《2021届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练61文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练61文.docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、解析由直线的斜率为k = . 3，那么方程为y = ,3x §，联立方程y= . 3 x 号，2y = 2px,23x2 5px + 乎=0,即2x 3p6x p = 0.层级快练六十一1. 2021 广东中山第一次统测过抛物线yA. 1B.qC. 3D. 6答案 A 因为 |BF|>|AF| ，所以 xb= |p, xa= p,依题意 xb+ 券 2p= 3,所以 p = |，那么 |AF| = xa+ p p= 1.应选A.4. 2021 广东汕头第三次质检 抛物线C: y2= 4x的焦点为F,与直线y = 2x 4交于A, B 两点，贝U cos / AFB= 4x的焦点
2、作直线交抛物线于Axi, yi , BX2,y2两点.如果 xi + X2 = 6,那么 |AB| =A. 6B. 8C. 9D. 10答案 B解析 |AB| = |AF| + |BF| = xi + X2+ p = 8.应选 B.2假设抛物线y = 4x2上一点到直线y = 4x 5的距离最短，那么该点的坐标是1A. ，1B. 0 , 0C. 1 , 2D. 1 , 4答案 A解析 设与直线y = 4x 5平行的直线为y= 4x + m由平面几何的性质可知，抛物线 y = 4x2 上到直线y = 4x 5的距离最短的点即为直线 y = 4x+ m与抛物线相切的点.而对 y = 4x2求1 1
3、 2导得y'= 8x，又直线y = 4x + m的斜率为4,所以8x= 4，得x =-，此时y = 4X刁=1,1即切点为g, 1，应选A.3. 2021 北京东城期末过抛物线y2= 2pxp>0的焦点F的直线交抛物线于 A, B两点，点2nO是原点，如果|BF| = 3, |BF|>|AF| ，/ BFO=，那么|AF|的值为3A.4b.3D.c.答案 D解析 抛物线C: y2= 4x的焦点为F,.点F的坐标为(1 , 0).又直线y= 2x 4与C交于 A, B两点， A, B两点坐标分别为(1 , 2) , (4 , 4)，那么 FA= (0， 2) , FB= (3
4、 , 4),FA- FB 84 丄 cos / AFB=.应选 D.|FA|FB |1055. (2021 河南四校联考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y2 = 2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM| = 2|MF|，那么直线OM的斜率的最大值为()D. 1C.B. 3答案C解析2pyo由题意可得F(； 0).设 P(2-,yo)，当yo<o 时，k°M<0;当yo>O时，k°0.要求k°MJ厶p211122的最大值， yo>O. vOMk OF+ FMIhOF+ 3环=魚滸一OF =畅斗|Of=(譽 +
5、 3,晋),3333Op 3 3ykok _2=w:= 二-，当且仅当 yo? = 2p，即 yo=2p 时取得等号.应选匹,p出斗却° yo.2p 26p A. p yop yoC.6. (2021 广西玉林期末)从抛物线y2= 4x的准线I上一点P引抛物线的两条切线 PA PBnB.C.4 ,3D. 2 3A, B为切点.假设直线 AB的倾斜角为，那么P点的纵坐标为()答案 By1 y24解析 设 A(x1, y1) , B(x2, y2) , P( 1, y)，那么 kAB= x-=片石X1 X2 y1 十 y2直线AB的倾斜角为n，.4= 3,. y1+ y2=牛3.3y1
6、十 y2y322切线PA的方程为y yi = (x xi)，切线PB的方程为y y2=(x X2)，即切线PA的方程yiy22 i21为y=昇+ 2yi，切线PB的万程为y=泾+ 2y2. yi, y2是方程 t2 2yt + 4x= 0 两个根，二 yi + y2= 2y = 士3. / y = 23.应选B.7. (2021 石家庄市高三检测)圆C: x2+ (y 2)2 = 4,抛物线C2:y2= 2px(p>0) , C 与G相交于A, B两点，且|AB| =罟，那么抛物线G的方程为()A. y2= 8xc y2= |xD. y2=跟答案 C解析 由题意，知直线 AB必过原点，那
7、么设 AB的方程为y= kx(k>0)，圆心C(0 , 2)到直线AB的距离2d=I k2 +122( 455)2=竽,解得 k= 2.由2x，2 可取 A(0 ,x2+( y 2) 2= 4,0) , b(5i68 i65)，把(5,亏)代入抛物线方程，得16 2 8(-5) = 2p 5，解得i6p=5，所以抛物线 G的方程为y2= 32x，应选 C.&直线I2与抛物线C: y = 2x交于A,B两点,O为坐标原点，假设直线OA OB的斜率ki, k2满足kik2 = 3,那么直线I过定点()A. ( 3, 0)B. (0 ,3)C. (3 , 0)D. (0 ,3)答案 A
8、解析设 A(xi, yi), B(X2, y2)，因为2kik2= 3,所以上xiy22小又yi2 = 2xi, y=2x2,所以yiy2= 6将直线I : x= my+ b代入抛物线C: y2=2x 得 y2 2my 2b= 0,所以 yiy2= 2b= 6,存冲0/7o所以b= 3,即直线I : x = my 3,所以直线I过定点(3, 0).9. (2021 湖南益阳模拟)如下图，直线 I : y = k(x + 1)(k>0)与抛物线C: y2= 4x相交于A, B两点，且A, B两点在抛物线 C准线上的射影分别是 M, N,假设|AM| = 2|BN|，贝U k的值是()B申D
9、. 2 2答案C解析y = 4x,2设A(X1, y" , B(X2, y2)，联立方程组消去x，得ky 4y + 4k = o.y= k (x +1),因为直线与抛物线相交，所以有4=42-4X kx 4k= 16(1 k2)>0.(*)4y1 + y2=厂, yi, y2是方程的两个根，所以有kyi y2= 4.又因为|AM| = 2|BN|，所以yi = 2yz解由组成的方程组，得k= 竽.把k= -代入(*)式检验，不等式成立.所以k =乎,应选C.210. (2021 威海一模)过抛物线 C: y = 2px(p>0)上一定点P(xo, yo)(y o>0
10、)作两条斜率均存 在的直线，分别交抛物线 C于A(X1, y1) , B(X2, y2)，假设直线PA, PB关于直线x = xo对称， 那么 log 2|y 1 + y2| log 那的值为()A. 1B. 11C. 2D.无法确定答案 A解析 设直线PA的斜率为kpA,直线PB的斜率为kpB.由y12 = 2px1,y°2= 2px°相减得(y 1 y°)(y 1y1 y0 2p2p+ y°) = 2p(x 1 X。)，故 kpA= (X1M X0).同理可得 kpB=(x 2 x°).假设直线X1 xo y1 + yoy2+ yoPA P
11、B关于直线x = Xo对称，那么PA PB的倾斜角互补.故 kpA=2py1+ yo2py2+ yoy1 + y2所以 y1 + y2 = 2yo，故=2，故 log 2|y 1 + y2| log 2yo= 1.应选 A.y。1 2x2211. (2021 东城区期末)抛物线 C1： y = 2px (p>o)的焦点与双曲线C2： - y = 1的右焦点的连线交 C于第一象限的点 M假设C1在点M处的切线平行于 C2的一条渐近线，贝y p =A.16C.2 ,33D.4.33答案 D解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0, p)，双曲线焦点坐标为(2 , 0)，所以两个焦点连线
12、的直线方程为 y =-p(x 2).设M(X0, yo)，那么有y'=卜0=£? xo = fp.因为 y°=2pxo?，所以y°= 6.又M点在抛物线的切线上，即有 g= 4(_3卩2) ? P= 3，应选D.12. (2021 浙江杭州七校模拟质量检测 )抛物线y2= 4x的焦点为F,过点(0 , 3)的直线与抛 物线交于A, B两点，线段 AB的垂直平分线交 x轴于点D,假设|AF| + |BF| = 6,那么点D的坐 标为.答案 (4 , 0)解析 设直线AB的方程为y = kx + 3,代入抛物线y2= 4x，整理得k2x2+ (6k 4)x +
13、 9= 0.6k 4pp设 A(xi, yi) , B(X2, y2)，那么 X1 + X2=，由 |AF| + |BF| = 6，得(xi + 专)+ (x 2 + 2) = xi6k 一 4i+ x2+ p =2F 2 = 6,解得k = 2, k =-(舍去)，所以线段 AB的中点为(2 , 1)，线k21段AB的垂直平分线方程为y + 1 = 2(x 2)，令y= 0,得x= 4.故点D的坐标为(4 , 0).13. (2021 郑州质检)设抛物线y2 = 16x的焦点为F,经过点P(1 , 0)的直线I与抛物线交于 A, B 两点，且 2BP= PA 那么 |AF| + 2|BF|
14、=.答案 15解析 设 A(X1, y1) , Bg y2) . v P(1, 0),BP= (1 X2, y2), PA= (x 1 1, yj .v 2BP= PA, 2(1 X2, y2)= (x 1 1, yj ,/ X1+ 2x2= 3, 2y2= y1.222将 A(X1 , y1) , B(X2 , y2)代入抛物线方程 y = 16x ,得 y1 = 16x1 , y2 = 16x2. 1又 v 2y2= y1 , 4x2= X1.又 v'x 1 + 2x2= 3,解得 X2 = , X1 = 2.z 1+ 2|BF| = X1+ 4+ 2(X2 + 4) = 2 +
15、4+ 2X(?+ 4) = 15.14. 等腰直角三角形 AOB内接于抛物线 y2= 2px(p>0) , O为抛物线的顶点，OAL OB AOB的面积是16 ,抛物线的焦点为 F.假设M是抛物线上的动点，贝U 器1的最大值为 .答案晋2 2解析 设等腰直角三角形 OAB的顶点A(X1 , y1) , B(X2 , y2),贝U y1 = 2px1 , y = 2px2.由|OA|=|OB| ,得 X12 + y12= X22+ y22 , /. X12 X22 + 2px1 2px2 = 0,即(X1 X2)(x 1 + X2+ 2p) = 0./xi>0, X2>0, 2
16、p>0,. xi = X2,即点 A, B关于 x 轴对称. |AB| = 4p,Saoa=2pX 4p= 4p2X = °，或 X = 2,y = °,y = 2p,设直线OA的方程为y = x，与抛物线方程联立，解得 AOB的面积为 16,.p = 2. 焦点 F(1 , 0).2设M(m n)，贝U n = 4m m>Q设点M到准线x=- 1的距离等于d,|OM| |OM| ni + 4m |MF| = m+ 1 .令 m+ 1 = t , t>1，贝U m= t 1,|OM| iW2+3三¥(当且仅当t = 3时，等号成立).|OM| I
17、MF?的最大值为2?33 2 2 215. (2021 河北唐山一中期末)抛物线 C: x = 2py(p>°)，圆Q x+ y = 1.(1)假设抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF| ;假设直线I与抛物线C和圆O分别相交于点 M, N,求|MN|的最小值及相应p的值.答案(1) ,5 1 (2)2 .'2.''3解析 (1)由题意得F(0 , 1) , C: x = 4y.x 4y解方程组2/ 得 yA= '5 2, |AF| = ；5 1.x + y = 1,x°亠(2)设 M(x° , y
18、6;),那么切线 I : y= p(x x°) + y° ,整理得 x°x py py°= 0.由 |ON| = 1 得 |py °| = x°2 + p2 = 2py°+ p2 ,2y°厂2 p = r且 y01>°.222224y 0242 |MN| = |OM| 1 = xo + y。 1 = 2pyo+ y。一 1 = _； + y。 1= 4+ (y。 1) > 8,当y。一 1yo 1且仅当yo= '3时等号成立. |MN|的最小值为2 :2 ,此时p= ：3.216. (
19、2021 江西九江一模)抛物线 E: y = 2px(p>0)的焦点为F ,过n点F且倾斜角为的直线I被E截得的线段长为8.(1) 求抛物线E的方程；(2) 点C是抛物线上的动点，以 C为圆心的圆过点 F ,且圆C与直1线x= 2相交于A , B两点，求|FA| |FB|的取值范围.答案 (1)y = 4x (2)|FA| |FB| 3 ,+)P2py = x石，2p解析1由题意，直线I的方程为y= x 2.联立2消去y整理得x 3px+号=y = 2px,0.设直线I与抛物线E的交点的横坐标分别为X1, X2，那么X1 + X2= 3p,故直线I被抛物线E截得的线段长为X1 + X2
20、+ p= 4p = 8,得p= 2,.抛物线E的方程为y2 = 4x.2222 由1知，F1 , 0，设 CX0, y。，那么圆 C 的方程是x X0 + y y。= x。一 1 + 屮.123令 x= 2，得 y 2y°y + 3x0 4= 0.2 2 2又.y0 = 4x0,.A= 4y0 12x0 + 3 = y° + 3>0 恒成立.1 130 4. |FA|FB| =y/+ !941724 y + 23y81代+设 A( 2, y3) , B( 2，y4)，贝u y3+ y4= 2y0, yay4= 3x(3 2 92381._2(3x04) + 4【4y
21、0 2 (3x0 厶)+ 代= 9x0 + 18x0 + 9= 3|x 0+ 1|./xo> 0, |FA| |FB| 3 ,+).备选题|1. 2021 南昌一模抛物线y2= 8x的焦点为F,设Axi, yi , BX2, y2是抛物线上的两个动点，假设 xi+ X2 + 4= 攀|AB|，那么/ AFB的最大值为nC.-6答案2占解析因为 X1+ X2+ 4=|AB| , |AF| + |BF| = X1 + X2 + 4,所以 |AF| + |BF| =訂 |AB|.在33 AFB中，由余弦定理得 cos / AFB|AF| 2+ |BF| 2- |AB| 22|AF|BF|(|A
22、F|2 2土 |BF| ) 2|AF|BF| - |AB|2|AF|BF|422123|AB| 2 |AB| 2#AB| 2-1 =- 1.又 |AF| + |BF| =2|AF|BF|2|AF|BF|#|AB| > 2 |AF|BF| ，当且仅当 |AF| = |BF| 时等号成立，所以 |AF|BF| < 3|ab| 2，所以i 23|AB|i2 n2ncos / AFB> i = Z，所以/ AFBC，即/ AFB 的最大值为 .I 22332X §|AB|2. 20i7 辽宁五校期末联考 AB是抛物线y2 = 2x的一条焦点弦，|AB| = 4,贝U AB中
23、点c的横坐标是A. 2iB. 23C. 2答案 C解析 设 Axi，yi，BX2, y2,i i/ |AB| = 4, xi + + X2+2= 4,二 xi+ X2= 3.3 c点横坐标为，应选C.3. 2021 东北三校抛物线2y = 2px(p>0)的焦点为F,点Pi(xi,yi),P2(x 2,y2),P3(X3,ya在抛物线上，且 2x2 = xi + X3,那么有A. |FPi| + |FP2| = |FPa|C. 2|FP2| = |FPi| + |FPa|2 2 2B. |FPi| + |FP2| = |FP3|D. |FP2|2=|FPi| |FP3|答案 C解析抛物线
24、的准线方程为x = p，由定义得ppp |FPi| = xi + 2, |FP2| = X2 + £ |FP3| = X3+ 2,pp那么|FPi| + |FP3| = xi+ ； + X3 + ；= xi + X3+ p,2|FP2| = 2x2+ p,由 2x2 = Xi + X3，得 2|FP2| = |FPi| + |FP3|，应选 C.4. 20i7 豫晋冀三省一调设抛物线y2= 8x的焦点为F,准线为I , P是抛物线上一点，假设 直线PF的倾斜角为i20。，那么|PF|等于A. 28B.8C. 3i0D.y答案B解析设P(x , y) , PAI I , A为垂足，取1
25、与x轴的交点为 B.在Rt ABF中，/ AFB= 30°,4i622 8BF= 4,那么 |AB| = |y| = 一3，即有 8x =亍 可得 x = , |PF| = 2 + =5.抛物线y2= 4x，过点P(4 , 0)的直线与抛物线交于A(xi, yi) , B(X2, y"两点，贝U yi2+ y/的最小值是.答案 32解析 设直线方程为x= ky + 4,与抛物线联立得2y 4ky 16 = 0,. yi+ y2= 4k , yiy2= 16.2 2 2 2 yi + y2 = (y i + y2) 2yiy2= 16k + 32.故最小值为32.6.过抛物线
26、y2= 4x的焦点F的直线交该抛物线于 A,B两点，|AF| = 2,那么|BF| =.答案 2、2i i 2 i i 2解析 抛物线 y = 4x 的焦点 f(i , 0), p= 2.由|AFp+jBFp=p,即2+jBFf = 2，二冃卩1 = 2.&如下图，斜率为 i的直线过抛物线y2= 2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于 A, B两点，M为抛物线弧AB上的动点.(i)假设|AB| = 8,求抛物线的方程；求 Sa ABM 的最大值.答案(i)y2 = 4x (2) 2p2p22i 2解析 由条件知l AB： y= x 2，与y = 2px联立，消去y，得x 3px
27、+ -p = 0,那么xi +X2= 3p.由抛物线定义得 |AB| = xi+ X2+ p= 4p.2又因为|AB| = 8,即p = 2,那么抛物线的方程为 y = 4x.p方法一：由知|AB| = 4p,且I ab： y = x 2设2,yo)，贝U M至U AB的距离为 d =2.yo p.|2pyo212.亘 p.yo2p|2p yo 21因为点M在直线AB的上方，所以；;yo <o,那么d =2p 2羽yo2p环+yo+ 2 2-2 2 2 2 yo + 2pyo+ p ( yo p)+ 2p2花p2/2p当yo = p时,dmax甘故Saabm的最大值为2x 4p X-p = 2p2.方法二：由1知|AB| = 4p,且l ab： y = x 号，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程 为 y= x + m 代入抛物线方程， 得 x2+ 2(m p)x + vm = 0.由= 4(m p)2 4ni = 0,得 m= p.p p p12+21f2P,与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y = x + p，两直线间的距离为d = 丁 =耳-2述2故 Saabm的最大值为 2X 4p X -p = ；:2p