样的数相加， 和会是多少呢？2这时候你心中有没有一个大胆的猜想？学生猜想：这样一直加下去，得
14、数会不会就 等于1 了。3 想象一下，如果我们在刚刚加的过程中在正方形上不断涂色，那空白局部的面积就越来越？小而涂色局部的面积越来越接近？ 1也就是求和的得数越来越接近？ 1最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，假设没有学生提出，教师自己提出。2 利用线段图直观感受相加之和等于“1 。1 书本上有两幅图，我们一起来看看课件出示。一幅是圆形图，一幅是线段图，你 能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。2 学生看书思考。3 全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思
15、想，并让学生经历猜想得数等于“ 1，到数形结合证明得数等于“ 1的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的 精神。3 课堂小结。对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？教师小结：是的，“数与“形有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形 结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。4.举一反三。其实在以前的学习中，我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子 吗？(如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。)【设计意图】让学生体会“数形结合是数学学习中常用的方法。三、练习稳固1根底练习。(1 )学生独立计算。(2
16、 )全班交流反响。【设计意图】通过练习，回忆新知，稳固新知，使学生对新知识掌握得更扎实。2.小林、小强、小芳、小兵和小刚 5人进行象棋比赛，每 2人之间都要下一盘。小林已经 下了 4盘，小强下了 3盘，小芳下了 2盘，小兵下了 1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别 和谁下的？解决问题：(1 )全班读题，学生独立思考。(2) 指名答复。(3) 根据学生答复情况，连线(课件演示)。(4) 结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。四、课堂总结快下课了，请你来说说这节课有什么收获？课后反思：图形的直观形象的特点， 决定了化数为形往往能到达以简驭繁的目的，例2中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加结果为1,但是接近1，但这个无限接近于1的数是多少呢？电子白板呈现出圆形模型和线段模型来表示“1，使学生结合分数意义，在圆上和线段上分别有规律地表示这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段占满，即和为“1，用画图的方法来表示计算过程和结果，让学生感受到什么叫无限接近，什么叫直观形象，同时，一个极其抽象的极限问题，变得十分直观和便捷。