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1、抛物线的性质对于抛物线y2=2px(p0),焦点F(,0)，准线x= - ,设过点F的直线L交抛物线于不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)则其有下列性质：（1）MN=X1+X2+P2P; (2)y1y2=-P2;X1X2=;(3)以线段MN为直径的圆与准线相切；（4）若M、N在准线上的射影分别为M1、N1,则M1FN1=;O、N、M1三点共线；O、M、N1三点共线；（5）直线MO交准线于点Q,则NQOX;(6)+=.(7)抛物线y2=2px(p0)上的点M(X0,y0)处的切线方程为y0y=p(x+x0);(8) 抛物线y2=2px(p0)外一点P(X0,y0)关于抛物线的切点弦所在直线
2、的方程为y0y=p(x+x0);（9）对于抛物线y2=2px(p0),焦点F(,0)，准线x= - ,准线与x轴的交点为Q，过点Q与抛物线相切的直线为L，切点为A、B. 过点Q的切线的斜率为±1；切点为通径的两个端点；QAQB;反之，以通径的两个端点为切点的两条切线的交点为Q.(10) 对于抛物线y2=2px(p0),焦点F(,0)，准线x= - 上一点Q,若过点Q的两直线与抛物线相切，则两切线垂直；反之，抛物线的两垂直切线的交点的轨迹为准线。（11）对于抛物线y2=2px(p0),焦点F(,0)，准线x= - 上一点Q,若过点Q的两直线与抛物线相切，切点为A、B,则ABQF.(12
3、) 对于抛物线y2=2px(p0),焦点F(,0)，Q为抛物线外一点，过点Q与抛物线相切的直线为QA、QB,切点为A、B，则QFA=QFB.（彭斯雷定理）（13）已知直线L过定点（2P,0）且与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点，O为原点，求证：OAOB.(14)若A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两个动点，O为原点，且OAOB，则AB过定点（2P,0）.(15) 若A、B是抛物线y2=2px(p0)上原点以外的两个动点，且OAOB，若OM AB,求点M的轨迹方程。解：由（14）知AB过定点N(2P,0)，又OM ABOMOND点M的轨迹是以ON为直径的圆（除去原点）其方程为(X-P)2+y2=P2(X0).（16）过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(X0,y0)(y00)作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A(X1,y1),B(X2,y2)两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。=-2，K=-