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1、第九讲 数学游戏游戏对策问题因常与智力游戏相结合，因此具有很大的趣味性. 又由于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思路，提高分析问题解决问题的能力是很有益处的。例1在一个3X3的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填写1、3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 九个数中的一个，数不能重复. 最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜. 请你为甲找出一种必胜的策略。分析 把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i 。甲的得分为：abcgh+i=（ a c g+i ） +（ b+h）；乙的得分为：adgcf
2、i=（ a c g i ） +（ d f ）要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b+h>d+f.要想使b+ h>d+f,甲有两种策略：一是增强自己白实力使b、h格内填的数 尽可能地大；二是削弱对方的实力使 d、 f 格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论：取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者 兼顾。为了使叙述方便起见，我们分别用（甲 2）和（a5）分别表示“甲第 二轮”和“在a处填数字5"，其余如（乙1）,（甲1, b10）等含义类 同。一、甲首先使b、 h 处填的数尽可能大. 譬如，（甲1， b10）。1 .乙为了不输，（乙1）必须在h处填数.（否则，即如
3、（乙1）不在 h 处填数，（甲2）在h 处填余下来的最大数后，无论（乙2）怎么填，最后总有b+h>10+ 8=18> 16=9+7>d+f,甲胜）.这样，必须（乙1, h1） . （乙当然在h 处填最小数）2 . （甲2）不能在d 处或 f 处填数 . （否则，如（甲2， dx），x 为任一数，则（乙2）在f处填余下来的最大数后，即有 d+f > 3+ 9= 12>11 = 10+ 1 = b+h,乙胜）.当然（甲2）填9,譬如（甲2, eg）.（以后， 只要甲不填错，即只要把余下数中的最小者填入 d或f,就不会输了）3 .显然，（乙2, d8）,乙就不会输了 .
4、因此不分胜负（此时（甲3） 必须（ f3 ）。同样，若（甲1, h10）,只要乙应对正确，乙就不会输。因此，只有二、甲首先使d、 f 处填的数尽可能小（才有可能必胜）. 譬如， （甲1， d1）。1. 若（乙 1）不在 f 处填数时，（甲2）在f 处填余下来的最小数，则最后必有b+h>3+ 5= 8>5=1 + 4>d + f,甲胜。2.若（乙1, f10）（乙当然在f处填最大数），则（甲2, b9）,最 后必有b+h>9+ 3= 12>11=1+10=d+f,甲胜.因此，只要（甲1, di）,且以后甲每次应对正确，则甲必胜。解：甲第一轮采用削弱对方策略，把1 填
5、入 d 格（或 f 格）内，以后无论乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只要把尽可能大的数填入b 或 h格内，或者把尽可能小的数填入f 格（或 d 格）内（在乙没有在f 或 d格内填数的情况下），甲都能获胜。例2在4X4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里 .甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜. 问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？分析 见右图， 采用倒推法. 甲要取胜，就必须使乙在移动最后一次石子后，石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中，即。- 1。3.而 移动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方
6、格只有。+1和。2,即。1 和G）2必须由甲来占领。这样， 如一开始分析的那样，就必须使乙在某一次移动石子后，石子落在再移动一次就能移到。+ 1或G）2的那些方格中，即）4O 9,而从哪些方 格（除了 （？1和G）2外）中移动一次石子，石子必定落在。- 1Q 9之一中呢？ 只有用O 3,因此甲第一次移动石子就必须把石子从左下角移到。+3,中。这样，所有的格子被分成“胜位”（01©3）和“负位” （O 16 9）.自然，上图中的。10和。11也是负位,即，谁占据胜位，谁将获胜（若此后 他不失误）；谁占负位，谁将失败（若此后对方不失误）。解：由以上的分析和上图知，甲要取胜，必须向右上走一
7、格, 然后，乙如果向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走. 总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜。如果是5X5的方格，甲要取胜，应采取怎样的策略呢？根据例2的分析，我们仍用。+表示胜位，。表示负位，如图所示.因 此，先移动石子者必输第一次他只能把石子移动到负位。例 3 甲乙两人玩下面的游戏：有两堆玻璃球，一堆8 个，另一堆9 个，甲乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（>0）不限.规定拿到最后一个球的人为输. 问如果甲先拿，他有无必胜的策略？分析 解这类题的一个常用的方法是从简单的情形讨论起，逐渐找出规律或找出解来
8、。为了便于叙述，我们用（m, n）表示两堆球，其中一堆有 m个，另一堆有 n 个。我们从最简单的情况（1， 0）开始讨论。显然，谁拿过球后两堆球成为（1， 0）的状况，则对方必败，因为此时对方只有唯一的一种选择拿走最后一个球 . 因此（1， 0）是胜位，即谁造成这个局面谁必胜. 把这种情形简记为（1, 0）,胜位。（a） （n, 0）,负位，其中n>1;（对方只需在n 个球的那堆中拿走n 1 个，对方就造出（1， 0）局面，因而对方胜）。显然，（b）（1， 1），负位；（c） （n, 1）,负位，其中 n>1。（对方只需在n 个球的那堆中的球全拿走，就造出（1， 0）局面. ）此外
9、，（2, 2）,胜位.（对方拿走1个变（2, 1）,即（c）中的情形; 拿走2个变（2, 0）,即（a）中的情形.对方均负）.因此（n, 2）,负位，其中n>2。（对方只需在n 个球的那堆中拿走n 2 个，对方就占据了胜位（2，2） . ）与类似，有 （ 3， 3） ， 胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为（ a） ， （ c） ，三种负位之一. ）因此（n, 3）,负位，其中n>3。（对方只需在n 个球的那堆中拿走n 3 个，对方就占据了胜位（3，3） . ）还有 （ 4， 4） ， 胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为（ a） ， （ c） ，四种负位之一.）因此（n, 4）,
10、负位，其中n>4。（对方只需在n 个球的那堆中拿走n4 个，对方就占据了胜位（4，4） . ）如此等等，因此，当两堆球的个数相等但不等于1，或只有一堆球，其中只有一个球时，先拿的必输；当个数不相等但不是（1， 0），或两堆各有1 个球时，先拿的必胜（当为（n， 0）时，拿走n-1 个球；当为（n， 1）时，拿走 n 个球；否则，从多的一堆中拿走一些，使两堆个数相等）。解：如果甲先拿，甲有必胜的策略. 甲的具体做法是：从9 个球的那一堆中拿1 个，使两堆球数相等，都是8 个。此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿. 如果乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；如果
11、乙使得一堆球就剩下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；否则，当乙拿几个时，甲也拿同样多的个数. 在前两种情形，因为只剩下一堆球，而且这堆中只有一个球， 因此乙必输；在后一种情形两堆球的个数相同，只是比原来少了。这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球的局面. 这时，乙只有两种选择：拿2 个或拿 1 个，然后，甲拿1 个或拿 2 个，乙也必输。说明：我们也可用例2 的分析中的思考方法来解这道题。先如右图画一表格. 其中有“ *”的格子表示两堆球的个数分别为 3和 5. 这个方格记为（3，5）（第四行第六列）. 显然 . （ 5，3）（第六行第四列） 的含义与 （ 3， 5）
12、 一样 （行、 列分别为从下到上、从左到右编序）.我们的问题转化为：在（ 8，9）格中有一石子（即“有两堆玻璃球，一堆8 个，另一堆9个”），甲乙两个轮流移动石子（即“甲乙两人轮流从中拿球”），每次只能向下或向左移动（即“每次只能从一堆中拿”），格数不限（即“个数不限”） . 规定把石子移到（0，0）格（即左下角）的人为输（即“规定拿到最后一个球的人为输”） . 问如果甲先移（即“甲先拿”），他有 无必胜的策略？按照例 2 分析中的思路，我们把解答填在右面的表格里，其中的 “ +” 、“ - ”分别表示该格为“胜位”和“负位”. 如，（1， 0）格中的“+”表示谁把石子移动到这一格即会胜. 在
13、表格中除了（1， 0），（0，1）是胜位外，其余所有的胜位为（n, n） , n = 2, 3, 4,.而（8, 9）格是负 位 . 因此，开始时石子在（8， 9）格中时，如甲先移，甲有必胜的策略，即甲必胜把石子移到一个标有“+”的格子，即移到（8， 8）格中.此时，无论乙怎样移动石子（只要按规定移），他必把石子移到负位. 接着，甲又能把石子移到胜位，.最后，甲必能把石子移到（1, 0）格或 （0，l ）格 . 因此甲必胜。请同学们自己推导一下上述填“+”、“-”的过程，并把“移石子”的必胜策略“翻译”成“取玻璃球”的策略 .第 6 页习题九1 . 如果把例1 中的九个数改为1、2、3、4、5、6、7、8、10（注意缺少9），得分少者为胜，甲先填，请你为甲找出一种必胜的策略。2 . 甲乙两人玩轮流从右图中选数的游戏，谁选的数中有三个在同一条直线上（即和为15），谁就胜. 先选的人有没有必胜的方案？3 .把例2分别改成在8X 8和9X 9方格纸上，甲乙两人交替将右上角石子移到左下角，其他规则不变，问谁能有必胜策略？4 .甲乙两人玩下面的游戏：有三堆玻璃球， A堆有29个，B堆有16 个，C堆有16个，甲乙两人依次从中拿取，每次只许从同一堆中拿，至少拿一个，多拿不限，规定拿最后一个者为输. 问如果甲先拿，他有无必胜的策略？