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1、第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【例 1】 已知、是方程 x 2x 10 的两个实
2、数根，则代数式2( 22) 的值为思路点拨所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为( 例【例 2】如果、都是质数，且21302baabam， b 13b m0 ，那么的值为 ()aab 123 125或 2 125123或 2A22B22C22D22思路点拨可将两个等式相减， 得到 a 、 的关系，由于两个等式结构相同， 可视 a 、 为方程x213xm 0bb的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1 、 x2 的对称式，这类问题可通过变形用x1 + x2 、 x1x2 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)
3、恰当组合；(2) 根据根的定义降次；(3) 构造对称式【例 3】 已知关于 x 的方程： x 2(m 2)xm204(1) 求证：无论 m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根(2)若这个方程的两个实根 x1 、 x2 满足 x2x1 2 ，求 m的值及相应的x1 、 x2 思路点拨对于 (2) ，先判定 x1 、 x2 的符号特征，并从分类讨论入手【例 4】 设 x1 、 x2 是方程 2 x24mx2m23m20 的两个实数根，当m为何值时，x12x 2 2 有最小值 ?并求出这个最小值思路点拨利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下 ( 0
4、) 进行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性【例 5】 已知：四边形中，且、的长是关于x的方程x21)270的两个ABCDABCDABCD2mx ( m42根(1) 当 m 2 和 m>2 时，四边形 ABCD分别是哪种四边形 ?并说明理由(2) 若 M、N分别是 AD、 BC的中点，线段 MN分别交 AC、 BD于点 P，Q， PQ1，且 AB<CD，求 AB、CD的长思路点拨对于 (2) ，易建立含AC、 BD及 m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相
5、关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数” ( 方程 ) 转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性学历训练1 (1) 已知 x1 和 x2 为一元二次方程 2 x22x 3m 10 的两个实根，并 x1 和 x2满足不等式x1 x21 ，x1x24则实数 m 取值范围是(2) 已知关于x的一元二次方程82(m1)x m70有两个负数根，那么实数m 的取值范围x是2已知、 是方程的两个实数根，则代数式3222 的值为3 CD是 Rt ABC斜边上的高线， AD、 BD是方程 x26x4
6、0 的两根，则 ABC的面积是4设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x 2px q0 的两根， x1 +1、 x2 +1是关于 x 的方程 x2qxp0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于 ()A 1，-3B 1，3C -1 ，-3D-1 ， 35在 Rt ABC中， C 90°，a、b、c 分别是 A、 B、 C的对边， a、b 是关于 x 的方程 x 27 xc7 0的两根，那么AB边上的中线长是 ( ) 3 5 5 2A2BCD26方程 x 2px19970 恰有两个正整数根x1 、 x2 ，则p的值是 ()(x1 1)(x21)A 1B - lC112D27 若关于x
7、的一元二次方程的两个实数根满足关系式：x1 ( x1 1) x2 ( x21)(x11)(x21)，判断(ab) 24 是否正确 ?8已知关于x 的方程 x2(2k3)xk210 (1) 当 k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根x1 、 x2 满足：x2x13 ，求 k 的值9已知方程x2px q 0 的两根均为正整数，且pq28 ，那么这个方程两根为10已知、是方程 x2x 10 的两个根，则43的值为11的一边长为5，另两边长恰为方程22120 的两根，则的取值范围是ABCxxmm12两个质数 a 、 b 恰好是整系数方程的两个根，则ba 的值是 ( )ab 9413
8、 9413 9413 9413AB194CD979913设方程有一个正根x1 ，一个负根 x2 ，则以 x1、 x2为根的一元二次方程为 ( )Ax2320B x23xm2 0x mC x 21 4mx2 0D x 21 4mx 2 014如果方程 (x1)( x 22x m)0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A 0 m 1B m 3C 3m1D 3 m 144415如图，在矩形ABCD中，对角线 AC的长为10，且 AB、 BC( AB>BC) 的长是关于 x 的方程的两个根(1) 求 rn 的值；（ 2）若 E 是 AB上的一点， CF DE于 F
9、，求 BE为何值时， CEF的面积是 CED的面积的 1 ，请说明理由316设 m是不小于1 的实数，使得关于 x 的方程工 x22(m 2)x m2 3m 3 0 有两个不相等的实数根x 、1x2 (1) 若 x 2x26 ，求 m的值12(2) 求 mx12 mx2 2 的最大值1 x1 1 x22217如图，已知在ABC中， ACB=90°，过 C作 CDAB于 D，且 AD m，BD=n，AC：BC 2： 1；又关于x 的方程 1x22(n 1)x m212 0 两实数根的差的平方小于192，求整数 m、n 的值418设 a 、 b 、 c 为三个不同的实数，使得方程和x 2ax 1 0 和 x2bxc0 有一个相同的实数根，并且使方程 x2x a 0 和 x2cx b 0 也有一个相同的实数根，试求abc 的值参考答案