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1、§3.1.3柯西不等式(3)姓名学习目标：1.熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明；2.会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题?知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西(Cauchy)，法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家他奠定了数学分析的理论基础数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等2. 二维形式的柯西不等式：若a,b,c,d R，则.C当且仅当时，等号成立.变式 1°.若 a，b，GdR，则 a2 b2 c2 d2 |ac bd|或 a2 b2c2 d2 ac b
2、d ；变式 2°.若 a, b, c,dR 则 Ja2 +b2 + Jc2+d2J(a c)2 +(bd)2；变式3°.(三角形不等式) 设Xi, yi,X2,y2,X3,y3为任意实数，则：(Xi X2)2 (% -丫2)2 .(X2 X3)2 (y2 -丫3)2 -3. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai ,b R(i =1,2,贝： 女口果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要.而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系.所以,它的重要性是不容置疑的！柯西不等式的应用：
3、例1.已知实数a,b,c , d满足a b c 3, a2 2b2 3c 6d 5.试求a的最值例2在实数集内x2y2 z2-8x 6y - 24y = 39当且仅当时，等号成立.(若ai =0时，约定 bi=0, i =1,2,n).o、hJ a、(送 ai)2变式 1°.设 aR,b >0(1,2j|,n),贝卩：£ bZ b当且仅当时，等号成立.变式 2°.设 ai bi 0(i =1,2JH, n),贝卩：印 一". bi 工 aib当且仅当d = b2二二bn时,等号成立.变式3°.(积分形式)设f (x)与g(x)都在a,b可
4、积，则 |( f (x)g(x)dx2b 2f (x)dx g (x)dx ,当且仅当f (x)二t g(x)时，等号成立.例3设P是三角形ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是L ABC外接圆的半径，证明"1 a2b2c22R1 1十、H . +半八+求证：印_ a2a2 - -31 1- -0an - an .14 .1 - -1例4 （证明恒等式）已知ad -b2 b . 1a =1,求证：a b = 1。选修4-5练习§3.1.2柯西不等式(3)姓名A1 已知 q,a2,IH,anR，求证:-(a< ala.)2-aj，a?2川a“2n2
5、2 24、设Xi,X2,川 XnR ,且 XiX2IIIXn= 1,求证：Xn1+X1 1+ X21+ Xn2、已知a, b, c,d是不全相等的正数，求证： a2 b2 c2 d2 ab bc cd da5、已知实数a,b,c,d,e满足a b c d e=8, a b2 c d e2 = 16,求e的取值范围3、已知x 2y 3z =1,求X2 y2 z2的最小值.6、已知 x,y,z R ,且 x y 1,求证：-_ 36x y z4 111 ., 112:1 -+ -十+<72342n-1 2n29、若n是不小于2的正整数，试证7、已知正数a,b,c满足a b c =1 证明a3
6、 b3 ca2 b2 c3参考答案：般形式的柯西不等式：nnn_222设n为大于1的自然数，ab E R(i = i,2, n)，贝y:瓦ai无bi王亿 aQ),&解方程组i=1imi=1x y z 9x w = 642/222、2/22、x x (y ' z w ) w (y z ) = 486其中等号当且仅当= -bn时成立(当ai = 0时，约定b = 0 , i = 1,2,.aia2an等号成立当且仅当bai (1乞i乞n)柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有
7、关问题。例1解：由柯西不等式得，有2b2 3c2 6d2当且仅当.1 - b2时，上式取等号,2 2 2 2即 2b 3c 6d : i b c d2 2由条件可得，5-a_ 3-aa2b2 二 1-a2 1-b2,a2 b2 = 1。解得，仁a岂2当且仅当 '些 竺 6d时等号成立,V1213 V16例5分析:1代入 b = 1,c, d32 b = 1,c, d3例2解：由柯西不等式，得力(£2+6车(一 242时,6J时3amax=2a1 _ an 1这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证:1 1>1,.1 1a1 - a2a2 - a3a
8、n - an 1amin =12>8x 6y2)y=964364 144 =2 39又-8x 6y-24y $ = 392. x2 y2 z2 i i 8 ? &x2y2z2)(新+62 +(-24)2即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与七x，6y -24y =39联立，可得D-866x =-一13z-249y =2618z 二13例3证明：由柯西不等式得,1 + TcZ#1 兰 Jax + by + c;1x y z =、ax、111abc证明：为了运用柯西不等式，我们将a1 - and写成a1a* 二 a1 a2!亠 i a2-a3!亠 亠 i. a
9、*-an 订 于是a1 - a2 厂a2 - a3 亠 亠an - an -1a1 即ai1 1a2 一 a3an _ an -11.-an -1*疋1 a2 a2 a31 1 +a1_ a2 a2_ a3an11故一11 亠亠a a 2 a a31亠亠an1一 an -11_ an -11> ,a1 - an -11 J 0.an 一 an 1an 1 一记S为L ABC的面积，贝yax by c“2S 二九紧二紧ab be caabc二 1 ab bc ca 2R2R1、a2b2 c2故不等式成立。我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都
10、是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练习1 证:(121212)(耳2a?'Illa.2) (1 0 1a?Ill 1a.)2n2 a22 II丨 an2) 一(a a2 III an)2-(ar a： III 界冷 a； l| a；n例 4 证明：由柯西不等式，得 a . 1 - b2 b 11 - a2 _ X 1 - a2 "b2 1 - b2 L12、a2 2 c2 d2)(b2(22 d2 a2)-(ab bc cd da)2：a,b,c,d是不全相等的正数，a =-2222 2b c.(a
11、 2 b 2 c 2 d2) (ab bc cd da) 即 ab cdab bc cd da丽，222、，.2_2-2、,-解:(x2.x y当且仅当证明:（cd2=d不成立a3131312a2a2 + b2b2 + c2c2)2 2 2 2 2 2y - z )(123 ) _(x 2y 3z) =11 + z > 一14彳即x1 232 z2取最小值f 3、C 3 3、a2+b2+c2I )< )k丿b cl<a2 b2 c23332=a b c ii a b cX2y2 2X1X211,y 、z =1471142Xn时14证明：(n 1) (12)1 +X11 +X2
12、1+Xn2=(1 X1 T X2 III T Xn) ( J2 1 +X1III 十 Xn ”)Z(1+ J1 十 X2 1 Xn'XiXi2+1x2X21 x22 X2川代Xn)(X1 X2 川 Xn)2 =1J +Xn解:；4(a2 b2 c22d2)222(111 1)(a，2 b2 c2 d2)即 4(16 豐2；b(8c-；¥,即 64沁2沖-16十 22 165e 16e _ 0,故0 _ e _5证法1X:用柯西不等式4y2X等号成立.当且仅当9=(x 4yz一(、x1 =4y又因为 a2 b2 c2_ ab bc 在此不等式两边同乘以2 2 2得： a bc_
13、3a b c/ a2 b2 C2 2 < a3 b3 c3 *3 a2 b2 c2-，再加上 a2 b2 c28.解：原方程组可化为X(X2运用柯西不等式得（x29 - z4 - y1- Xyvx4y z= 9w = 62 丄 2/2 丄 2y z )(x w )=y2 z2) 9-27486x2w214如 +X %.y -V y1：X-z2即 卩 x£9636yz竺)._z .9 x)华_9 y)当且仅当y=2x.7.证明：利用柯西不等式两式相乘，得 x2 y2 z* x2当且仅当x=y=z=w=3时取等号。 故原方程组的解为 x=y=z=w=3.9、证明：证明：1-1-23
14、4所以求证式等价于w2-4862nn 1 Th7 n 1 n 2 2n 21 1 1 2 由柯西不等式有()(n 1)(n 2) l|l 2n nn 1 n 2“2n1 1 1 2 由柯西不等式有()(n 1)(n 2) 1112n nn 1 n 2“2n1 1 1 于是：丄J|丄又由柯西不等式有n22n (n 1)( n 2)|( 2n1 11于是：-2n (n + 1) + ( n + 2)+川+ 2 n 3+n又由柯西不等式有n2111；(12 12 山 12)( 12n(n 1)2 (n 2)2(2n)22n(12 1212)( 1(n 1)2(n 2)2(2n)2n 1n(n 1) (n 1)(n 2)川(2n1)2n1)二三n 2n 2n(n 1) (n 1)(n 2)川(2n-10nj1n 2n 2运用柯西不等式得(x2 y2 z2) _273x2w2两式相乘，得x2 y2 z2 * x2 w2-486当且仅当x=y=z=w=3时取等旦故原方程组的解为 x=y=z=w=3.号。9、证明：证明：1 -1123川 2n-12n2n所以求证式等价于1 1 1-丄川丄2n、2<2n 2