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1、线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法 乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值 概念 ,计算与应用相似对角化 判断与实现附录一内积 正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三
2、两个线性方程组的解集的关系附录四06,07 年考题第一讲基本概念1线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1,a21x1+a22x2+ +a2nxn=b2, ax +ax + +a x =b ,m1 1m2 2mn nm其中未知数的个数n 和方程式的个数m不必相等 .线性方程组的解是一个n 维向量 (k ,k, ,kn)( 称为解向量 ), 它满足 : 当每个方程中的12未知数 xi 都用 ki 替代时都成为等式 .线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解 ,无穷多解 .对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2) 求解 , 特别是在
3、有无穷多接时求通解 .b1=b2= =bm=0 的线性方程组称为齐次线性方程组 .n 维零向量总是齐次线性方程组的解, 称为零解 . 因此齐次线性方程组解的情况只有两种: 唯一解 ( 即只要零解 ) 和无穷多解 ( 即有非零解 ).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的 导出齐次线性方程组，简称 导出组 .2. 矩阵和向量(1) 基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由 m n 个数排列成的一个m行 n 列的表格 , 两边界以圆括号或方括号 , 就成为一个 m n型矩阵 . 例如2-101111102254-29333-18是一个
4、45矩阵 . 对于上面的线性方程组, 称矩阵a11 a 12 a 1na11 a 12 a 1nb1A= a 21 a 22 a 2n 和 ( A| )= a 21 a 22 a 2nb2am1am2 amnam1am2 amnbm为其 系数矩阵 和增广矩阵 .增广矩阵体现了方程组的全部信息, 而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息 .一个矩阵中的数称为它的元素, 位于第 i 行第 j 列的数称为 (i,j)位元素 .元素全为 0的矩阵称为 零矩阵 , 通常就记作 0.两个矩阵 A 和 B 相等 ( 记作 A=B),是指它的行数相等, 列数也相等 ( 即它们的类型相同 ),并且对应的元素都相
5、等 .由 n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量 , 称这些数为它的 分量 .书写中可用矩阵的形式来表示向量, 例如分量依次是a ,a, ,an的向量可表示成12a1(a 1,a 2,an) 或a2,ann 1请注意 , 作为向量它们并没有区别 , 但是作为矩阵矩阵 ). 习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(, 它们不一样 ( 左边是 1 n 矩阵 , 右边是请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个 m n 的矩阵的每一行是一个n 维向量 , 称为它的行向量;每一列是一个m维向量 ,称为它的列向量. 常常用矩阵的列向量组来写出矩阵, 例如当矩阵A 的列向量组为1,2,n 时
6、 ( 它们都是表示为列的形式!) 可记 A=(1,2,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定, 如元素全为0 的向量称为 零向量 , 通常也记作0. 两个向量和 相等 ( 记作= ), 是指它的维数相等, 并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的, 下面以矩阵为例来说明.加 ( 减 ) 法 : 两个 m n 的矩阵 A 和 B 可以相加 ( 减 ), 得到的和 ( 差 ) 仍是 m n 矩阵 , 记作 A+B ( A- B), 法则为对应元素相加 ( 减 ).数乘 : 一个 m n 的矩阵 A 与一个数 c 可以相乘 , 乘积仍为 m n 的矩阵 , 记作 cA,
7、 法则为 A 的每个元素乘 c.这两种运算统称为线性运算, 它们满足以下规律: 加法交换律 :A+B=B+A. 加法结合律 : ( A+B)+ C=A+( B+C). 加乘分配律 : c( A+B)=c A+c B.(c+d) A=cA+dA. 数乘结合律 : c(d) A=(cd) A. c A=0c=0或 A=0.T转置 : 把一个 m n 的矩阵 A 行和列互换 , 得到的 n m的矩阵称为A的转置 , 记作 A ( 或 A ). ( AT) T= A. ( A+B) T=AT+BT. (c A) T=cAT.转置是矩阵所特有的运算 , 如把转置的符号用在向量上 , 就意味着把这个向量看
8、作矩阵了 . 当 是列向量时,T 表示行向量, 当 是行向量时 ,T表示列向量 .向量组的线性组合:设 1,2, ,s 是一组 n 维向量 , c1,c 2, ,c s 是一组数 , 则称c11+c+ +cs2 2s为 1,2,s 的 ( 以 c1,c 2, ,c s 为系数的 ) 线性组合 .n 维向量组的线性组合也是n 维向量 .(3)n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵, 行列数都为把 n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵 .对角线 .( 其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的 n 阶矩阵 , 它们都是考试大纲中要求掌握的 .对角矩
9、阵 :对角线外的的元素都为0的 n 阶矩阵 .单位矩阵 :对角线上的的元素都为1的对角矩阵 , 记作 E( 或 I ).数量矩阵 :对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵 , 它就是 cE.上三角矩阵 : 对角线下的的元素都为 0 的 n 阶矩阵 . 下三角矩阵 : 对角线上的的元素都为 0 的 n 阶矩阵 . T的 n 阶矩阵 .T总等于 0 的 n 阶矩阵 .反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换 : 交换两行的位置. 用一个非0 的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上.( 称这类变换为倍加变换类似地 ,矩阵还有三种
10、初等列变换 , 大家可以模仿着写出它们换与初等列变换统称初等变换 .), 这里省略了.初等行变阶梯形矩阵 : 一个矩阵称为阶梯形矩阵, 如果满足 如果它有零行 , 则都出现在下面. 如果它有非零行, 则每个非零行的第一个非:0 元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0 元素所在的位置称为台角 .简单阶梯形矩阵: 是特殊的阶梯形矩阵台角位置的元素为1.并且其正上方的元素都为0., 特点为:每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵数的各类计算题中频繁运用的基本运算, 必须十分熟练.请注意 : 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的台角位
11、置是确定的.2.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的. 这种运算是在线性代 , 但是其非零行数和4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法: 用同解变换 把方程组化为阶梯形方程组( 即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组). 线性方程组的同解变换有三种 : 交换两个方程的上下位置 . 用一个非0 的常数乘某个方程. 把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法, 用增广矩阵或系数矩阵来进行, 称为 矩阵消元法.对非齐次线性方程组步骤如下:(1) 写出方程组的增广矩阵 ( A| ), 用初等行变换把它
12、化为阶梯形矩阵( B| ).(2) 用 ( B| ) 判别解的情况 :如果最下面的非零行为有解时看非零行数 r(r ( 推论 : 当方程的个数(0,0,0|d),则无解 , 否则有解 .不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；m<n时 , 不可能唯一解.)r<n时无穷多解.(3) 有唯一解时求解的 初等变换法 :去掉 ( B| ) 的零行 , 得到一个 n× (n+1) 矩阵 ( B0| 0), 并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E| ), 则 就是解 .对齐次线性方程组:(1) 写出方程组的系数矩阵 A, 用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2) 用 B 判别解的情
13、况 : 非零行数 r=n 时只有零解； r<n 时有非零解 ( 求解方法在第五章讲). ( 推论 : 当方程的个数 m<n时, 有非零解 .)讨论题1. 设 A 是 n 阶矩阵 , 则(A) A 是上三角矩阵A是阶梯形矩阵 .(B) A 是上三角矩阵A是阶梯形矩阵 .(C) A 是上三角矩阵A 是阶梯形矩阵 .(D) A 是上三角矩阵与A 是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2. 下列命题中哪几个成立 ?(1)如果 A是阶梯形矩阵 , 则 A 去掉任何一行还是是阶梯形矩阵 .(2)如果 A是阶梯形矩阵 , 则 A 去掉任何一列还是是阶梯形矩阵 .(3) 如果 ( A| B) 是阶梯形矩
14、阵 , 则 A也是阶梯形矩阵 .(4) 如果 ( A| B) 是阶梯形矩阵 , 则 B也是阶梯形矩阵 .(5)如果A是阶梯形矩阵, 则 A和 B 都是阶梯形矩阵.B第二讲 行列式一 . 概念复习1. 形式和意义形式 : 用 n2 个数排列成的一个n 行 n 列的表格 , 两边界以竖线 , 就成为一个 n 阶行列式 :a 11 a 12 a 1na21a 22 a 2n .an1 a n2 a nn如果行列式的列向量组为,2, ,n, 则此行列式可表示为 |1, ,|.12n意义 : 是一个算式 , 把这 n2 个元素按照一定的法则进行运算, 得到的数值称为这个行列式的值 .请注意行列式和矩阵在
15、形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时, 就可以在它们之间写等号 ! (不必形式一样 , 甚至阶数可不同.)每个 n 阶矩阵A对应一个 n 阶行列式 , 记作 | |.A行列式这一讲的的核心问题是值的计算, 以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义 ( 完全展开式 )2阶和 3阶行列式的计算公式 :a 11a 12a21a 22= a 11a22-a 12a21 .11a12a13aa21a 22a 23= a 11a22a33 + a 12a23 a31 + a 13a21a32-a 13a22a31- a 11a23a32-a 12a21a33.a31a 32a 33一般地 , 一
16、个 n 阶行列式a 11 a 12 a 1na21a 22 a 2nan1a n2 a nn的值是许多项的代数和, 每一项都是取自不同行, 不同列的 n 个元素的乘积 , 其一般形式为 :a1 j a2 j2anj,1n这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列, 它们的列标 j 1j 2 j n 构成 1,2, ,n 的一个全排列 ( 称为一个 n 元排列 ), 共有 n!个 n 元排列 , 每个 n 元排列对应一项 , 因此共有 n! 个项 .所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1 或-1. 规定 (j1 j 2 j n) 为全排列j 1j 2 j n 的逆序数( 意义见下面 ),则项 a
17、1 j1 a2 j2anjn所乘的是 ( 1) ( j1 j 2jn ) .全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算 : 标出每个数右面比它小的数的个数, 它们的和就是逆序数 . 例如求436512 的逆序数 :323200436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 a 1na21 a 22 a 2n =( 1) ( j1 j2 j n ) a1 j1 a2 j 2anj n .j1 j2j n an1 a n2 a nn这里表示对所有 n 元排列求和 . 称此式为 n 阶行列式的 完全展开式
18、.j1 j2jn用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大. 只在有大量元素为0, 使得只有少数项不为0 时 , 才可能用它作行列式的计算. 例如对角行列式 , 上 ( 下 ) 三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积 , 因为其它项都为0.2. 化零降阶法把 n 阶行列式的第i 行和第 j 列划去后所得到的n-1 阶行列式称为 (i,j)位元素 aij 的余子式 , 记作 Mij . 称 Aij =(-1) i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式 .定理 ( 对某一行或列的展开) 行列式的值等于该行( 列 ) 的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换( 倍加变换 ) 不改变
19、行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0, 再用定理 . 于是化为计算一个低1 阶的行列式 .化零降阶法是实际计算行列式的主要方法, 因此应该熟练掌握.3. 其它性质行列式还有以下性质 :把行列式转置值不变, 即| T|=| .AA某一行 ( 列 ) 的公因子可提出 .n|.于是 , |c |=c |AA对一行或一列可分解, 即如果某个行 ( 列 ) 向量则原行列式等于两个行列式之和, 这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为 或 所得到的行列式 . 例如| ,1+ 2|=|,1|+|,2|. 把两个行 ( 列) 向量交换 ,行列式的值变号. 如果一个行
20、( 列 ) 向量是另一个行( 列 ) 向量的倍数 , 则行列式的值为0. 某一行 ( 列 ) 的各元素与另一行( 列 ) 的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 如果 A与B都是方阵 (不必同阶 ), 则A * =A O=|A|B|.OB*B范德蒙行列式：形如111a1a2a32a2a2a123 1 a an2nan-in-in-in-i1a 2a 3 a n的行列式 ( 或其转置 ). 它由 a1,a 2 ,a 3, ,a n 所决定 , 它的值等于(a j ai ).i j因此范德蒙行列式不等于 0a ,a,a, ,an两两不同 .123对于元素有规律的行列式( 包括 n阶行列式 ), 常常
21、可利用性质简化计算, 例如直接化为三角行列式等 .4. 克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数 n ( 即系数矩阵为 n 阶矩阵的情形 . 此时 , 如果它的系数矩阵的行列式的值不等于 0, 则方程组有唯一解 , 这个解为)(D1/D, D2/D,D n/D),这里 D是系数行列式的值, Di 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值 .说明与改进 :按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值. 因此法则的主要意义在理论上, 用在对解的唯一性的判断, 而在这方面法则不够.法则的改进 : 系数行列式不等于0 是唯一解的充分必要条件 .实际上求解可用初
22、等变换法: 对增广矩阵 ( A|) 作初等行变换, 使得 A 变为单位矩阵 :(A|)(E|),就是解 .用在齐次方程组上: 如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵, 则它只有零解的充分必要条件是|A|0.二 .典型例题1. 利用性质计算元素有规律的行列式例 1 2 a a a a 1+x 111 1+a 1 11a2a a a1 1+x 112 2+a 2 2a a 2 a a .11 1+x 1 .3 3 3+a 3 .aaa 2 a111 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 12345 2345134512.4512351234例 31+x111111+x21 1.111+x31
23、1111+x4例 4a 0 b c 0 a c b . b c a 0c b 0 a例 5 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 00-1 1-a a0. (96四 )00 -1 1-aa0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例 6x3-3 1 -3 2x+2多项式 f(x)= -7 5 -2x 1，求 f(x)的次数和最高次项的系数 .X+3 -1 33x2-29 x3 6-6例 7 求 x-3 a -1 4f(x)=5 x-802的 x4 和 x3 的系数 .0 b x+1 12 2 1 x例 8设4阶矩阵 A=(,1,2,3),B=(,1,2,3),|A| =2,|B|
24、=3,求|A+B|.例 9a b c d已知行列式 x -1 -y z+1的代数余子式 A =-9,A12=3,A13=-1,A =3, 求 x,y,z.11141 -z x+3yy-2 x+1 0z+3例 10求行列式3040的第四行各元素的余子式的和.(01)22220-7005 3-2 23. 几个 n 阶行列式两类爪形行列式及其值 :例 11aa2a3 an-1an1b1 c 20 00ni 1b1bi 1ai ci 1cn .证明 0 bc0 0 =23( 1)i 10 0 0bn-1 cn提示 :只用对第1 行展开 (M都可直接求出 ).1i例 12a0a 1 a 2 a n-1a
25、 nb1c10 0 0nn证明 b 2 0 c 2 0 0 =acc ca b cc .0i1i 1i i i 1ni1i 1bn 0cn提示 :只用对第1 行展开 (M1i都可直接求出 ).另一个常见的n 阶行列式 :例13 证明a+b b0 00a a+b b 00nn 1n 1 =an ibiab( 当 a b 时 ).i 0ab000 a+b b000a a+b提示 : 把第 j 列 ( 行 ) 的 (-1) j-1倍加到第1 列 ( 行 ) 上 (j=2, ,n), 再对第 1 列 ( 行 ) 展开 .4. 关于克莱姆法则的题例 14设有方程组x1+x2+x3=a+b+c,ax1+b
26、x2+cx 3=a2+b2+c2,bcx1+acx 2+abx 3=3abc.(1) 证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等 .(2) 在此情况求解 .参考答案433例 1 (2+4a)(2-a). x (x+4). a (a+10).例 2 1875.例 3 x 1x2 x3x4+x2x3x4+x 1x3x4+x1x2x4+x1x2x3. 例 4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例 5 1-a+a 2-a 3+a4-a 5. 例 6 9,-6 例 7 1,-10.例840.例 9 x=0,y=3,z=-1. 例 10 -28.例 14 x 1=a,
27、x 2=b,x 3=c.第三讲矩阵一概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义 2.1当矩阵 A 的列数和B 的行数相等时 , 和 A 和 B 可以相乘 , 乘积记作 AB. AB 的行数和 A 相等 , 列数和 B相等 . AB 的 (i,j)位元素等于A 的第 i 个行向量和B 的第 j 个列向量( 维数相同 ) 对应分量乘积之和.设a11 a 12 a 1nb11 b 12 b 1sc11 c12 c 1sA=a21 a 22 a 2nB= b 21 b 22 b 2sC=AB=c21 c 22 c 2sam1 a m2 a mn ,bn1 b n2 b ns ,cm1 c m2 c ms
28、,则cij =ai1 b1j +ai2 b2j + +ain bnj .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: 矩阵乘法有条件. 矩阵乘法无交换律. 矩阵乘法无消去律 , 即一般地由 AB=0 推不出 A=0 或 B=0.由 AB=AC和 A 0 推不出 B=C.( 无左消去律 ) 由 BA=CA和 A 0 推不出 B=C. ( 无右消去律 )请注意不要犯一种常见的错误: 把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则: 加乘分配律A ( B+C)= AB+AC, ( A+B) C=AC+BC. 数乘性质(cA) B=c( AB). 结合律(AB) C= A ( BC).TTT
29、(AB)=BA.2. n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个 n 阶矩阵 A 和 B都可以相乘 , 乘积 AB仍是 n 阶矩阵 . 并且有行列式性质:| AB|=| A| B|.如果= ,则说A和B可交换 .AB BA方幂设 k 是正整数 , n阶矩阵 A 的 k 次方幂 Ak 即 k 个 A 的连乘积 . 规定 A 0 =E .显然 A 的任何两个方幂都是可交换的, 并且方幂运算符合指数法则 : A k A h = A k+h . ( Ak ) h= A kh .但是一般地 ( AB) k 和 A k Bk 不一定相等 !n 阶矩阵的多项式设 f(x)=a mxm+am-1xm-1+a1x+a0,
30、 对 n 阶矩阵 A 规定 f( A)=a mA m +am-1Am-1 + + a 1A +a0E.称为 A 的一个多项式 . 请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一般地 , 由于交换性的障碍, 小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立 . 但是如果公式中所出现的 n 阶矩阵互相都是乘法交换的 , 则乘法公式成立 . 例如当 A和 B可交换时 ,有:( A B) 2=A2 2AB+B2;A2- B2=( A+B)( A- B)=( A+B)( A- B).二项展开式成立 :(A B)C AB等等 .1前面两式成立还是A 和 B可交换的充分必要条件 .同一个 n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的.一个 n 阶矩阵的多项式可以因式分解 .3.分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法. 对两个可以相乘的矩阵A和 B, 可以先用纵横线把它们切割成小矩阵 ( 一切 A 的纵向切割和 B 的横向切割一致 !), 再用它们来作乘法.(1) 两种常见的矩阵乘法的分块法则A11 AA21 A12 B11 B22B21 B12 = A11B11+A12B21 A 11B12+A12B2222 A21B11+A22B21 A 21 B12+A22B22要求 Aij