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1、精品资料欢迎下载递推数列特征方程一、问题的提出递推 (迭代 )是中学数学中一个非常重要的概念和方法， 递推数列问题能力要求高， 内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列 a1a21, an1anan 1 ( n2,3, )，求通项公式 an 。参考书上的解法是这样的：解此数列对应特征方程为x2x 1 即 x2x 10 ，解得 x15，2设此数列的
2、通项公式为anc1 (125 ) nc2 (15 ) n ，2由初始条件 a1a21可知，15151c11c12c225 ，解之得c1 (15 ) 2c2 (15 )21c21522所以 an515n15n。5(）()22这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂” 。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受
3、的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列an 满足 a1b, an 1cand(c1), 其通项公式的求法一般采用如下的精品资料欢迎下载参数法，将递推数列转化为等比数列：设 an 1 t c(an t), 则 an 1 can(c 1)t ，令 (c1)td ，即 td时可得c，当 c 11an 1dc(andc1c) ，1知数列 a nd是以 c 为公比的等比
4、数列，c1and(a1cd)cn1c11将 a1b 代入并整理，得anbc ndb c n1dc1.将上述参数法类比到二阶线性递推数列an1panqa n 1 ,能得到什么结论？仿上，我们来探求数列an 1ta n的特征：不妨设 an 1ta ns(anta n 1 ) ，则 an 1(st )anstan1 ,stp令qst（ 1）若方程组有两组不同的实数解(s1 ,t1 ), ( s2 , t 2 ) ,则 an 1t1ans1 (ant1an 1) ,an 1t2 ans2 (ant 2an 1 ) ,即 an1t1an、 an 1t 2 an分别是公比为 s1 、 s2 的等比数列，由
5、等比数列性质可得an 1t1an(a2t1a1 ) s1n1,an 1t 2 an(a2t21 a1 ) s2 n 1 , t1t 2 , 由上两式消去 an1 可得精品资料欢迎下载ana2t1a1 .s1na2t2 a1 .s2 n .s1 t1t 2s2 t1t2（ 2）若方程组有两组相等的解s1s2 ，易证此时 t1s1 ，则t1t 2an 1t1 ans1 ant1an 1s12 (an 1t1an 2 ) s1n 1 (a2 t1a1 ) ，an 1ana2s1a1,即an是等差数列，s1 n 1s1 ns12s1n由等差数列性质可知ana1n1 . a2s1a1 ，s1ns1s12
6、所以 ana1a 2s1 a 1a 2s1 a1 .n s n s1s2s2111（限于学生知识水平，若方程组有一对共轭虚根的情况略）这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项， 若将方程组消去t 即得 s2psq0 ，显然 s1 、s2 就是方程 x 2px q的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列an1panqa n 1 的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为 an1panqan 1, 其特征方程为x 2pxq即 x 2pxq0 ，1、 若方程有两相异根s1 、 s2 ，则 anc s nc2s n ；11
7、22、 若方程有两等根s1s2 ，则 an(c1nc2 ) s1n .其中 c1 、 c2 可由初始条件确定。这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令pq1，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！将上述方法继续类比到分式线性递推数列an1aanb （ a,b, c, dR, c0 ），看cand看又会有什么发现？仿照前面方法，等式两边同加参数t ，精品资料欢迎下载bdtaanbanct则 an 1 t( a ct )acantc andd令 tbdt ，即 ct 2(a d )t b 0act记此方程的两根为t1 ,t 2 ，（ 1）若 t1 t 2 ，将
8、 t1 , t 2 分别代入式可得ant1an 1t1(act1 ) c andant2an 1t 2(act 2 ) c anda以上两式相除得an 1t1a ct1ant1，t 2a ct 2ant2n 1于是得到ant1为等比数列，其公比为act1 ，ant2act2数列 an的通项 an可由 ant1a1t1( act1 ) n 1 求得；ant 2a1t2a ct 2（ 2）若 t1 t 2 ，将 tt 1 代入式可得 an 1t1( aant1,ct1 )dc an考虑到上式结构特点，两边取倒数得11c(ant1 ) d ct1an 1t1a ct1ant1由于 t 1t2 时方程
9、的两根满足2t1add ct1， a ct1c于是式可变形为1c1a n 1 t1act1ant1精品资料欢迎下载1为等差数列，其公差为c，ant1act1数列 an11(n1)c的通项 an 可由t1a1a ct1求得ant1这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列an 1aanb （ a, b,c,d R, c0）cand的特征方程为xaxb ，即 cx 2(da)x b0 ，此特征方程的两根恰好是方程两cxd根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列a anbR,c 0 ），其特征方程为 xaxban 1
10、（ a, b, c, dcx，c andd即 cx2 (d a)x b 0 ，1、若方程有两相异根s1 、 s2 ，则ans1成等比数列，其公比为acs1；ans2acs22、若方程有两等根 s1s2 ，则1成等差数列，其公差为c.ans1a cs1值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，有兴趣的读者不妨一试。三、应用举例例 1、已知数列 a11, a25, 且 an 14an4an 1 (n2) ，求通项公式 an 。解设 an 1
11、ta ns( anta n 1 ) ， an 1( s t)anstan 1st 4s2令4可得2stt于是 an 12an2( an2an 1 )22 ( an 12an 2 )2n 1 ( a22a1 )3 2n 1 ，精品资料欢迎下载 an 1an3 ，即an是以 a11 为首项、3 为公差的等差数列，2n 12n42n2124 an1(n 1)3 ，从而 an(3n1) 2 n 2 .2n24例 2、设数列an满足 a12, an 15an42an, 求 an .7解： 对等式两端同加参数t 得7t45an42t5 an7t4anan 1tt2t 52t5 ,2an72an72an77
12、t41， 2 ，代入上式令 t2t，解之得 t5得 an 1 1 3an1 , an 12 9an2 ,2an72an7两式相除得 an111an1 ,an 123an2即 an 1是首项为 a111 ,公比为 1 的等比数列，an2a1243 an1 131 n ,从而 an4 3n 12 an244 3n 11四、收获与反思随着普通高中课程改革的逐步深入，要求广大教师在新课标理念指导下，大胆实施课堂教学改革。如何创造性地处理教学内容，无疑是一项十分现实的课题。由于数学知识呈现方式的多样性、解决问题策略的多选择性和数学思维的开放性，教师既要加强学习，不断充实自己的知识结构，做到高屋建瓴而游刃有余，还要不断提高驾驭教材的能力， “用好教材” 、“超越教材”而不拘泥于教材，根据学生的实际情况，因材施教，使学生知其然，更知其所以然，帮助学生寻找适合自己的学习方式， “授人以鱼不如授之以渔” ，在培养学生学习兴趣的同时激发学生的思维，时时体味“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的美妙意境。