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1、1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题（本题共5小题，每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）(1)3x2 5 2 IimSin -X 5x 3X已知y3x 23x 22 dyX arctan X ,贝U dx级数(In 3)n2n的和为 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵 A*的秩为设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5,则 X的数学期望的置信度近似等于 0.95的置信区间为二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）(1)设 f X0,
2、则fX在点X0,X 0,（A）极限不存在（B）（C）连续但不可导（D）极限存在但不连续可导设f X为连续函数，且F XInX1 f t dt,则F X等于XZAX 11 111(A)fIn Xf2(B)f In XfXXXXX1(C) 1fIn X丄f丄2 I(D)f In Xf 1XXXX（3） n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的(（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件 假设事件A和B满足P（BA） 1,则（）(A) A是必然事件(B)P(BA) 0.(D)(C) A B(5)设随机变量X的密度函数为(x),且(x)(x). F
3、(X)是X的分布函数，则对任意实数a,有()(A) F( a)a1 O (x)dx.(B)F(a)1 a(x)dx2 0(C) F ( a)F(a)(D)F(a)2F(a) 1三、(本题满分5分)x,y是由方程ZyX XeZ y X0所确定的二元函数，求dz.平行于y轴的动直线MN与曲线yf(x)和y ex 1分别相交于点R和F2;四、(本题满分7分)已知IimXXX aX aa4x e dx,求常数a的值.五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为C aq2 bq c,需求函数为q (d p),其中C为成本，q为需求量(即产量),P为单价，a,b,c,d,e都是正的常数,且d b,求:(1)
4、利润最大时的产量及最大利润；(2) 需求对价格的弹性；(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)满足条件f(0)0和0 f(x) ex 1 ;假设:(1)函数y f (x)(0 X 曲线y f(x),直线MN与X轴所围封闭图形的面积 S恒等于线段RR2的长度.求函数y f (x)的表达式.七、(本题满分6分)假设函数f(x)在0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0, f (0)与B(1,f(1)的直线与曲线y f (X)相交于点C(CI f (c),其中0 C 1.证明：在(0,1)内至少存在一点，使f ( )0 .八、(本题满分10分)k为何值时，线性方程组x
5、1 X2kx34,x1 kx2 x3k1 2XiX2 2X3有惟一解，无解,有无穷多组解？在有解情况下,求出其全部解九、(本题满分9分) 设二次型2 2x1x22X32 x1x22 X2X32x1X3、.、22TT经正交变换X PY化成f y2 2y3 ,其中X (X1, X2,X3)和Y (y1,y2,y3)是三维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数，.十、(本题满分8分)设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为f(x)3 28x,0x2,0,其他.(1)已知事件AXa和BY a独立，且P AUB.求常数a.41求2的数学期望X求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q .
6、、(本题满分8分)假设大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N t服从参数为 t的泊松分1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.) (1)【答案】65【解析】IimSin 2X 5 3 X2limX3x2 55x2 3x.2 Sin lim X X 2极限.2 SinIimXX2XItXmHXIim洛X6X O3(2)【答案】Q4【解析】令g X322,则有g 032由复合函数求导法则知1, g X1212 2 ,则 g 03,3 2(3)【答案】dyd 0g 0 g 0 3f3arcta n122 ln3【解析】利用几何级数求和公
7、式1 X(X1),令 XIn 32所以3x25236IimSin2 1X 53X55(In 3)n 12n 02n I 也 2 In 32(4)【答案】O【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义由于r A 2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式 Aj 0,故A* 0.所以秩r A*0.若熟悉伴随矩阵A秩的关系式*r An, r A1, r A0, r An,n 1n 1易知r A0.注：按定义AHA21LAn1*AI2A12A22LAn2MMMAlnA2nLAnn伴随矩阵是n阶矩阵，它的元素是行列式 A的代数余子式，是n 1阶子式【答案】(4.804,5.196)【解析】此题是求
8、一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间，可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间因X的方差为 1 ,设X的期望为 ,则U X : N(0,1). A/n当置信度为10.95,时 0.05,有正态分布表知u_u°.0251.96.因此用公式：2I (X -_ U , X U ).、：？n 2'、n 2将X 5,1,n 100,u_ 1.96代入上式，得到所求的置信区间为I (4.804,5.196).2(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(C)二、选择题(1)【答案】【解析】利用函数连续定义判定由于当X0时，Sing为有界变量，为无穷小量，则Iim f
9、X Iim XX 0X 01sin 20,且 f 00.XX0处连续.故(A)(B)又因为limX 0IimX 0、X Sin $X11lim -Sin飞不存在，所以f XX 0 JXX【相关知识点】函数连续定义：如果函数在在X0处不可导，所以选(C).X0 处连续,则有 lim f (x) Iim f (x) f (x°).XX。X Xq(2)【答案】(A)【解析】FX f In x 1 f 1 f lnX 丄 f -XXXXXX【相关知识点】积分上限函数的求导公式:d dxXf t dt fXXXfXX .【答案】(B)【解析】A :A有n个线性无关的特征向量.由于当特征值12时
10、，特征向量1， 2线性无关.从而知，当A有n个不同特征值时矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么矩阵A可以相似对角化因为当A的特征值有重根时，矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其 几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件，故应选(B).【答案】(D)【解析】P(B A) 1的充分必要条件是 P(AB) 1,即P(AB) P(A).显然四个选项中P(A)当A B时，AB A,可得P(AB) P(A).因此A B是P(B A) 1的充分条件因此 选(D).【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识，在计算过程中又用到定积分的一些知识由积分的性质，换元积分，并改变
11、积分上下限有aX t aF ( a) (x)dx(t)dt (x)dx，a随机变量X的密度函数为(X)，则 (x)dx 1，又由于(X) (X)，所以0(x)dx0 (x)dx1,(偶函数积分的性质2)a0a1即(x)dx(x)dxa0(x)dxa(x)dx.2aa1a于是 F( a)(x)dxa(x)dx0 (x)dx 0 (x)dx20 (x)dx故应选(B).三、(本题满分5分)【解析】方法-：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分，得dz dydxZyXe dxXeZ y X dz dy dx0.整理后得ZyX1 XedzZ y1 XeXZyXZedx 1 Xey Xdy.ZyX Z
12、yX1 Xe eI I由此，得 dzZY-Xdx dy .1 Xe方法二：应先求出函数对X） yZXZy解之得ZXZy故dz ZXdX Zydy的偏导数，将Zy XZXe1Z yXZy X1eXeZX1ZXey XZy1 0,1X1eZ yX1 :Zy X5Ke1.1X1eZ yX1Zy Xdxdy .Xey X 0两边分别对X） y求偏导,0,四、（本题满分7分）mHXmHXmHX2adx X 2eXdxX2eimbmHXimmHXX2e2X2a2e2a22xX2ed2Xb2e2imbdx X 2e2X4a2e a 2b2be22aa2e a 22e2a2e2a22a0,所以a 0或a 1.
13、2a 2a2e ）得a2a2e 2a 2ae2a五、（本题满分9分）【解析】（1）利润函数为L PqC (d eq)q对q求导并令赛0'得 (dd bb) 2(e a)q 0,得q 冇润的最大值点2(ea)0,所以，当q时为利润函数的极大值点，根据题意也是利2(e a),所以LmaX(d b)24(e a)2 2(aq bq C) (d b)q (e a)q C,eq deq由 1,得qd2e六、(本题满分8分)【解析】由题设可得示意图如右设R(x, f (X)I P2(x,exXO f(t)dtex 1 f (x).两端求导，得 f (x) ex f (x),即 f (x) f (x
14、)由一阶线性非齐次微分方程求解公式，得p(x)dxP (x) dxf(x) e ( q(x)e dx C)dx X dxXXXe ( e e dx C) ( e e dx C)eCeXX e .e .Xx e ).1由初始条件f(0)0,得C -.因此,所求函数为2f(x)21/ X 1(e【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y p(x)y q(x)的通解公式为：P(X) dxP (X) dxy e ( q(x)e dx C),其中C为吊数.七、(本题满分6分)【解析】因为f(x)分别在0, c和c,1上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在1(0,c), 2(C,1),使得f(1) f-f0),
15、f(2)C 0f(1) f(c)1 C11 因为q(p)- (dP),所以q (P)-,故需求对价格的弹性为ee由于点C在弦AB 上，故有f (C)f(0)f(1) f(c)f(1)O(O) f(1) f(0)，C01 C10从而f ( 1) f ( 2)f (1)f(0).这表明f (x)在区间1, 2上满足罗尔定理的条件，于是存在(1, 2)(0,1)，使得f ( ) 0.八、(本题满分10分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换，第三行互换，再第二行乘以(1)当 k第一行和第三行互换，再第一行分别乘以 1 、 1加到第二行和第三行上，再第二行和11kM411 2M4A1k1Mk21 k
16、 1Mk2112M411 kM4112M4112M40k 13M k2 402k 2M 802k2M80 k13M k24112M402k2M800(1k)(4 k)Mk(k 4)2加到第三行上，有4时，r(A)r(A) 3,方程组有唯一解，即k2 2k k2 2k 42kX1，X2，X3k 1k 1k 1 当k 1时，r(A) 3，r(A)2方程组无解.112M4103M0当k 4时，有A 022M8011M4000M0000M0因为r(A) r(A) 23,方程组有无穷多解.取X3为自由变量，得方程组的特解为(0,4,0)T.又导出组的基础解系为（3, 1,1）t,所以方程组的通解为k ,
17、其中k为任意常数【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：n矩阵，线性方程组 AX b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAM)的秩，即r（A） r（A）.（或者说，b可由A的列向量I)2,L , n线表出，亦b不能由A的列向量2,L , n线表出等同于1, 2丄,n 与 1 , 2 ,L ,n, b是等价向量组）设A是mn矩阵,线性方程组AX b,则（1）有唯一解r(A) r(A) n.（2）有无穷多解r(A) r(A) n.（3）无解r(A) 1r(A).九、（本题满分【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为,B由于P是正交矩阵，有P 1APB,即知矩阵A的特征值是0,1,2.
18、那么有【相关知识点】 二次型的定义:次的多项式）称为n元二次型，令X其中A是对称矩阵 AT2 0,0.0.含有n个变量X1,X2,L , Xn的二次齐次多项式（即每项都是二X1,X2,L ,XnX1,X2 ,L , Xn T , Af X1,X2 ,LA ,称A为二次型najxxj,其中 aj ajJ 1aIJ,Xn,则二次型可用矩阵乘法表示为xt Ax,f X1,X2,L ,Xn 的矩阵.十、（本题满分8分）【解析】（1）依题意，因为随机变量 X和Y同分布，则1PA PXa PYa PB又事件A X a和B独立,故PABPAPB估计广义加法公式:P AUB P2P A解以P(A)为未知量的方
19、程2P0.得 P(A)234.因P(A)-不合题2再依题设条件可知12 P(A)PX af (x)dx23x2dx8i(8)再解以a为未知量的方程：34.(2)直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望dx2A 32dxx2 823dx0 8卜一、(本题满分8分)【解析】本题的关键在于理解随机变量的意义，事件Nk表示设备在任何长为t的时间内发生k次故障，其概率为PN tk屮e t(k0,1,2L ).由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当t 0时，Ft P T t 0;当 t 0 时,事件T t与T t是互逆事件，并且T t表示在长为t的时间内没有发生故障，它等价于事件Nt 0.(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量P T t 0;0时,事件与Nt 0等价.于是有因此 Ft 1 P N t 01 e计算得知T服从参数为(2)由于指数分布具有“无记忆性”的指数分布.,因此Q PT 16|T 8 P T 81P T 81 F (8) 1 (100,(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；