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1、课题定积分及其应用重点 定积分的概念与求法 定积分的应用难点 微积分基本定理定积分的应用一、课前检测e1)dx _ e2 .1.计算(2x1x2.已知 t0, 若,t(2 x2)dx3 , 则 t_?0解析 :t2)22|t2233 或(舍去), 故(2xdxxxttt1t 300t3.由曲线 yex , x2, y1围成的封闭图形的面积为_. e23a2 ； _.4.若0xdx = 1，则实数 a 的值是 _52sin xdx_2 26.将和式 lim (11.1) 表示为定积分 _ nn1n22n1解1dx ；0 1 x7.曲线 yx2 和曲线 yx 围成一个叶形图( 如图所示阴影部分),
2、 其面积是 _.1解 3二、知识梳理1定积分的概念一般地，设函数f ( x) 在区间 a,b 上连续，用分点a = x 0 < x1 < x 2 < L < x i - 1 < x i < L < x n = b将区间 a,b 等分成 n 个小区间， 每个小区间长度为b -aD x （ D x =），在每个小区间 x i - 1 , xi 上n任取一点 xi (i= 1,2,L , n)，作和式：nnb - a)Sn = 邋f (xi )D x =f (xii = 1i = 1n如果 D x 无限接近于0 （亦即 n ? ）时，上述和式 Sn 无限趋近
3、于常数S ，那么称该常数 S 为函b数 f (x) 在区间 a, b 上的定积分 。记为： S = òaf ( x )dx ，其中- 积分号，b 积分上限 ， a 积分下限，f (x) 被积函数 ， x 积分变量 ， a,b 积分ò区间， f ( x )dx 被积式 。bf (x )dx 是一个常数，即 Sn 无限趋近的常数S （ n ?说明：（ 1）定积分 òa时）记为bf ( x )dx ，而不是 Sn òa（ 2）用定义求定积分的一般方法是：分割：n 等分区间a,b；近似代替：取点nb- abnb - a() ；取极限：f (x )dxli mfx
4、i ? xi - 1 , xi ；求和： ?fxi=?(xi )nòani = 1i = 1n（ 3）曲边图形面积： S=b()S =t2aòt1fx dx ；变速运动路程v (t )dt ；变力做功òbW = òaF ( r )dr2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间a,b上函数 f (x ) 连续且恒有 f (x ) 3 0 ，bf (x )dx 表示由直线 x = a,x = b (a ? b), y0那么定积分 òa和b曲线 y = f (x ) 所围成的曲边梯形( 如图中的阴影部分) 的面积，这就是定积分òaf (x )
5、dx 的几何意义。b说明：一般情况下，定积分òaf (x )dx的几何意义是介于x 轴、函数f (x) 的图形以及直线x = a , x = b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数y=f (x ) ，若 y = f (x ) 在 a,b 上可取负值。考察和式 f (x1 )D x + f(x 2 )D x + L + f (xi )D x + L + f(x n )D x不妨设 f (x i ), f ( x i + 1 ),L, f ( x n ) < 0于是和式即为f (x1 )D x + f (x2 )D
6、x + L + f ( xi - 1 )D x - - f (x i )D x + L + - f (x n )D x bf()=ABòax dx阴影的面积阴影的面积 （即 x 轴上方面积减x 轴下方的面积）思考： 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：bkdx = k (b -a) ；性质 1： òabkf()=kbf()(k为常数 )蝌aa性质 2：（定积分的线性性质） ；bbb性质 3： 蝌af 1 (x ) ?f 2 ( x )dxaf 1 (x )dx ? ?af 2 (x )dx
7、 （定积分的线性性质） ；bcb性质 4: 蝌af (x )dx =af(x )dx + ?cf (x )dx (其中 a < c < b) （定积分对积分区间的可加性）bf ( x)dx = -af (x )dx ； (2)aa(1) 蝌abf (x )dx = 0 ；ò说明：推广：bbbb蝌a f1 (x ) 北f 2 ( x) L ? f m ( x)dxaf 1(x )dx 北蝌af 2 (x )dxbc1c2b推广 : 蝌af ( x)dx =af (x )dx + 蝌c1f ( x )dx + L +ck性质解释：yy性质 1Ay= 1L ?f m (x )a
8、f (x )dx性质 4BCMNOabxOaPbxS曲边梯形 A M NB= S曲边梯形 A MPC + S曲边梯形 CPNB三、范例分析例 1计算下列定积分。3e 1（ 1）| x |dx（2）421dxx1解（1）3（ 2）e 11| x |dx2dx4x1= 04 ( x)dx30 xdx= ln( x1) |2e 1=1 x2 |041 x2 |03= ln( e11)ln(21)22= 25=122x21dx 。例 2求定积分02x21(12)dx221)dx(x131+1x3x)2解：1dxx( xx)(2 。0013031例 3计算定积分： .39x2 dx =。09x2 dx
9、=33 .39x2 dx =32解 9 93932428例 4求由曲线 yx22 与 y3x， x0， x2 所围成的平面图形的面积。:y解 :由题意知阴影部分的面积是S= 10 ( x223x)dx12 (3 xx22) dx(1 x32x3 x2 ) |10 ( 3 x21 x32x) |12yx322301120x12例 5已知曲线 C1 方程为f ( x)ex , 过原点 O作曲线 C1 的切线 C 2(1) 求C2的方程;(2) 求曲线 C1 , C2 及 y 轴围成的图形面积S;1与 e (n(3) 试比较 enN * ) 的大小 , 并说明理由n解 :(1) 设 C 2 切 C1
10、于 p(x0 , ex0 )由 f (x)ex , 则 f ( x)exk切ex0 而 k切kopex0ex0ex0得 x01x0x0p(1, e), k切e切线 C2方程为 yex(2) 依题意得 S1(exex)dx0(ex1 ex2 ) 101 e 122(3) 构造函数 F ( x)exexF ( x) exe 令 F ( x) 0 得 x 1则 F (x) 在 (0,1)为减函数 , 在 (1,) 为增函数11eeF (x)F (1)0令 xen0 那 en1nnn1e1e当 n 1时 en当 n2 且 nN 时 ennn四、课外练习1.（1）2 cos2xdx_ 解634221)d
11、x_; 解 7ln 2（ 2） . (x1x32.设函数 f (x)ax 2c(a0). 若10f ( x)dx f ( x0 ) ， 0 x0 1, 则 x0 的值为3 .33.已知 f (x) 为一次函数，且f (x)x2 10 f (t) dt ，则 f ( x)_ f (x)x 14.过原点作曲线C:y ex的 切 线l，则曲线 、切线l及y轴所围成封闭区域的面积为C_. 解 e （ e1 ）25.利用定积分的几何意义，计算：24 x2 dx1解 23 ；3 2解：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积 S141 132362326. 已知函数 f (x)ln x(x0),
12、函数g( x)1af( x)( a0)f( x)函数 yg (x) 在 (1,1a) 处的切线与 y3x5 平行 , 求 a 的值 ;在的条件下 , 求直线 y1 x3与函数 yg (x) 的图象所围成图形的面积 .21a解 : f ( x)ln x ;,f( x)函数 y;g( x) xxx , g ( x)1ag (1)3 a42 ,由条件得xy13xx12x24由2解得y1,y25y44xx直线 y13 与函数 yg ( x) 的图象所围成图形的面积：x2S41 x3)( x4 ) dx =32ln 2(22x7.已知 yf (x) 是二次函数，方程f ( x)0 有两相等实根，且f ( x) 2x 2( ) 求 f (x) 的解析式( ）求函数 yf (x) 与函数 yx24x 1 所围成的图形的面积。解：（）设 f (x)ax2bxc.(a0) b24ac0得： a1,b2, c12axb2x2f ( x)x22x1yx22x1x3或x0（）由题x24x 1y0( x22x33x2 ) |0S( x24x1)2x1)dx(3 933