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1、浙江大学2005年高等代数试题由mylinco整理，浙江工业大学，数学与应用数学05011、（10分）设整系数多项式的次数是或（其中为正整数）。证明：如果有个不同的整数使取值或，则在有理数域上不可约。（提示：用反证法）2、（10分）设是阶矩阵，是一个数。（1）求证：。（2）进一步，再证：。（其中表示的伴随矩阵）3、（10分）设是某个齐次线性方程组的一个基础解系，是该齐次方程组的个线性无关的解。证明：若，则在中必可取出个向量使与共同构成该齐次方程组的一个基础解系。4、（10分）设是矩阵，证明：秩的充分必要条件是存在两个列满秩的矩阵和使。5、（20分）设为线性空间的两个线性变换，若有的可逆线性变换
2、使，则称与相似。证明：与相似的充要条件是：存在可逆线性变换，使对中任一向量，由可得。6、（20分）若把所有阶实对称矩阵按合同关系分类，问共有几类（说明原因）？每一类最简单的矩阵是什么？7、（20分）（1）在中內积定义为，（其中），令，表示向量的长度，说明是什么形状的图形，并画出草图。（2）令。证明关于矩阵的加法和数乘成为上的线性空间，并求出的维数，给出的一组基。8、（20分）已知3维线性空间有两组基： （） ，（） 。（1） 写出（）到（）的过度矩阵;（2） 若向量 在基（）下坐标为 ，写出 在基（）下的坐标；（3） 定义线性变换为： 分别写出关于基（），（）的矩阵；（4）求。9、（20分）对复域上方阵，证明：（1）存在正整数使当且仅当的特征值均为零；（2）若存在正整数使，证明：。 （其中表示与同阶的单位矩阵）10、（10分）设是维欧氏空间的一个映射，若它不改变向量间的距离且将零向量变为零向量，则它是一个正交变换。