高一级求数列通项的八种方法.docx

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1、优秀学习资料欢迎下载高一级求数列通项的八种方法（* 为难度系数）一、 公式法 *1. 已知数列 an 满足 a12, anan 11(n1) ，求数列 an 的通项公式；2. 已知数列 an 满足 a12, 112 ，求数列an 的通项公式；an 1an3.已知数列 an 满足 a12, an3an 1 (n1) ，求数列 an 的通项公式；4. 已知数列 an 满足124且 an 2ana2N ），求数列an 的通项n 1（ na2， a公式；二、两式相减法*若已知数列的前n 项和 Sn 与 an 的关系，求数列an 的通项 an 可用公式anS1n1n=1 的情况，得到基本的分数。并Sn

2、Snn求解。此种类型，往往先求12且利用公式 anSnn1n 分类讨论，观察a1 是否满足通SnSn 1n求解时，要注意对2项 an ，不满足就分开写，但若能合写时一定要合并例：已知数列 an 的前n项和 s2n 23，求数列 an 的通项公式n1、（珠海市20XX届 高 三 上 学 期 期 末 ） 已 知 正 项 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且Snan ( an2) (nN* ) . （ 1）求 a1 的值及数列 an 的通项公式； an 2n 4优秀学习资料欢迎下载2、（江门市20XX 届高三上学期期末）设数列an 的前 n 项和为 Sn ， a11 ，且对任意正整数

3、n ，点 (an 1 , Sn ) 在直线 2xy20 上求数列an的通项公式；解：因为点(an 1 , Sn ) 在直线 2xy2 0 上，所以 2an 1 Sn20 1 分，当 n1时， 2anSn 120 2 分，两式相减得2an 12an SnSn 10 ，即 2an 12an an0 ， an 11 an 3 分2又当 n1 时， 2a2S12 2a2a12 0 ， a2112a1 4 分2所以 an是首项 a11 ，公比 q15 分，的等比数列2an 的通项公式为 an( 1 ) n 1 6 分2三 . 累 加 法 * ： 适 合 an 1anf (n) 型 的 递 推 数 列 。

4、 若 an 1anf (n) ( n 2) ， 则a2a1f (1)a3a2f (2)n两边分别相加得 an 1a1f (n)将式子列出后，k1an 1anf (n)基础题：1、已知数列 an 满足 an 1an2n1， a1 1 ，求数列 an 的通项公式。2、已知数列 an 满足 an 1an23n1， a13 ，求数列 an 的通项公式。3、设数列 an 满足 a12 ， an 1an3 22 n 1 ，求数列 an 的通项公式优秀学习资料欢迎下载中档题：1 (2008江西文、理)在数列an中，a12, an 1anln11，则an（A ）nA 2ln nB 2n1 ln nC 2n l

5、n nD 1nln n四 .累乘法 * ：适合an 1f (n)an 型的递推数列。若an 1f (n) ，则a2a3f (2)，an1f (n)ana1f (1)，a2anan 1n两边分别相乘得，a1f (k )a1k 1基础题：1、在数列an中， a112, ann 1 n 1an 1(n2) ，求数列 an 的通项公式。an 1n( n1)、 已知数列 a 满足 an 12( n 1)5nan， a13，求数列 a 的通项公式。2nn3、已知数列an 满足 a12， an 1nan ，求 an 。3n13n14、已知 a13 ， an 13n2 an (n 1) ，求 an 。优秀学习

6、资料欢迎下载五、待定系数法适用于 an 1qanf (n) 型的递推数列解题基本步骤：1、确定f (n)2、设等比数列an1 f (n) ，公比为3、列出关系式an 11 f (n1)2 an2 f ( n)4、比较系数求1 ， 25、解得数列an1 f (n) 的通项公式6、解得数列an 的通项公式为了方便同学们更好地掌握待定系数法求通项，以下再进行分类。类型一：常数型 * 。可转化为特殊数列 a n +k 的形式求解。一般地，形如 a n 1 =p a n +q（p 1， pq 0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设 a n 1 +k=p （ a n +k ）与原式比较系数可

7、得pkk=q，即 k=q，从而构造出等比数列 a n +k 。不用硬记公式，1p学会对应系数就行。1.数列 a n 满足 a 1 =1， 3an 1an70,求数列 a n 的通项公式。解：由3an 1an7 0 得 an11 an733设 a n 1k1 (ank) ，比较系数得kk7解得 k73334 an7 是以1为公比，以 a171 73为首项的等比数列43444 an73 ( 1) n 1an7 3 ( 1)n 14434432.（ 2006 ，重庆 ,文 ,14）在数列an中，若 a11,an12an3(n 1) ，则该数列的通项an _3.（ 2006. 福建 .理 ）已知数列a

8、n 满足 a11,an 12an1(nN * ).求数列an 的通项公式；优秀学习资料欢迎下载类型二、指数型*an 1pa nqn 对于这种类型，方法往往是两边同时除以该指数幂，至 于 除 以 多 少 ， 则 是 根 据 下 标 同 步 的 原 则 来 决 定 。（ 其 中p ， q均 为 常 数 ，( pq( p1)(q 1) 0) ）。（或 an 1pan rq n ,其中 p，q,r 均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除 以 q n1 ，得： an 1pan1 引入辅助数列bn （其qn 1qqnq中 bnan ），得： bn 1p bn1 再待 定系数法 解决。qnqq

9、1 已知数列an 满足 a11， an3n2an 1(n 2) ， 求 an 解：将 an3n2an 1两边同除3nan12an 1an12 an 1，得3n3n3 3n3n1设 bnan，则 bn 12 bn 1 令 bnt2 (bn 1 t )bn2 bn 1 1 t3n3333t3 条件可化成 bn 32 (bn 13)，数列 bn3是以 b1a138为首项，32382an33为公比的等比数列bn3n1因 bn,3()n3n ( 8 ( 2 )n 1333anbn 3n3)an3n 12n 2 33q n 1 （ p、q 为常数）时，可同除qn1 ，得点评： 递推式为 an 1panan

10、 1pan1，令 bnan从而化归为an 1pa nq （ p、q 为常数）型qn 1qqnqn1 、已知数列an 中， a15, an 11an(1) n 1 ，求 an 。6322、设数列 an的前 n 项的和 Sn4 a n12n12， n 1,2,3,求首项 a1 与通项 an ；333优秀学习资料欢迎下载类型三、一次函数、二次函数或者混合型*an 1pananb ( p1、0，a0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an 1x(n 1) y p(an xn y) ， 与 已 知 递 推 式 比 较 ， 解 出 x, y , 从 而 转 化 为anxny 是公比为 p

11、的等比数列。 而对于更普遍的 an 1qanf (n) 型的递推数列，都可以 设等比数列an1 f (n) ，列出关系式 an 1 1 f ( n1)2 an2 f (n)比较系数求1，2 ，解得数列an1 f (n) 的通项公式，再解得数列an的通项公式例 :设数列an ： a14, an3an 12n 1, (n 2) ，求 an .1、已知数列 an 满足 an 12an35n ， a16 ，求数列an 的通项公式。解：设 an 1 x 5n 12( anx5n )2. 已知数列 an 满足 an13an 52n4， a11，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1y3(

12、anx2ny)3、已知数列 an 满足 an 12an4 3n 1， a11，求数列an 的通项公式。优秀学习资料欢迎下载4、已知数列 an 满足 an 12an3n24n 5， a11，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2y(n1) z2(an xn2yn z)六、连续迭代型*形如 an 2pan 1qan （其中 p，q 均为常数）。先把原递推公式转化为 an 2 san 1t(an 1san )s tp其中 s， t 满足qst例、数列 an满足 a1 2,a25, an 2 3an 1 2 an =0，求数列 a n 的通项公式。分析：递推式an23an12an0

13、 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项 an 1 的系数分解成1 和 2，适当组合，可发现一个等比数列 anan 1 。解：由 an 23an 12an0得 an 2an 12(an 1an )0即an 2an 1）a152 32(an 1 an，且 a2 an1 an 是以 2 为公比， 3 为首项的等比数列 an 1an3 2 n 1利用累加法可得 an 1(an 1an ) (anan 1 )(a2a1 ) a1= 3 2n 13 2n 23 202= 3 (2n 12n 221) 2= 3 12n212= 3 2n1 an 3 2n 1 1优秀学习资料欢迎下载1、已知数

14、列 an 满足 an 25an 16an , a11,a22 ，求数列 an 的通项公式。2、（ 2006.福建 .文 .22）已知数列 a满足 a1 1,a2 3, an 2 3an 1 2an (n N * ).n（ I ）证明：数列 an 1 an 是等比数列；（ II ）求数列 an 的通项公式；七、幂迭代型 *形如 an 1panr( p 0, an0)型的递推形式解法 ：这种类型一般是等式两边取对数 后转化为an 1pan q ，再利用 待定系数法 求解。1、（东莞市 20XX 届高三上学期期末）设数列 anbn的各项都是正数，Sn 为数列an 的前 n 项和，且对任意 n N。都

15、有an22Snan , b1e , bn 1 bn2， cnan ln bn(e 是自然对数的底数，e=2.71828）(1)求数列 an、 bn 的通项公式；解：（ 1）因为 an0 ， an22Sn an ，当 n1时， a122S1a1 ，解得 a11； 1 分当 n2 时，有 an212Sn1an 1 ，2an21 2(SnSn 1)(anan 1 )anan 1 （ n2 ） .由- 得， an优秀学习资料欢迎下载而an0an an 1 1 n 2n 是等差数列， 且 ann.2，所以又因为bn 1 bn（），即数列 a且 bn0，取自然对数得 ln bn 12 ln bn ，由此可

16、知数列 ln bn 是以 ln b1ln e1为首项，以 2为公比的等比数列，所以ln bln b2n 12n 1 ，所以n1bne2n1.1、已知数列an 中， a11,an 11 an2 (a 0) ，求数列 an 的通项公式 .a2、（ 2006,山东 ,理 ,22）已知 a1 =2，点 (an,an+1 )在函数 f(x)=x2 +2x 的图象上， 其中 =1，2，3，。证明数列 lg(1+ an)是等比数列； （提示：注意代入后，右边进行配方。 ）八、压轴难点之分式型递推公式类型一： *an 1f (n)an解法：这种类型一般是等式两边取倒数 后换元 转g(n)an h(n)化为 a

17、n 1 panq 型求解。1：已知 anan 1, a11，求通项。1an23an 1 13n、（，江西理） 已知数列n满足： a1 3，且 an3nan1 （ n2， nN ）2 2006a2an1 n12求数列 an的通项公式；优秀学习资料欢迎下载解：将条件变为：1n1n1n为一个等比数列，其首项为an （1），因此 1an3an111 1，公比 1 ，从而 1 n 1，据此得an n3n（n 1）a1 33an3n3n13.（ 2011 广东理） 设 b0, 数列 an满足 a1 =b, annban 1( n2) ,an 1 2n2解 :(1)方法一 : 由 annba n 1可得 n

18、2n 11 ,an 12n 2anb an 1b当b时nn11则数列n是以11 为首项1为公差的等差数列nn从而an2.2 ,an 1, a12,an2an2an2当 b2时 , n1b2 ( n 11 ),2、an2ban 12b则数列 n1b是以 1212为首项 , 2 为公比的等比数列,an2a1bb(2 b)bn212( 2 ) n 121( 2 )n , annbn (2 b) ,anbb(2b)bbb2nb n2,(b2)综上 annbn (2b)0,b.2nb n( b2)练习1、已知数列 an 满足 a11, n2 时， an 1an2an 1an ，求通项公式。2、已知数列满

19、足a1 =1， an 1ananan 1 ，求 an（答： an1n2 ）两边同时除以式子右边的anan 1 ，得到等差数列）优秀学习资料欢迎下载类型二： *an 1panq （可以用不动点法求通项）ra nh1、不动点的定义：一般的，设f (x) 的定义域为 D , 若存在 x0D ，使 f ( x0 )x0 成立，则称 x0为 f ( x) 的不动点，或称( x0 , x0 ) 为 f ( x) 图像的不动点。2、不动点求通项解法：如果数列 an 满足下列条件：已知a1 的值且对于nN ，都有an 1pa nq（其中 p、q、r、h 均为常数，且phqr , r0, a1hra nh），那

20、么，可作特rpxq,当特征方程有且仅有一根x0 时 ,则1是等差数列 ;当特征方程有征方程 xhanx0rx两个相异的根x1 、 x2 时，则anx1是等比数列。anx2例 1已知数列an满足 a11,anan4通项公式 .1an,求 an3解 法 1特征方程 xx4，得 x1x22 . an 12an42 = an2.两x3an3an3边取倒数 ,有111.故11n11= n23n22 an2an2 a123.an 13解得 an76n3n.2例 2（ 2012 高考全国卷） 已知数列xn满足 x12, xn4xn3通项公式 .1xn，求 xn2解法 1特征方程为 t4t3,解得 t3或t1

21、 ,所以 xn 1 3xn3t2xn,2xn 15( xn1)xn 131xn3x1 3 2 3112,两式相除有xn 1.而1 2 1,所以有xn1 5 x n 1x13xn31n19 5n111,解得 xnxn1353 5n11练习1、已知数列 an 满足性质：对于 nN, an 1an 43, 求 an 的通项公式 .2an, 且 a13优秀学习资料欢迎下载、已知数列 a 满足：对于 nN , 都有 a13an25 .2nn 13an类型三： *设 f (x)ax2b (a0) ，且 x1、 x2是 f ( x) 的不动点， 数列 an 满2axd足递推关系anf(an1) ， n2,3

22、,，则有an 1x1anx1)2a1x10 ，则an 1x2(x 2；若x2ana1ln anx1是公比为2 的等比数列。anx2证 ： x1 、x2是 f ( x) 的 不 动 点 ， dx1b ax12， dx2b ax22。an1x1a an2b(2a and )x1aan2b2a anx1ax12ban1x2a an2b(2a and )x2aan2b2a anx2ax22ba(an22anx1x12 )anx12，又a1x10anx10 ，a(an22anx2x22 )(x2)a1 x2，则x2anan lnan 1x1anx1anx1是公比为2 的等比数列。an 1x22lnx2，故 lnx2anan例4 （2010 东城区二模试题）已知数列 xn 满足 x14 ， xn1xn23求证： xn3 ；2 xn4求证： xn1xn ；求数列 xn 的通项公式证： 、证略；依题xn 1x