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1、导数中的常见错误吴川一中段东寿一、误认为导数为零的点一定是极值点例1.函数-ar2在工=1处有极值10 ,求a.b的值.错解尸(x) = 3/2ax由题意得了'(1) =。，且/(1)=1。，即,，解1一。一/7 +。- = 10. a = 3 a = 7得 或 .b = -3 b = 分析：/'(%)=。是可导函数丁 = /'(x)在工=%)处有极值的必要条件而非充分条件-只有 加之王)附近导数的符号相反，才能判定在、=%处取得极值，因此上述解法在解出。力的值后, 还应检验/(x) = x3_3Y+3x + 9和/(» = 1+4/_1卜+16分别在1=1附
2、近导数符号的 变化情况.经检验只有。=-4力=11符合条件.二、误认为极值只能在导数为零的点处取得例2.求函数/(6 =k2-工一6|的极值.x2 -x-6,x < -2或x >一厂 + x + 6,-2 < x < 3> 3一，于是/'(x) = (-2x + l,-2cx<3不存在x = - 2或r = 3令r(x) = 0,得x = L当一 2vxv,时，尸(力>0：当)vxv3时,广(x)v0 .所以当x = 222225时，函数有极大值下.4分析：在确定极值时，只讨论满足:(x) = O的点回附近导数的符号变化情况是不全面的,在导数不
3、存在的点处也可能存在极值.在上述解法中，显然忽视了讨论x = -2和x = 3处左右两 侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象.正确的结果还应包括在x = -2和x = 3处函数取 到极小值0.三、判断单调性时忽视特殊情况例3.己知函数/(x) = V+ax2x 1在R上是减函数，求实数。的取值范围.错解：尸(X)=3/+2办一1因为“X)在R上是减函数，所以广(x)v0在R上恒成立， 即 = 442-120解得一百<百，所以。的取值范围为一方va<8.分析：/'(x)vO恒成立的充要条件并不是/G)在R上是减函数.事实上，当 a = J5时，/r(x) = -(V3x-
4、l)2,则:当xe时，ff(x)<0；当xeE'+s 1,/，W<°-而函数/(X)在X = )二处连续，因此/(X)在R上是减函数.同理可知当4 = 一的时，/(.V)在R上是减函数，所以4的取值范围为J5.四、误用求导法则例4.y = InN的导数是.错解：）/ = .分析：应分情况求导.1f 11（i）当工 >0 时，了 = 一：（"）当 x<0 时，yf = ln（- x）=-.故）/= 一 XXX/ 例5.求），=5也？ 2x-y的导数., / 错解：设丁 = 5E？，m = 2%-,则）/= （sin。） '= 2sin
5、'=4sin 2x-五、求曲线的切线方程时审题不细例6.求曲线/（x）=x3 3/ +2x过原点的切线方程.错解：ff（x） = 3x2-6x + 2,设切线的斜率为"则攵=/（0）= 2,所以所求曲线切线方 程为y = 2x.分析：“过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切 线，此点并不一定是切点.正解：fx） = 3x2-6x + 2,设切线的斜率为h（i）当切点是原点时，左=/'（0）= 2,所以所求曲线的切线方程为y = 2x.（/）当切点不是原点时，设切点是（X。，%），则有比=x；3x；+2xo，女=1 = x： -3x0 + 2 ，又 k = /'（Xo） =-6x0 +2 ,由、得 x。= k = = 一1,与2%4故所求曲线的切线方程为y = -x.4例7.考察），= #?在点（0,0）处的切线.错解：）/ = 此）=2,？=三，显然在x = o处的导数不存在，所以曲线在该点处没有 切线.分析：工=0处的导数不存在，这说明曲线在点（0,0）处的切线斜率趋于无穷大，倾斜角为所以y = "在点（0,0）处的切线方程为x = 0.