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1、专题14 一次方程组阅读与思考一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法.解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧.方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法.ax+by=c对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为丿的形式，方程组的解由Fx + dy = Qai ,bi,c, a2,b2,C2的取值范围确定，当 ai,bi,G ,a2,b2,C2
2、的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论.例题与求解x _ y = 2【例1】 若m使方程组丿的解x, y的和为6，则m =.x + 2y = m（湖北黄冈市竞赛试题） 解题思路：用含m的式子分别表示x, y,利用x+ y= 6的关系式，求解 m.【例2】若 4x 3y 6z= 0, x+ 2y 7z=0 ( xyz 严 0 ).则代数式5x2 2y2 _ z22x2 -3y2 -10z2的值等于（A.B.19C. 15D. 13（全国初中数学竞赛试题）解题思路：把z当作常数，解关于 x, y的方程组.【例3】解下列方程组.x _ y
3、 _ z门)(4 一5 一62x 3y -4z = -3 J"5"1997厂5989J997x+1995y =7987（“缙云杯”邀请赛试题）（北京市竞赛试题）广xz xz=7" ' " xz xz二 *1(3)丿入 1入2入2入3入3入4入1997入1998 入1998入1999 1当 * X2 +X1998 +X1999 =1999（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整 体叠加.” ax +2y =1 +a【例4】 已知关于x, y的方程组丿'分别求出a为何值，
4、方程组的解为：2x +2(a _1)y =3(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解.(湖北省荆州市竞赛试题) 解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论.bcdef, acdefabdefabcef 1【例5】已知正数a, b, c, d, e, f满足4 ,9 ,16 ,abcd4abcdf1abcde1,.求（a b e） -（b d f）的值.e9 f16（“ CADIO”武汉市竞赛试题）解题思路：利用叠乘法求出 abcdef的值.【例6】已知关于x, y的二元一次方程(a-3) x+( 2a 5) y+ 6-= 0，当a每取一个值时就有 一个方
5、程，这些方程有一个公共解.(1) 求出这个公共解.(2) 请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程(a-3) x+ ( 2a- 5) y + 6-= 0的解.(2013年“实中杯”数学竞赛试题) 解题思路：分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解.能力训练A级1 .若3x'm切9 - 4y422是关于x, y的二元一次方程，则卬的值等于 n(“希望杯”邀请赛试题)23x+17y=63 心亠2. 方程组丿，的解为.J7x+23y = 57(辽宁省中考试题)ax +5y =153. 已知方程组 丫由于甲看错了方程中的 a得到方程组的解为x=- 3, y=-、4x b
6、y = -21;乙看错了方程中的 b得到方程组的解为 x = 5, y = 4若按正确的a, b计算，则原方程组的解（四川省联赛试题）4.已知关于x的方程a(x - 3) b(3x 1) = 5(x - 1)有无穷多个解，则 a=（“希望杯”邀请赛试题）5.已知(xy _4)2 (二32Cy= 3y= 63A. x= 2,C. x= 3,-y 2)0，则有().2B. x= 6,D. x= 3,y= 3y= 66.如果方程组3x+2y =6的解也是方程3x 2y = 24x+ y+ 2a= 0的解，那么a的值是（）.7.91A.391B.6C. 2D. 2设非零实数a, b, c满足*鼻+如3
7、*0，则a?+bc+ca的值为().a2 +b2 +c22a 3b 4c = 0A.-2B.0C.'2a3b =13 心,3=8.3'&若方程组丿的解为丿则方程组丿3a +5b =30.9b=1.21D. 1（2013年全国初中数学竞赛试题）2(x 2) -3(y-1) =133(x 2) 5(y_1) =30.9的解为（）.x=8.3x=10.3x = 6.3A. <7 = 1.2B.丿, = 2.2C.丿J = 2.2D.丿x = 10.3y = 0.2（山东省枣庄市中考试题）9.已知关于x, y的方程组丿2x+3y=2k+1的解x, y的值的和为、3x _2
8、y = 4k +36,求k的值.（上海市竞赛试题）10.解方程组.(1)361x 463y 102463x 361y =102（云南省昆明市竞赛试题）12(3)二2x -26y -31二 12y -1（浙江省竞赛试题）'x +|y =7 ?x 3y = 111 .若XTX5满足下列方程组2% +X2 +X3 +X4 +X5 =6% +2x2 +x3 +X4 +x5 =12« % +x2 +2x3 +x4 +x5 =24，求 3x4 +2x5 的值.为 +x2 +x3 +2x4 +x5 =48片 x2 x3 x4 2x5 二 96（美国数学邀请赛试题）1. 已知对任意有理数 a
9、, b,关于x，y的二元一次方程（a-b）x-（a，b）y = a b有一组公共解,则公共解为.（江苏省竞赛试题）'2x + y+3z=23 口2. 设丿，贝V 3x 2y+ z=.K +4y +5z =36（2013年全国初中数学竞赛试题）6x 十 my = 183. 若关于x, y的方程组丿有自然数解，则整数 m可能的值是 .3x_y = 0（2013年浙江省湖州市竞赛试题）115（a 1）x + v =54. 已知方程组y ，当a, b时，方程组有唯一一组解；当x + y =b, b时，方程组无解；当 a, b时，方程组有无数组解.（“汉江杯”竞赛试题）5. "”表示一
10、种运算符号，其意义是ab = 2a b，如果x（ 1 3）= 2,贝U x=（）.A.1B.13CD. 227.已知关于x, y的两个方程组3x-2by = 2 和2x _y = 73ax - 5by = 9y具有相同的解，那么 a, b的值是3x y = 11a = 3a = 2a = 2A.丿B.丿C.丿b = 2= 3b = -3).d是整数,b是正整数，且满足.右 a, c, 是().A. 1a = 3D.丿= 2B. 5a+ b = c, b+ c=d , c+ d = a，贝U a+ b+ c+ d 的最大值C.0D. 1(全国初中数学联赛试题)9.解方程组(1)丿x 十 y =1
11、x +2y =3（江苏省竞赛试题）16.已知一35 ,则x 2y的值为（).xy zz x2y z331A.1B.c.D.-224（重庆市竞赛试题）（江苏省竞赛试题）ab =1be = 2 cd = 3de = 4ea=6（上海市竞赛试题）10.已知aba bea 1e a 16abeab be ea的值.（山西省太原市数学竞赛试题）11.已知x1 ,x2 ,x3，Xn中每一个数值只能取一2,0,1中的一个，且满足求的值x1+ x2 +2222、333X3 + Xn = 17, X1 + 'X + X3 + Xn = 37 .求 X1 + X2 + Xn 的值.（“华罗庚金杯”邀请赛试
12、题）5x4y = 712.已知k是满足1910vk<2010的整数，并且使二元一次方程组有整数解，问:4x + 5y = k这样的整数k有多少个?（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题14 一次方程组例 18一得 3y=m-2 , 科二 _2 .X 2+得 3x=4+m, x = _m .又由 x+y=6 得33一+口=6，解得 m=8.3提示：由题意知*3“ 6 x=3zx +2y =7z代入原式中，得严？2 2(2z-z2213.=2z2_(3z) -3(2z) -10z(1)x=12y =15，提示：令=45z =18则 x=4k,y=5k,z=6k.x = 1 一丫 =2提示：将万程分
13、别相加、相减得x+y=3,x_y=_1.(3)亠、A + B=1由题意可设 X1=X3=X5= =X1999=A,x2=X4=X6= =X1998=B，贝UJ000A + 999B = 1999解得 A=1 000, B=- 999,即卩 xi= x =X5= =xi999=1 000,X2 =x4 =冷=xi998=-999.例4提示：由方程组得(-2)(a 1)-(-2)(a 2)、2(a2)(a+1)y =a2(1) 当(a-2) (a+1)z o，即2且a丰-l时，原方程组有唯一解；(2) 当 (a-2) (a+l) =0且(a-2) (a+2)与a-2中至少有一个不为0时，方程组无解
14、，故当 a= -1时，原方程组无解；(3) 当 (a-2)(a+l)=(a-2)(n+2)= (a-2)=0,即 a=2 时，原方程组有无数组解.AA例 5提示：依题意可得(abcdef)4=1即abcdef=1 ,从而a4=,故a=,同 理可得 41+ 4,d =2,e=3, f =4，那么(a c e) -(b d f)=(422173)七 2 4) 一23126(1)分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，解出公共解为yy把(a- 3)x+(2a-5)y+6-a=0 可变形为(x+ 2y -1)a- 3x - 5y+6=0.依题意可得X角亠0，解得"7-3x - 5y 6
15、 0 y = -3无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解.A级319x=2X=142.3.29 4. 2 15. C 6. B厂1r2 1 2 2 2提示：由已知得 a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c) =0,故(a+b+c) =0,于是 ab+bc+ca (a b c ), 21.2则原式的值为一丄128.提示:fX 2 二8.3x 二6.3依题中方程组知卜亠1.2解得'y 二 2.29.提示:16, 11X k , y13131313X =110.(1)x =一3提示:11y蔦X -12y -1阡A“1 =3 畀2=-4
16、 x3 二 4，彳=3 I y3 = -3x4 = -411.181提示：将各个方程相加得X1+X2 +X3 +X4 +X5x =0$一1x = 4:= 1提示:9. (1)由条件得5X1 =32八一3a = 3b,5X2c= 2b, d = b1X4T4y4提示：当xy _ 0时,(2) a1 = , b12x+ y = x + y，当 xy 兰 0 时,c1 = 3, d 1 = 1, e1 = 4, a 2x+y = ：；x325b2 =,c2 = 3, d 2 = 1,23x y 1 = 0提示：由 a(x y 1) b(x+ y+ 1)= 0 知丿+ y +1 = 02. 10 提示
17、：3x 2y + z= 2(2x+ y + 3z) (x+ 4y+ 5z)= 2 X 23 36 = 46 36= 103. 1, 0, 1, 4 提示：把y= 3x代入6x+ m y= 18中得6x+ 3my = 18,整理得x=，又因为x,m + 2y为自然数，故符合条件的m取值为1, 0, 1, 4。4. - 2 为任意有理数=2 -5= 2 = 55. B6. B提示：运用奇数、偶数性质分析。2x y = 7提示：由丿 y得方程组的解为3x y =11e 2 = 4提示：由方程组得 a2b2c2d2e2 = 144.a1题意三个式子可变形得 -b1c1+ b1ca=15 ,=17，+得2（丄=13 .1 1-48.则b c11a b11.设有= 24c ac+ab，故 abc则有P爲：；77,12.由题中条件得abcab be ac 241, q 个 x 取2.p 1解得鳥9.所以原式=1x 13+ 9x ( 2)3一 71.35 4kx =415k -28 y =.41设35 *伽5k -28 =41 n.（m, n为整数）.m =3 +4t消去k得5m + 4n= 7，解得n._2_5t,(t为整数 > 从而得“ 22+ 41t.由1910< 22 + 41t <2010，得 4時<5务故共有2个k值使原方程组有整数解.