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1、5.3两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移巩固·夯实基础一、自主梳理1.设 A(x 1,y1)、 B(x 2,y2),则 AB =(x 2-x1,y2-y1). | AB |= (x2 x1 )2( y2 y1 ) 2 .2.线段的定比分点是研究共线的三点P1、P、P2 坐标间的关系 .应注意 :(1)点 P 是不同于 P1、P2 的直线 P1P2 上的点 ;(2)实数 是 P 分有向线段 P1P2 所成的比 ,即 P1P,P P2 的顺序 ,不能搞x1x2x错 ;(3) 定比分点的坐标公式x=1( -1).y1y2y13. 点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标
2、三者之间的关系x'xh,.y'yk.链接·提示(1)定比分点的定义:点P为 P1P2所成的比为 ,用数学符号表达即为P1 P = PP2 .当 0 时 ,P 为内分点 ;0 时,P 为外分点 .(2)定比分点的向量表达式:P 点分 P1P21OP1+1成的比为 ,则 OP =OP2 (O 为平面内任一点 ).11(3)定比分点的应用 :利用定比分点可证共线问题 .二、点击双基1.(东北三校联考 )若将函数 y=f(x) 的图象按向量a 平移 ,使图象上点的坐标由 (1,0)变为 (2,2), 则平移后的图象的解析式为()A.y=f(x+1)-2B.y=f(x-1)-2
3、C.y=f(x-1)+2D.y=f(x+1)+2解析：由平移公式得 a=(1,2), 则平移后的图象的解析式为y=f(x-1)+2.答案： C2.(理 )(2004湖北八校第二次联考 )将抛物线 y2=4x 沿向量 a 平移得到抛物线 y2-4y=4x, 则向量 a为 ()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-4,2)D.(4,-2)解析：设 a=(h,k), 由平移公式得x'xhxx'h,y'ykyy'k.代入 y2=4x 得 (y -k)2=4(x -h),y 2-2ky =4x -4h-k 2,22即 y -2ky=4x-4h-k, k=2,h=-1.
4、a=(-1,2).答案： A(文 )已知 A(3,7) 、 B(5,2) 将 AB 按向量 a=(1,2) 平移后所得向量是()A.(1 ，-7)B.(2 ， -5)C.(10,4)D.(3 ， -3)解析： AB =(2 ， -5) ，按向量 a=(1,2) 平移后的向量仍为(2， -5).答案： BMP3.已知点 M(1,8) 、 N(7,2) ，若直线l:2x-5y+10=0 与直线 MN 相交于点P，则=_.解析：设 = MP ，则 P( 1 782PN,).PN111782)+10=0. 解得 =2.P l, 2()-5(11答案： 24.把函数 y=log 2(x-2)+3的图象按
5、向量a 平移，得到函数y=log 2(x+1)-1 的图象，则 a 为 _.xx' h,解析：设a=(h,k), 则y y' k. y -k-3=log 2(x -h-2).h21h3,故 a=(-3,-4).k31k4.答案： (-3,-4)诱思·实例点拨【例 1】 已知点 A(-1,6) 和 B(3,0), 在直线 AB上求一点1P,使| AP |= | AB |.3剖析： | AP |=1|AB|,则 AP=1AB或 AP=133BA .设出 P(x,y), 向量转化为坐标运算即可 .131解：设 P 的坐标为 (x,y), 若AP=则由得AB ,(x+1,y-
6、6)=(4,-6),33x14,x1 ,3解得3y62.y4.此时 P 点坐标为 (1,4).3若 AP=-1AB ,则由 (x+1,y-6)=-13(4,-6) 得3x14 ,x7 ,3 解得3y62.y8.7P(-,8).31,4)或 (-7,8).综上所述 ,P(33链接·拓展本题亦可转化为定比分点处理1AB,得 AP=1.由 AP=PB ,则 P 为 AB 的定比分点 ,321;若 AP =-111= ,代入公式即可AB ,则 AP =-PB ,则 P 为 AB 的定比分点 , =- .2344由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算,是解决向量问题的一般方法 .【例
7、2】 已知在ABCD中 ,点 A(1,1) 、 B(2,3),CD 的中点为 E(4,1), 将 ABCD 按向量 a 平移 ,使 C 点移到原点 O.(1) 求向量 a;(2) 求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解： (1)由ABCD 可得 AB = DC ,设 C(x 3,y3)、 D(x 4,y4),x3x41,(1)则y3y42.(2)又 CD 的中点为 E(4,1),x3x44,(3)2则x4x31.(4)2x39x47,由 -得22y3 2,y40.979即 C( ,2),D(,0). a=(-,-2).22275(2)由平移公式得 A (-,-1),B (- ,1),C (0
8、,0),D (-1,-2).22x1【例 3】 设函数 f(x)=.x 2(1) 试根据函数 y= 1 的图象作出 f(x) 的图象，并写出变换过程；x(2)f(x) 的图象是中心对称图形吗？解： (1)令 y= x1 ，化简得 y=1+1x2x 2，即 y-1=1.x2x' x2,1.又令得 y =y'y1,x'由平移公式知，由 f(x)=x1 的图象按向量 a=(-2 ， -1)平移，可得到 y= 1的图象 .x2x反之，由 y=1 的图象按向量b=-a=(2,1) 平移，可得到f(x)=x1的图象,xx2即将 y=1 的图象先向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位，便得到 f(x)=x1 的图象，xx2如图 .(2)由图知， f(x) 的图象是中心对称图形，其对称中心为(2,1).