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1、数学专题十圆锥曲线及其应用【考点精要】2 2 考点一 椭圆、双曲线、抛物线的离心率。女口：设双曲线笃 爲1 （a>a b0,b > 0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（）A. 、3B. 2C. 5D. .62考点二.圆锥曲线的第一或第二定义。女口：已知椭圆c： y i的右焦点2uur uuu为F ,右准线为I，点A I，线段AF交C于点B，若FA 3FB ,则uuuru|AF|=（）A. JB. 2C. 3D. 3考点三.圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系。直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：设2 2双
2、曲线笃 每1（a 0,b 0）的虚轴长为2,焦距为2.3，则双曲线的渐近线方a br程为（）A. y 2x B. y 2x C. y - x D.21y x2考点四.圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。将圆锥曲线的相关知识与向 量等知识相结合，考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识。考点五.圆锥曲线中有关角、线段、面积。以圆锥曲线为依托，借助点与线 的关系，考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识，考查综合运算能力。如： 设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（、3，0）的直线与抛物线相交于 A, B两点,S与抛物线的准线相交于C, I BF =2,贝U BCF与 ACF的面积之比亠吐=（）S
3、ACFA.B.C. 4D.考点六.圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小。利用圆锥曲线与直线的特殊关系，研究有关的距离最短、距离之和最小等，考查学生分析问题、解决 问题以及数形结合的能力。如：已知直线 l1：4x 3y 6 0和J：x 1，抛物线 y2 4x上一动点P到li和12的距离之和的最小值是（）1137A.2B.3C.D.516考点七待定系数法求曲线方程。能用待定系数法求曲线方程，处理直线与 圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题。 此类问题多属于中档或高档题。女口：过 点（1，0）的直线I与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为手的椭圆C相交于 A、B两点，直线y=】x过线段AB的中点，同时
4、椭圆C上存在一点与右焦点关于2直线I对称，试求直线I与椭圆C的方程考点八.求圆锥曲线方程的方法。能运用多种方法（如：直接法、定义法、 几何法、代入法、参数法、交规法等）求圆锥曲线的方程，求动点轨迹时应注意 它的完备性和纯粹性。巧点妙拨1. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨 论和数形结合的思想方法2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求， 将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应
5、充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍3. 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。【典题对应】例1.(2009 山东)设m R,在平面直角坐标系中,已知向量a (mx, y 1),向量b (x, y 1), a b,动点M(x, y)的轨迹为E.(1) 求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；1(2) 已知m 22 4k 1 4k,证明：存在圆心在原点的圆，使得
6、该圆的任意一条切线与轨4迹E恒有两个交点A,B,且OA OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程；1(3) 已知m ,设直线I与圆C:x2 y2 R2(1<R<2)相切于A,且I与轨迹E4只有一个公共点B,当R为何值时,|A启|取得最大值？并求最大值.命题意图：本题主要考查直线与圆的方程和位置关系，以及直线与椭圆的位 置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题，有几个交点的问题。r r rrr r o o解析：(1)因为 a b, a (mx, y 1), b (x, y 1),所以 a b mx y 10,的是圆；当m 线.(1(2)当 mkx t丄时，轨迹E的方程为-4'
7、;1,设圆心在原点的圆的一条切线为解方程y2 x4kxx2 4(kx t)22 2 24k )x 8ktx 4t 40,即mx2 y2 1.当m=0时，方程表示两直线，方程为y 1;当m 1时，方程表示 0且m 1时，方程表示的是椭圆；当 m 0时，方程表示的是双曲要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使 =64k2t216(12 24k )(t21) 16(4 kt21)0,x1x2即 4 k2 t210,即t2 4k21,8 kt1 4k2 4t241 4k2t)(kx2t)k2x1x2kt(NX2) t2k2 (4t24) 8k2t21 4k21 4k2t24k24k2uuuOAuuuO
8、BX1X2y1 y24t2 41 4k20,t2 4k2 5t2 4k24所以 5t2 4k2 40,即 5t2 4k2 4 且 t2 4k2 1 ,即 4k2420k25恒成立.所以又因为直线kx t为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r t ,P1 k2t2rnk24-(1 k )5 1 k4,所求的圆为x2 y25存在时，切线为y 1 交于点(一叮5, 5)或(丁'5, 丁'5)5555也满足OA 0B.综上，存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点uuuA,B,且 OAuuu OB.(3)当 m1-时,轨迹42E的方程为-41,设直线I的方程
9、为y kx t,因为直线I与圆C:R2 (1<R<2)相切于Ai,由(2)知 Rt1 k2t22 2R (1 k )因为I与轨迹E只有一个公共点Bi,由(2)知y2 x4kxt旷曰 2得x14(kx t)2即(1 4k2)x2则厶=64k2t2t2由得k2x1x2x1x28ktx 4t2 40 有唯一解.2 2 2 216(1 4k )(t1)16(4k t3R24 R2R2 14 R2此时A,B重合为8kt1 4k 中 xX2,所以,x24t 44k2Xi1)2 24k t 1B(xi,y i)点,4t2 416R2 162 21 4k 3RB1(x 1 ,y 1)点在椭圆上，所
10、以y121 24X14 j ,所以3R2224|OB11 人 y 52 ,R在直角三角形0AB1中，|AB1|2 |0即2|0A|24R2为R2 4当且仅当R 匹(1,2)时取等号，所以IABR当R .2 (1,2)时|A1B1|取得最大值，最大值为1.R25 Gr2 R）因4 1,即b,则有 xm yn 0。名师坐堂：对于两个向量垂直，a (x, y),b (m, n),若a求圆锥曲线的轨迹方程时一定要注意检验，所求方程中含有参数是要注意讨论。 研究直线时应注意斜率不存在的情况。2 2例 2. （ 2011 山东 22）已知动直线I与椭圆C : L 1交于32P X1,y1 ,Q X2, y
11、2两不同点，且 OPQ的面积S opq 6，其中O为坐标原点.2(i) 证明：xj X22和y12 y均为定值；(n)设线段PQ的中点为M，求|OM| |PQ的最大值；(E)椭圆C上是否存在三点D,E,G，使得Sode Sodg Soeg2若存在，判断 DEG的形状；若不存在，请说明理由.命题意图：本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、面积公式、一元二次 方程的根与系数的关系、求最值的方法以及分类讨论的思想，考查学生解析几何 的基本思想方法，考查逻辑推理、运算能力.解析：(I )当直线I的斜率不存在时，P,Q两点关于x轴对称，则为X2,%y2，由P “1在椭圆上，22则 x1711 ,而 So
12、PQ32x1y1乎，则X1恵1y,y11于是x/2X2c23，y12y22 .2当直线I的斜率存在，设直线I为y kx m ,代入32x2 3(kx m)26 ,即(2 3k2)x2 6km 3m20 ,即 3k22 m2X1X26km2 3k2，XiX23m262 3k2PQJik2X X2Ji k2/ x2)2 4x2 Ji k2dmS POQiPQi26j3k22 m2冃-d22m2 3k22m2，满足02则 3k222 6.3k222 m2 3k22Xi2X2(xi x2)2 2xix26 km )22)3k3(m22)3k23 ,2Yi2Y2综上可知f (3 xi2)彳(32 2 2
13、XiX23 , YiX22)4討22X22y2（U）当直线I的斜率不存在时,(I)知OM Xi PQ当直线I的斜率存在时,由（I）%x223k2m ,YiY22k（宁）m3k22momXiXo 2Y2)29 k24m2i(3PQ(122、24(3k2 mk )2)OMPQ(3当且仅当32 2(2 3k )2(2 m22m1)i2(2 )m大值为5。m?)(2m257,2时等号成立，综上可知OM PQ的最（川）假设椭圆上存在三点D,E,G，使得SoDE S ODGS OEG23 ,yD, yE,yG只能从1中选取,一个过原点，这与S ODES ODGS OEG2yD2y2,2 2yEyc22,
14、yG2yD2.解得2Xd2Xe23Xg22,yD2yEyG21，由（I）知 Xd2 Xe2 3,Xe2 Xg2 3,Xg2因此Xd，Xe，Xg只能从y中选取,因此D,E,G只能从（6, 1）中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有故椭圆上不存在三点D,E,G，使得SoDE S ODG SoEG2名师坐堂：求解定值问题可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值，再推广到一般结论。在求解圆锥曲线的最值问题时，可考虑用重要不等式、二次函数、 三角函数以及函数的单调性。【授之以渔】方法点拨：求圆锥曲线中的最值问题应注意以下几点：（1） 圆锥曲线本身存在最值问题，如椭圆上两点最大距离为2a （长 轴长）；双曲
15、线上两点间最小距离为2a （实轴长）：椭圆上的焦半径的取 值范围为a c,a c，a c与a c分别表示椭圆焦点到椭圆上的最短与最 长距离；抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近。（2）圆锥曲线上的点到定点的距离最值， 常与两点间的距离公式转化为 区间上的二次函数最值解决，有时也用圆锥曲线中的参数方程，化为三角函数的最值问题。（3）圆锥曲线上的点到定直线的距离最值，常转化为平行切线法。（4）点在圆锥曲线上，求相关式子的取值范围，常用参数方程代入转化 为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数化为函数进行 处理。（5）由直线和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某一个参数 满足的范围
16、，解决方法长把所求参数作为函数，另一个变元作为自变量求解。【直击高考】2 2 2 21.已知双曲线 工1的准线经过椭圆 告i（b>0）的焦点，则b=（）224 b2A.3B. 5C.、3D.2. 抛物线y=ax2与直线y=kx+b(kM0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分 别为Xi, X2,直线与x轴交点的横坐标是X3,则恒有()A.X3=X1+X2B.X1X2=X1X3+X2X3C.Xl+X2+X3=0D. X1X2+X2X3+X3X1 =03. 中心在原点，焦点在坐标为(0，±5 2)的椭圆被直线3X y 2=0截得的弦的中点的横坐标为1，则椭圆方程为。24. 直线I的方
17、程为y=X+3,在I上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2 4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为 .2 25. 已知F1、F2是椭圆C:笃 与 1 ( a > b >0)的两个焦点，P为椭圆Ca b上一点，且PF1 PF2 .若 PF1F2的面积为9,则b=6. 已知抛物线y2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线I与该抛物线交于不同的两点A、B,且| AE| < 2p.(1)求a的取值范围.若线段AB的垂直平分线交X轴于点叫求厶NAB面积的最大值.7.已知双曲线2XC 二ab21(a0,b 0)的离心率为XD/、3，右准线方程为
18、(I)求双曲线C的方程;(n)设直线I是圆o：x22y 2 上动点 P(x°, yo)(x°yo0)处的切线，I与双曲线C交于不同的两点A,B，证明 AOB的大小为定值.高三数学三轮复习(理科)参考答案数学专题十圆锥曲线及其应用【直击高考】(4 b2,0)所以有4b21 .即 b2=3 故 b= 3 .故 C.2解析：解方程组2y ax,得 ax2 kx b=0,可知kbX1+x2= ,X1x2= ,x3=y kxbaab,代入验证即可。答案：B1.解析：可得双曲线的准线为x2 ac1 ,又因为椭圆焦点为k3. 解析：设所求圆的圆心为P(a, b),半径为r,则点P到x轴、
19、y轴的距离分别为I b|、| a|圆P截y轴所得弦长为2,二r2=a2+1又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为 90°,故弦长|AB|=V2r,故r2=2b2,从而有 2b2 a2=1又点P(a, b)到直线x 2y=0的距离d=|a 2b|,(5因此，5d2=| a 2b| 2=a2+4b24ab> a2+4b2 2(a2+b2)=2 b2 a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有a b2b2 a22 d 22 小/ r =2b , r =2于是所求圆的方程为：(x 1) 2+(y 1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=24. 解析
20、：所求椭圆的焦点为 % 1,0), F2(1,0),2 a=|PF|+|PF。欲使2a最 小，只需在直线I上找一点P.使|PF|+| PF2|最小，利用对称性可解.2 2答案：=154| PF1 | PF2 | 2a22225. 解析：依题意，有 |PF1|?|PF2| 18 ，可得 4c + 36= 4a，即卩 a c2 2 2| PF1 | PF2 | 4c=9,故有 b= 3。6. 解析：(1)设直线I的方程为：y=x a,代入抛物线方程得(x a) 2=2px,即2 2x 2( a+p) x+a =0|AB|=、2 . 4(a p)2 4a2 < 2p. 4ap+2p2<
21、p2,即 4apW p2又 p> 0, a a<- E .4(2)设 A(xi,yi)、B(X2,y2), AB的中点 C(x, y),由(1)知，yi=Xi - a, y2=X2 a, Xi+X2=2a+2p, 则有 x=2X1 X2 a p,yy2 X1 x2 2a =p.2 2 2a线段AB的垂直平分线的方程为y p= (x a p),从而N点坐标为(a+2p,0)点N到AB的距离为1 a2pa| ,2p。<22p.2ap p2d从而 Snae= -、2 , 4(a p) 2 2 4a2 , 2 p当a有最大值E时，S有最大值为2p2。4a2137. 解析：（I）由题意
22、，得 c 3x04 y 8y0x 8 2x00切线l与双曲线C交于不同的两点 A B,且0x22，a 3xf 4 0，设A B两点的坐标分别为x1,y1 , x2,y2 ，解得a 1,c,3 ,E 43a2A b2 c2 a2 2 ,A所求双曲线C的方程为X2 1.2(U)点 P XQ,y0 Xgy。0 在圆 x2 y22上,圆在点P X0,y。处的切线方X X0，化简得X°X y0y0y22y12.由 x71及x22y0X0Xy°y2则 x1x28 2x2亍,汕22x2 83x2 4，2 2 23x04 x 4x0x 8 2x00AOB的大小为90 .uur uuua OA OB x1x2 y1y20，( x： y22且 x°y° 0，a 0 x： 2,0y： 2，从而当 3xf 4 0 时，方程和方程的判别式均大于零）