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1、考点标准练47抛物线根底稳固21. (2021广西桂林一模)假设抛物线y=2px(p>0)上的点A(xo,)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,那么p等于()A.B.1C.D.22. 抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是()A.-B.-C.D.3. (2021河北张家口 4月模拟)抛物线 C y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于 A B两 点，假设|AB|=6,那么线段AB的中点M的横坐标为()A.2B.4C.5D.64. (2021山西运城模拟)抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于MN两点，假设MN中点的横坐标为 3, 那么此抛物线方程为()
2、22A.x =yB.x =6y22C.x =-3yD.x =3y5. 椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线 C: y2=8x的焦点重合，A B是C的准 线与E的两个交点，那么|AB|=()A.3B.6C.9D.126. 抛物线y2=2px(p>0)上一点M1, m)( m»)到其焦点的距离为 5,双曲线-y 2=1的左顶点为 A假设 双曲线的一条渐近线与直线AM平行,那么实数a=()A.B.C.D.7. 假设抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,那么M到y轴的距离是 .8. 抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A B两点，过A, B分别作y轴的垂线
3、，垂足分别为CD那么|AC|+|BD|的最小值为 .9. 过抛物线 y =2px( p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于 A(X1, y) B( x2, y2)( X1VX2)两点，且 |AB|=9.(1)求该抛物线的方程；O为坐标原点，。为抛物线上一点，假设+入,求入的值.10. 一条曲线 C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1) 求曲线C的方程；(2) 是否存在正数 m对于过点Mmo),且与曲线c有两个交点a, B的任一直线,都有0?假设存在,求 出 m 的取值范围 ； 假设不存在 , 请说明理由 .能力提升211.设F为抛物线y=6x的焦
4、点，AB,C为该抛物线上三点.假设=0,那么|+|+|=()A.4B.6C.912. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 |PM|=2|MF|,那么直线OM的斜率的最大值为(A.B.C.D.122y =2px( p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且)D.113. (2021安徽合肥一模)双曲线-x 2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于 A, B两点，O为坐标原点，假设厶OAB勺面积为1,那么p的值为()A.1B.C.2D.414. 抛物线 C: y2=2px( p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q且 |QF|=|P
5、Q|.(1)求C的方程； 过F的直线I与C相交于A, B两点，假设AB的垂直平分线I'与C相交于M N两点，且A M B N四 点在同一圆上，求l的方程.高考预测15. 抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0, p)作直线与抛物线交于A(xi, yi), B(x2, y2)两点,其中 xi>X2.(1)假设直线AB的斜率为，过AB两点的圆C与抛物线在点 A处有共同的切线，求圆C的方程； 假设=入,是否存在异于点 P的点Q使得对任意 入,都有丄(-入)?假设存在，求出点Q的坐标；假设不存 在,说明理由答案：1 . D 解析:由题意知，3Xo=Xo+,二
6、Xo=,二=2. v p>0, A p=2,应选 D.2. B解析:抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=.设Mx。, y。)，那么由抛物线的定义，可知-yo=1, yo=-.23. A 解析：v抛物线y =4x, A p=2.设A, B两点的横坐标分别为X1,X2,利用抛物线的定义，AB中点的横坐标为xo=(X1+X2) =( |AB|-p) =2,应选 A.4. D 解析:设点 Mx1y), N(X2, y2).2由消去 y,得 x -2ax+2a=o,所以=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.5. B解析：v抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,o),A E的右焦点的坐
7、标为(2,o).设椭圆E的方程为=1(a>b»), a c=2.v, a a=4.a b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1.v抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),巳-2,-3), a|AB|=6.6. A解析：因为抛物线的准线为x=-,所以1+=5,解得p=8,所以m=4.又双曲线的左顶点坐标为(- ,o),所以，解得a=,应选A.7. 9解析：设点M坐标为(XMyM.抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知 XM+1=1o,即XM=9.& 2解析：由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|- 2=|AB|-
8、2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|=2p=4时，为最小值，所以|AC|+|BD|的最小 值为 2.2 2 29. 解： 由题意得直线 AB的方程为y=2,与y =2px联立，消去y有4x-5px+p=0,所以Xi+X2=.2由抛物线定义得|AB|=x i+X2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y =8x.2 2 2(2)由(1)得 4x - 5px+p =0,即 x -5x+4=0,那么 Xi=1, X2=4,于是 yi=-2, y2=4, 从而 A(i, -2), B(4,4) .设 C(x3,y3),那么
9、=(X3, y3)=(1, -2) + X (4,4)=(4 入+1,4 入-2).2又=8X3,所以2(2 入-1) =8(4 入+1),2整理得(2入-1) =4入+1,解得 入=0或X=2.10. 解:(1)设Rx,y)是曲线C上任意一点，2贝U点 F(x, y)满足-x= 1(x>0),化简得 y=4x(x>0).(2)设过点Mm0)( m»)的直线I与曲线C的交点为A(X1,y1), B(X2, y2). 设 l 的方程为 x=ty+m.22由得 y-4ty- 4m=0, A = 16(t +n) >0,于是因为=(X1-1, yj, =(X2-1, y2
10、),所以=(X1-1)( X2-1) +wy2=X1X2- (X1+X2) +y1y2+1.又 <0,所以 X1X2-(X1+X2)+y1y2+1<0, 因为 X=, 所以不等式 可变形为+y1y2-+1<0,2即 +y1y2-( y1+y2) -2y1y2+1<0. 将代入整理得 n2-6n+1<4t2. 因为对任意实数 t ,4 t 2 的最小值为 0, 所以不等式 对于一切 t 成立等价于 n2-6n+1<0, 即 3-2<n<3+2.由此可知，存在正数m对于过点Mm0),且与曲线C有两个交点 AB的任一直线，都有<0,且m 的取值范
11、围是 (3-2,3+2).11. C解析：由题意得抛物线的焦点为F,准线方程为x=-.设 A(X1,y1), B(X2,y2), C(X3, y3). =0,.点F是厶ABC的重心，二x计X2+X3=.由抛物线的定义可得 |FA|=X 1-=X1+,|FB|=X 2-=X2+,|FC|=X 3-=X 3+,. |+|+|=X1+X2+X3+=9.12. C 解析:设 P(2 pt 2,2 pt ), M(x,y)( 不妨设 t>0), F, 那么. koMF,当且仅当 t= 时等号成立 . (kOM) max=, 应选 C.13. B 解析:双曲线 -x2=1 的两条渐近线方程是 y=&
12、#177;2x. 又抛物线 y2=2px(p>0) 的准线方程是 x=-, 故 A,B 两点的纵坐标是 y=±p.: AOB勺面积为 1, 2p=1./ p>0, p=.214. 解:(1)设 Qxo,4),代入 y =2px 得 xo=.所以 |PQ|=, |QF|=+Xo=.由题设得 ,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知I与坐标轴不垂直，故可设I的方程为x=my+(m 0). 代入 y2=4x 得 y2-4my-4=o.设 A(x1,y1), B(x2,y2), 那么 y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2 ni+1
13、,2 n),2 |AB|=|y 1-y2|= 4(n2+1).又 I' 的斜率为 -n, 所以 I' 的方程为 x=-y+2n2+3.将上式代入 y2=4x, 并整理得 y2+y-4(2 n2+3)=0. 设 M(x3,y3), N(x4,y4), 那么 y3+y4=-,y3y4=-4(2 n2+3).故MN的中点为E, |MN|=|y 3-y4|=.由于MN垂直平分 AB故AMB, N四点在同一圆上等价于 |AE|=|BE|=|MN| , 222从而 |AB| +|DE| =|MN|, 即 4(n+1) 2+化简得 n2-1=0, 解得 n=1 或 n=-1. 所求直线 I
14、的方程为 x-y- 1=0 或 x+y-1=0.15. 解:(1)由得p=2,直线和y轴交于点(0,2),那么直线AB的方程为y-2=x,即x- 2y+4=0. 由得AB的坐标分别为(4,4),(-2,1).22又 x2=4y, 可得 y=x2, 故 y'=x , 故抛物线在点 A 处切线的斜率为 2.设圆C的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2,那么2解得 a=-1, b=, r2=,2故圆的方程为 (x+1)2+,22即为 x2+y2+2x-13x+12=0.依题意可设直线 AB的方程为y=kx+2，代入抛物线方程 x2=4y得x2-4kx- 8=0,故XiX2=-8.由=入得-x i = Xx2.假设k=0,这时 入=,要使丄(-入)，点Q必在y轴上.设点Q的坐标是(0, m),从而 =(0,2 -m),-入=(xi, yi-m)-入(x2, y2-m)=(xi-入 X2,yi-m-入(y2-m),故(-入)=(2 -m) yi-入 y2-m(1 -入)=0,即 yi-入 y2-m(1 -入)=0,即 -m=0,即(xi+X2)( xiX2-4n) =0,将代入得 m=2所以存在点Q0, -2)使得丄(-入).