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1、1.已知函 f (x) (x 1)ln x x 1 .xf '(x) x2 ax 1 ，求 a 的取值范围；(x 1)f (x) 0可编辑文档2.设a为实数，函数f x ex 2x 2a, x R。(i)求f x的单调区间与极值；(n)求证：当 a > ln2 1 且x>0 时，ex> x2 2ax 1。可编辑文档1.已知函数 f(x) (x 1)ln x x 1.(I )若 xf '(x)2 x ax1,求a的取值范围;(n)证明：(x1)f(x)先看第f(x)(x1)ln x1可知函数f x 的定义域为 0,., 1,f x In xx 1 - 1xIn
2、x贝U由 xf '(x)2 x ax1可知x In xax 1 ,化简得xln x x2ax ,这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子_ 1 一x ,而x又大于零，所以两边同乘 一可得xx求导有In x x a ,所以有 a In x x ,在对 g x In xg x在区间0,1上为增函数；当x 1时，g0;当 1v1， r , cg x - 1 ,即当 0 V x v 1 时，g x >0, xx时，g x <0, g x在区间1,上为减函数。所以g x在x 1时有最大值，即g x In xx g 11。又因为a ln x x ,所以a应该说第一问难度不算大，大多
3、数同学一般都能做出来。再看第二问。要证(x 1) f (x) 0 ,只须证当0Vx 1 时，f x 0;当 1vx时，f x >0 即可。，一,1 一由上知f x ln x ，但用xf x去分析fx的单调性受阻。我们可以尝试再对ln x1一求导, x-11八可得f x ,显然当0Vx x x1 时，f x0；当1 v x 时，f x >0 ,即 fx In1-) 一在区间1,x上为减函数，所以有当0Vx 1时,1,我们通过二次求导分析f的单调性,得出当0Vx 1时f x 1,则f x在区间0,1上为增函数，即0,此时，则有(x1)f(x)0成立。卜面我们在接着分析当1vx时的情况，
4、同理，当1V x 时,在区间1, 上为增函数,则f x f 11,此时，f x为增函数，所以0,易得(x 1)f (x) 0也成立。综上，(x 1) f (x) 0得证。卜面提供一个其他解法供参考比较O,1 ,In x 一，则 xf xxln x 1题设 xf '(x) x2ax 1等价于ln x x令 gx lnxx,贝Ugx当 0vxv1 时，g x> 0;当 x1时，gx的最大值点，所以 g x g 11。综上，a的取值范围是1,(n)由(i)知， g1,即 Inx 1 0。当 0 v x <1时，f xIn xx InIn x xIn x因为In xx ln1 xx
5、 1 <0,所以此时(x 1)f (x) 0。1 时，f xIn x x In x x 1In xx ln1 x0。所以(x 1)f (x) 0比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外 一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。 不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！2设a为实数，函数f x ex 2x 2a, x R。(i)求f x的单调区间与极值；x 2(n)求证：当 a > ln2 1 且x>0 时，e>
6、x 2ax 1。第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数g x ex x2 2ax 1,如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。 xxg x e 2x 2a,继续对g x求导得g x e 20,ln 2ln2ln2,g x0g x减极小值增由上表可知g x g ln2 ,而g ln2eln2 2ln2 2a 2 2ln 2 2a 2 a In 2 1 ,由 a > ln2 1 知g In2 >0,所以g x >0,即g x在区间0,上为增函数。0_2_于是有 gx>g0,而 g0 e 0 2a 0 1 0,故 g x > 0 ,即当 a > ln2 1 且 x > 0 时，ex > x2 2ax 1。