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1、百度文库-让每个人平等地提升自我领先中考培优课程MATHEMATICS/ 绝对值几何意义突破知识目标目标熟练绝对值式子的几何意义-距离，理解最值的含义目标二掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法目标三掌握一般的绝对值式子求最值、疋值的方法零点分段法i百度文库-让每个人平等地提升自我思维引入最值的含义 /'、知识导航最大值与最小值统称为最值，一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：当x等于任意数时，代数式 x 2能取到无数个值但其中最小的值是0 因此可以说，仅当x= 2时.x 2取得最小值为0;此时x 2可以无穷大.因此它没有最大值.当1
2、 <xw 3时，2x 3能取到无数个值，但当 x= 1时2x 3取得最小值为一1 ;当x= 3时， 2x 3取得最大值为3 .这里也可以描述为.当 I wx< 3时，1 w 2x 3w 3.练习一一最值的含义的理解1. 2x的最小值是 ，当 x= 时它取得最小值；2一 3 x的最大值是 ，当x=时它取得最大值；当x =时，(1 3x)2 + 2取得最小值为 ;当x =时，3 一 x 1取得最大值为;2先化简x 3 x 4，再求它的最值，并说明相应的 x的取围.3. 先化简x 1 x 5，再求它的最值，并说明相应的 x的取值范围总结归纳虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算
3、来找最值是最本质的方法，但通 过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较 大，耗时又易错.初中知识两大主线一一几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数, 后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合.现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数 轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁.灵活运用绝对值的代数意义与几何意义， 融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的 学习也大有裨益.本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法绝对值的几何意义.模块一绝对值的几何视角一一距离知识导航通过前面的学习.我们对绝对
4、值的代数意义已经很熟悉.a b a b(a b)，这让我们看到/b a(a< b)一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开例如，当x 1这个式子出现在我们眼前，它就/x 1 (x 1)被我们强迫症般的在脑海中变成了x 1诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值X11 X(XV1)化简时是必要且实用的但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简.实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”反过来,我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离.例如
5、，a表示数轴上数a对应的点到原点的距离，m n的几何意义是数轴上表示 m的点与表示n的点之间的距离.所以，当x 1这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x对应的点与1对应的点之间的距离”.练习几何视角1. 1 2的几何意义是数轴上表示一 1的点与表示2的点之间的距离，贝U1 2 =;2. x'的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离：x =1的几何意义是数轴上表示 的点与表示的点之间的距离是:3. a b的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离，且 a b b a ；/a b的几何意义是表示 的点与表示的点之间的距离，a b a b ；
6、/4. x 2的几何意义是数轴上表示 点与表示点之间的距离；若 x 2 = 2,贝U x=5.当 x= 1 时， x 5 x 2 =，当 x= 时， x 5 x 2 =.例1.(1) 数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为IIi Ip, q, r, s.若 p r 10,F§r 5p s 12, q s 9 贝U q r =(2) 有理数a、b、c、d各自对应着数轴上 X、Y、Z、R四个点，且它们满足以下三个条件： b d 比 a b , a c、a d、b c、c d 都大； d a a c de ；c是a、b、c、d中第二大的数.则点 X、Y、Z、R从左到右依次是 .
7、练满足a b a b成立的条件是().A. ab>0B. ab > 1C. ab < 0D. ab< 1模块二绝对值之和求最小值知识导航求x 1 x 2的最小值；把这两个距1、2、x.x 1即数轴上x与1对应的点之间的距离，x 2即数轴上x与2对应的点之间的距离，离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值设A、B、P三点对应的数分别是当I < XW 2时，即P点在线段AB上，此时x 1 x 2 PA PB AB 1;111 .-101兀23当x>2时，即P点在B点右侧，此时 x 1 x 2 = PA + PB = AB+ 2PB>AB;1A
8、r-1D121_13 H当x V 1时，即P点在A点左侧，此时 x 1 x 2 = PA + PB = AB+ 2PA> AB;人AM丁 40 1 2*3综上可知，当IV x V 2时(P点在线段AB上)，x 1 x 2取得最小值为1.此结论可以推广：若已知以 av b，则当a< x< b时，x a x b取得最小值为b a. 题型一两个绝对值相加求最小值例2(1) 当x满足 时，x 5 x 200取得最小值为 ; /当x满足时，x 3 x 4取得最小值为 ;当x满足时，x 6 x 4取得最小值为(2) 当一K xw 6时，x 2 |x的最小值为 ,最大值为 .(3) 当x
9、1 x 3取得最小值时，试化简x 5 x 5 =总结归纳绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为 大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别 求出每一段的取值范围，最后得到最值.(1)当x满足当x满足时,时.1-取得最小值为2(2)已知x为整数，且满足4,则x的所有可能值之和为(3)求x 4 x 5的最小值，并写出相应的 x的范围.挑战压轴题(2014武昌七校七上期中压轴题) 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为 a、b，则A、B两点间的距离表示为 AB a b
10、，根据以上知 识解题：(1) 若数轴上两点 A、B表示的数为x、一 1. A、B之间的距离可用含 x的式子表为 ; 若该两点之间的距离为 2,那么x值为. x 1| |x 2的最小值为 ，此时x的取值范围是 ;已知 x 1 x 2 |y 3 y 215，求x-2y的最大值和最小值.拓已知x 21 x 9 y 5 1 y，求x+y的最值.题型二多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求x 1 x 2 x 3 x 4的最小值;设A、B、C、D、P五点对应的数分别为 1、2、3、4、x，在数轴上画出各点，排 好序之后由远及近依次两两一组求和。当1 w x< 4时，x 1x 4 = PA +
11、 PD = 4 1= 3,取得最小值;1,取得最小值;2 x 3 |x 4 PA PB PC PD，即上面两式x 1所求的x18与x 2 x 3之和，如果这两式能同时取得最小值，即PA+ PD与PB+ PC同时最小，那么它们的和必然也取得最小值.故当 2< xw 3 时，x 1 x 2 x 3 x 4 的最小值为(4- 1) + (3 2) = 4.再以三个绝对值之和 为例，求|x x 1 x 2的最小值;n人0H 12当x= I时，|x 1 PB 0,取得最小值;设A、B、C、P四点对应的数分别为0、1、2、x.当0W x< 2时，|x x 2 PA PC 2 02，取得最小值;
12、所求的|x 1 x 2 = PA+ PB+ PC即上面两式之和，如果这两式x x 2和x 1能同时取得最小值，即 PA+ PC与PB同时最小，那么它们的和必然也取得最小值.故仅当x= I时，|x 1 x 2的最小值为(2 -0) + 0= 2.若求更多的偶数个或奇数个绝对值之和，可以用同样的方法求其最小值.例3(1) 当x满足 时，x 3 x 1 x 4 x 6取得最小值为 ;当x满足时，x 3 x 2 x 1 x取得最小值为;当x满足时， 1 x x 3 x 7 |4 x取得最小值为;(2) 当x满足 时，x 2x 1x5取得最小值为 ;当x满足 时，x 26 x5x取得最小值为 ;(3)当
13、x满足时，x 1 x 2x 2016取得最小值为当x当x满足时，x 1 xx 101取得最小值为(4)若Ov av 10,则当x满足总结归纳奇数个x取“中间点”右 a!V a2vV a2n 1，当x满足2时,x时,10的最小值是最小值为a2n 1a1a2n a2a2n 1偶数个x取“中间段”右 a1 v a?v v a?n ,当x满足最小值为a?naia2n1 a2x a2Xa2n 1取得最小值;a3时，xan 2an 2 anai| |x a2an 1 an 1 a nx a2n取得最小值;(1)当x满足时,x 4取得最小值为当x满足时,x取得最小值为求x6的最小值，并写出相应的 x的范围.
14、拓求x 1 2x 1 3x 1的最值;求-x 12模块三绝对值之差求最值知识导航求x 1 x 2的最大值：设A、B、P三点对应的数分别为I、2、X,当1 <xw 2时，即P点在线段AB上，此时|x 1 X 2 = PA PB,其值在一1到1之间, 其中，当 x= I 时，PA PB= I，当 x= 2 时 PA PB = 1,当 I v xv 2 时，一1 v PA PB V 1.-10123当x>2时，即P点在B点右侧，此时|x 1 x 2 = PA PB =AB = 1.Jii 10123当x V I时，即P点在A点左侧，此时 x 1 x 2 = PA PB = 1.A.11
15、w-10123综上可得：当xw I时(P点在A点左侧).x 1 x 2取得最小值为一I:当x> 2时(P点在B点右侧).x 1 x 2取得量大值为1.1(x 2)用绝对值代数意义展开亦可知x 1 x 2 = 2x 3(1V xV2)1(x 2)此结论可以推广：x a x b的最大值为 a b .最小值为a b,至于当x满足什么条件时分别取最大、最小值则可以画数轴分析或把绝对值展开计算.例4(1) 用绝对值的几何意义求 x 3 x 5的最值.(2) 用“零点分段法”化简 4 x x 1，求出最值，并说明相应的 x的取值范围.求x 5 x 7的最值.练（2012武昌七校七上期中）当x在何范围
16、时，x 1 x 2有最大值，并求出最大值当x在何范围时，x 1 x 2 x 3 x 4有最大值，并求出它的最大值.代数式x1x2x3x4x 99 x 100最大值是模块四定值问题知识导航定值即指代数式的值恒为某一个数.1(x 2)例如用“零点分段法”化简可得x 1 x 2、2x 3(1 x 2).可见当x > 2时x 11(x 1)值恒为1 .即定值为1 ;当x< I时x 1 x 2的值恒为一1，即定值为一1./2x 3(x1)再如，令s = x 1 |x 2，化简可得s= |x 1 |x 2 = 1( 2 x1)，可见对于/2x 3(x2)2< x<- I范围内的任意
17、x值，s的值恒为常数1，我们就说当一2< x<- 1时s为定值. 综上可知，要让某式有定值，必须使它在某一条件下的取值与x无关.因此，定值问题的核心任务是，找到 x的某个取值范围，使得代数式中的x正好可以相互抵消.例5(1) 如果对于某一给定范围内的 x值，p= x 1| |x 3为定值，则此定值为 ，相应的x的范围是.(2) 如果对于某一给定范围内的x值，p= x 5 x 2为定值，则此定值为 .(3) 如果对于某一给定范围内的 x值，p = 5-2x |2x 9为定值，则此定值为 ,相应的x的范围是.练如果对于某一给范围内的x值，m= |2-3x 3x 7为定值，则此定值为 ，
18、相应的x的范围是 .总结归纳定值问题虽然也可以用绝对值的几何意义一一转化为距离来求解，但它并不是此类题型的本质解法，仅在 x的系数都为I时此法较为便捷.产生定值的根本原因是 x相互抵消了，因此定值问题的本质解法是用类似“零点分段法”的思路，将式子中的每个绝对值拆开，配x的系数使它为0,从而迅速找到相应的 x的范围，并求出定值当然，上述方法都针对的是选填题，能迅速找到答案.如果是需要写过程的大题，无论是求最值还是定值，都只能用“零点分段法，分类讨论求解.例6(2014 武(1)若2x 4 5x 1 3x 4的值恒为常数，则x应满足怎样的条件？此常数的值为少？(2昌七校中)如果对于某一特定范围内x
19、的任意允许值，s = 2 2x 2 3x 2 5x的值恒为一常数，刚此常数值为()（3）已知对于某一特定范围内 a的任意允许值，6a 7 5 2a 4a的值恒为一常教.则此常数值为（）.A. 12C. 12D. 12 或12（4）如果对于某一特定范围内x的任意允许值，s= x 1 x 2 x 3x 2016的值恒为一常数，则相应的 x的取值范围是 .练 若3 a 3 4a 3a的值是一个定值，求 a的取值范围.拓（2012外校七上期中）已知 x为正数，且对于x在某一范围内任意取值，代数式,x 2 2x 2 3x 2 4x 2 5x 2 6x 2 7x 2 8x 2的值恒为定值，试求出x的取值范
20、围及这个定值.1不相等的有理数第2讲绝对值几何意义突破（a、b、c在数轴对应的点分别为A、B、C,如果课后作业）那么点A、B、A .点A在点B、C之间C .点C在点A、B之间2. 已知0vC在数轴上的位置关系是（ ）B.点B在点A、C之间D.以上三种情况均有可能20,当 pwxw 20 时,20x p 20的最小值是（).A. 40C.203.如果对于某一特定范围内的任意允许值,D .一个与p有关的代数式P= 1 4x 1 5x/1 6x 1 7x8x的值恒为一常数，则此值为A. 1B. 0( ).C. 1D.1或一14.如果对于某一给定范围内的x 值，p =3 2x x 7 3x为定值，则此
21、定值为相应的x的范围是5根据绝对值的几何意义可知：3 3 0 ,它在数轴上的意义是表示3的点与原点之间的距离；又如式子 8 3，它的几何意义是表示 8的点与表示3的点之间的距离，那么：/ （1） x 5在数轴上的意义是；/ （2） x 1 x 4的最小值为 ；、/ / （3） |x 1 x 2 |x 3 x 4 |x 5 x 6 的最小值为 .6.如果对于某一特定范围内 x的任意允许值，S= x 1 x 2 x 3|x 100的值恒为一常数，则此常为 ，相应的x的取值范围是 .7/已知a为整数，且满足 a 2 a 35，则a的值为 ./ (1 )当f x满足时,(2)当当x满足时,(3)当笛x
22、满足时,(4)当笛x满足时,(5)当当x满足时,(6)当当X满足时,9.已知 av bv cv d.求 y x ax 3取得最小值为 ;42 x取得最大值为;1 x 5 x取得最小值为;x 7 x 8 x 9取得最小值为 ;x 4 x 5取得最大值为;x 4 x 5取得最小值为 .10.求2 x| |4 x的最值.x b x c x d的最小值，并求出此时 x的取值范围.11.当x 2 lx 3的值最小时，求x 2 x 1 x 1的最值.12如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P,使这5台机床到供应站 P的距离总和最小，点 P应建在哪？最小值为多少？AB C DEiIiljII圍II11248