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1、1.2.1任意角的三角函数（2）一、【教学目标】重点: 三角函数线的概念及应用.难点：理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，三角函数线的应用知识点：有向线段，正弦线、余弦线、正切线的概念，作三角函数线.能力点：逐步发现三角函数值与单位圆中的“有向线段”的对应，分类讨论及数形结合的数学思想的运用.教育点：让学生通过经历由不确定的对应建立确定的对应的过程，体会发现的艰辛，享受发现的乐趣.自主探究点：角的终边在坐标轴上时三角函数线的情况.考试点：利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.易错易混点：三角函数线作为有向线段与一般线段的联系与区别.拓展点：利用三角函数线证明有关不等式.二、【引入新
2、课】 前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对弧的长，是圆的半径.特别地, 当时，,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.【师生互动】教师设问，学生思考.【设计意图】设置问题，点明主题.既可以引出单位圆的用途，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.三、【探究新知】探究1：有向线段的概念【师生活动】教师给出问题，学生解答，师生共同分析完成引入有向线段的讨论.【设计说明】由教师提问，学生分析讨论，层层深入地进入课题
3、的探究，让学生在自主合作探究中解决、理解重难点.问题1：如果角是第一象限角，它的三个三角函数值用定义如何来求？【设计意图】利用具体问题探究讨论，降低探究问题的难度.做出角的终边和单位圆，记交点为，那么，,.问题2：在求解中，的值都是正数，你能分别用一条线段表示正、余弦值吗？【设计意图】直接指明问题研究的方向，给学生一个明确的思路探究下面的问题.，.问题3：如果角的终边在其他象限内，的值也与这两条线段的长度相等吗？若不相等，有什么关系？（例如，角是第三象限角）【设计意图】让学生明确给线段方向性的必要性.不一定相等.有时相等，有时互为相反数.在第三象限，.为了简化上述表示，去掉上述等式中的绝对值符
4、号，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，表示带有正负值的数量.正、余弦值由角的终边上的点的坐标表示，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关，因此，我们以坐标轴的方向来规定线段的方向.结论：1.规定了始点和终点，带有方向的线段叫做有向线段.2.规定：在直角坐标系内，线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.探究2：正弦线、余弦线【师生活动】教师提问，学生讨论形成正弦线、余弦线的定义.【设计意图】让学生体验知识的形成，深刻理解知识点.问题4：如图中，哪条有向线段可以表示正弦值和余弦值？【设计意图】让学生分析理解有向线段的数量如何表示正余弦值.有向
5、线段可以表示正弦值，有向线段可以表示余弦值.我们将与单位圆有关的有向线段称为角的正弦线, 有向线段称为角的余弦线.问题5：若角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？【设计意图】让学生理解正弦线、余弦线的一般性.当角的终边在轴的非负半轴上时，角的正弦线是一个点，余弦线是有向线段;当角的终边在轴的非正半轴上时，角的正弦线是一个点，余弦线是有向线段.当角的终边在轴的非负半轴上时，角的正弦线是有向线段，余弦线是一个点；当角的终边在轴的非正半轴上时，角的正弦线是有向线段，余弦线是一个点.探究3：正切线问题6：如果角是第一象限角，其终边与单位圆的交点为，则，能否比照正弦线、余弦线的得到，怎样用
6、一个实数表示正切值？【设计意图】利用已知，探究未知,加深学生对正切线的理解.令中的.那么中的的值怎么用图象表示？在角的终边上的点怎么找到？点在直线上，所以点是角的终边与直线的交点，设,交点为，则.有向线段可以表示正切值，即：.问题7：如果角为第二、三象限角时，其终边与直线没有交点，若记终边的反向延长线与直线的交点为，那么还成立吗？【设计意图】完善正切线的含义.成立.问题8：若角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？当角的终边在轴上时，角的正切线是一个点; 当角的终边在轴上时，角的正切线不存在.我们记，记角的终边或其终边的反向延长线与直线的交点为，称有向线段为角的正切线.四、【理解新知】回顾
7、总结：如何画一个角的三角函数线？【设计意图】总结知识点，加深对三角函数线的理解，突破重难点. 第一步：作出角的终边，与单位圆交于点；第二步：过点作轴的垂线，设垂足为，得正弦线、余弦线；第三步：过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为，得角的正切线.要注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点为定点.五、【运用新知】例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1） ； （2） ； （3）.【设计意图】本例是为了使学生掌握各象限（尤其是第二、三、四象限
8、）内角的正弦线、余弦线、正切线的画法，属于基础题【设计说明】本题由学生板书演示.例2. 利用三角函数线，求角的取值集合（1） （2） （3）【设计意图】利用三角函数线的逆向应用，让学生在理解的基础上灵活应用三角函数线.解：（1） （2） （3） =变式练习：求适合下列条件的角的集合(1) (2)【设计意图】利用例题思路，解决三角不等式.解：(1) (2) 例3. 若，比较、的大小【设计意图】让学生体会三角函数线的几何意义【设计说明】图像由学生画出，教师引导学生从几何角度，利用三角函数线的长短解决问题.解：如图，由于，知， 所以. ， 变式练习：设，利用单位圆和三角函数线证明： 【设计意图】应用
9、几何意义，理解三角函数线.六、【课堂小结】 1.结合有向线段的概念理解正弦线、余弦线、正切线的概念；2.把握住五点，作三角函数线；3.利用三角函数线，把握角与角的三角函数值之间的对应关系.七、【布置作业】 1必做作业：作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1） ； （2）； （3）.选作作业：1. 已知：，那么下列命题成立的是（ ）A若、是第一象限的角，则cos>cos. B. 若、是第二象限的角，则tan>tan.C. 若、是第三象限的角，则cos>cos. D. 若、是第四象限的角，则tan>tan.2求下列函数的定义域：（1） y = ; (2) y = lg(3
10、4sin2x) .【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心.2. 课后练习 自主学习丛书 1.2.1八、【教后反思】1.本节课能循序渐进、由特殊到一般，有条不紊地引入三角函数线的定义，使学生对知识的来源比较清晰；但正因为如此，占用了较多的知识讲解时间，对于三角函数线的应用，讲解相对少一些；2.本节课在例题和练习的设计上能做到由易到难、前后联系，使学生对知识的理解和认识逐渐加深，起到潜移默化的作用；3.本节课的教育点是让学生“体会发现的艰辛，享受发现的乐趣”，但在教学过程中，还是不能很好地驾驭课堂，没能激发起学生探究的热情，故而本节课的内容大多不是由学生“发现”的，而是由老师“传授”的，这种课堂模式在今后要有所改变.九、【板书设计】1.2.1单位圆中的三角函数线一、复习引入二、探究新知正弦线余弦线正切线三、理解新知四、运用新知例1例2例3五、小结课内练习