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1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科：网第一局部(选择题共40分)一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。(1 )集合 A=x|x|<2, B= -, 0, 1 , 2，那么 AI B=(A) 0 , 1( B) 0, 1(C) 2 0, 1, 2( D) - , 0, 1, 21(2) 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于1 i(A )第一象限(B)第二象限(C)第三象
2、限(D)第四象限(3) 执行如下图的程序框图，输出的 s值为1(A)丄2(B)(C)(D)712(4) “十二平均律是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论 的开展做出了重要奉献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 假设第一个单音的频率为 f,(A) 32f(C)12 25 f那么第八个单音的频率为(B) 3 22 f(D) 12 27 f(5) 某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为惻(左)视閨正(主视国(A) 1(C) 3(B) 2(D) 4(A)
3、充分而不必要条件(C)充分必要条件(6) 设a, b均为单位向量，那么“ a 3b 3a b 是“ a丄b的(B) 必要而不充分条件(D )既不充分也不必要条件(7) 在平面直角坐标系中，记 d为点P (cosB, si nB)到直线x my 2 0的距离，当9, m变化时,d的最大值为(A) 1(C) 3(8) 设集合 A (x,y)|x y 1,ax y 4,x(A)对任意实数a, (2,1) A(C)当且仅当a<0时，(2, 1) A(B) 2(D) 4ay 2,那么(B)对任意实数a, (2, 1) A3(D)当且仅当a -时，(2, 1) A第二局部(非选择题共110 分)、填
4、空题共6小题，每题5分，共30分。(9 )设an是等差数列，且ai=3,a2+a5=36，贝V a.的通项公式为(10)在极坐标系中，直线cos(11)设函数 f (x) = cos( x )(sin a(a 0)与圆 =2cos 相切，那么 a=n0)，假设f (x) f ()对任意的实数x都成立，那么3的最小值为(12 )假设x, y满足x+1<y2x，那么2y-x的最小值是 .(13) 能说明“假设f(x)>f (0)对任意的x( 0,2都成立，贝Uf(x)在0,2上是增函数为假命题的一个函数是 .2 2 2 2(14) 椭圆M :笃占1(a b 0)，双曲线N：4爲1 假设
5、双曲线N的两条渐近线与椭圆a bm nM的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆 M的离心率为 ;双曲线N的离心率为.三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。学科网(15) (本小题13分)1 在厶 ABC 中，a=7, b=8, cosB=-一 .7(I )求/ A；(n)求ac边上的高.(16) (本小题14分)如图，在三棱柱 ABC-AB1C1中，CC1平面ABC , D , E, F, G分别为AA , AC, AG , BB1的中点，AB=BC= 5 , AC=AA=2.(I )求证：AC丄平面BEF;(n )求二面角B-CD-C1
6、的余弦值；(川)证明：直线FG与平面BCD相交.(17) (本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(n)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(川)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“k 1表示第k类电
7、影得到人们喜欢，“ k 0 表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1, 2, 3, 4, 5, 6).写出方 差D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , D 5 , D 6的大小关系.(18 )(本小题13分)设函数 f(x)=ax2(4a1)x 4a 3 ex.(I )假设曲线y= f (x)在点(1, f (1)处的切线与x轴平行，求a;(n )假设f (x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.(19)(本小题14分)抛物线C: y =2px经过点P ( 1, 2).过点Q (0, 1)的直线I与抛物线C有两个不同的交点 A, B，且直线RA交y轴于M，直线PB交y轴于N .(I)求
8、直线l的斜率的取值范围；umuiUJir uuirLUJT1 1 ，亠(n)设O为原点，QM QO , QN QO，求证：为定值.(20)(本小题14分)设n为正整数，集合A=|(叩2丄心乙0,1, k1,2，L ，n.对于集合A中的任意元素(Xi，X2 丄,Xn)和(yi, y2丄，yn)，记_ 1M(，)=2【(Xiyi|xiyi|)(X2y?| X2y21) L(Xnyn| Xnyn|).(I )当 n=3 时，假设 (1,1,0),(0,1,1)，求 M (,)和 M (,)的值；(n )当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当，相同时，M (,)是奇数；当，不同时，
9、M (,)是偶数.求集合 B中元素个数的最大值；(川)给定不小于2的n,设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素 ，M ( ,) =0 写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由学科&网绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案、选择题4. D5. C6. C二、填空题9. an 6n10. 112. 313. y=sinx答案不唯一14.3 1 ; 2三、解答题(15)(共 13 分)中，T cosB=(， sinB=VT4、37由正弦定理得asin Absin B=4屈, SinA=Zlsin A27n，A( 0,n)，/ A= .3(n
10、)在厶 ABC 中， sinC=sin (A+B)如下图，在 ABC中，t sinC=,BC=sin AcosB+s in BcosA= 32 h= BC sinC =7 空14(-)73.324、3 _ 3 一 3714 AC边上的高为沁.2S16共 14 分解：I在三棱柱 ABC-A1B1C1中,t CC1丄平面ABC,四边形AiACCi为矩形.又E, F分别为AC, A1C1的中点， AC丄EF./ ab=bc . AC 丄 BE, AC丄平面BEF .()由(I)知 AC 丄 EF , AC 丄 BE, EF / CCi . 又CCi丄平面 ABC , EF丄平面 ABC ./ BE
11、平面 ABC, EF丄 BE.如图建立空间直角坐称系 E-xyz.由题意得 B(0,2,0), C (-1 , 0,0), D (1, 0, 1), F(0 ,0 , 2) , G(0 ,2 , 1).uuuULT CD=(2 , 0,1), CB=(1 , 2, 0),设平面BCD的法向量为n (a , b, c),UUTn CD 0 . 2a c 0 uur , n CB 0 a 2b 0令 a=2 ,那么 b=-1 , c=-4 ,平面BCD的法向量n (2 ,1 ,4),又平面cdcult1的法向量为EB=(0 , 2,0),ULTuit cos n EBn EB21uur =|n |
12、EB|21由图可得二面角fB-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为.21(川)平面 BCD 的法向量为 n (2 , 1 , 4) , / G (0 , 2 , 1), F (0 , 0 , 2),UUUUUUUUU GF=(0 , 2,1), n GF 2 , n 与 GF 不垂直,GF与平面BCD不平行且不在平面 BCD内，二GF与平面BCD相交.(17)(共 12 分)解：(I)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000 ,第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50 .故所求概率为空0 025 .2000(n)设事件
13、A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评.故所求概率为 P ( AB AB) =P ( AB ) +P ( AB )=P (A) (1 -P ( B) + (1 卩(A) P ( B).由题意知：P (A)估计为0.25, P (B)估计为02故所求概率估计为 0.25 X.8+0.75 X.2=0.35 .(山)D 1 > D 4 > D 2 = D 5 > D 3 > D 6 .(18) (共 13 分)解：(I)因为 f(x)=ax2 (4a 1)x 4a 3 ex,所以 f'( x) = : 2ax- (
14、 4a+1) : ex+ ax2 - (4a+1) x+4a+3 ex (x R) =ax2-(2a+1) x+2 ex.f (1)=(1 -a)e.由题设知f '(1)=0，即(1 -a)e=0,解得a=1 .此时f (1)=3e工0.所以a的值为1.(n)由(I)得 f ' (x) = : ax2 - (2a+1) x+2: ex= (ax -) (x -2)ex.11假设 a>，那么当 x (- , 2)时，f '(x)<0;2a当 x (2, + g)时，f '(x)>0.所以f (x)<0在x=2处取得极小值.11假设 aw-,
15、那么当 x (0, 2)时，x-2<0 , ax-<- xT<0,22所以 f (x)>0.所以2不是f (x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是丄，+1219共 14 分 解：I因为抛物线y2=2px经过点P 1 , 2, 所以4=2p,解得p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x.由题意可知直线I的斜率存在且不为 0,设直线I的方程为y=kx+1 k老.由 y 4x 得 k2x2(2k4)x 1y kx 1依题意 (2k 4)24 k2 10,解得 k<0 或 0<k<1 .又PA, PB与y轴相交，故直线I不过点(1, -2).从而k=3.所以直
16、线I斜率的取值范围是(-3-3 )U( -3, 0)U( 0, 1).(n)设 A (X1, y1), B (X2, y2). 由(I)知 x1 x22k 2 4 , x1x2 2 .kk直线PA的方程为y- 2=y2y2(x 1).x11令x=0,得点M的纵坐标为yM 2 2旦2 .x 1x1 1同理得点N的纵坐标为yN_1 2 .X21uuur uuu uuu uuu由 QM = QO , QN= QO 得=1 y，1 y .2 2k 4所以 1 丄 11为 1X2 112x1X2 (为 X2)1k2k2 =21 yM 1 yN (k 1)x1 (k 1)x2 k 1X1X2k 1 丄2k
17、所以11为定值.(20) (共 14 分)解：(I)因为 a (1 , 1, 0),3= (0, 1, 1),所以1M( a, %)=3 (1+1-|1-1|)+(1 + 1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)=2 ,1M( a, 3) =- (1+0 -1- 0|)+(1+1 -1T|)+(0+1 -0T|)=1.(n)设 a (X1, X2, X3, X4) B,贝 y M( a a) = X1 + X2+X3+X4 .由题意知X1, X2, X3, X4 0 , 1，且M( a, a为奇数, 所以xi , x 2, X3, X4中1的个数为1或3.所以 B (1 , 0, 0, 0),
18、( 0, 1 , 0, 0),(0, 0, 1, 0),( 0, 0, 0, 1),( 0, 1 , 1, 1), (1, 0,1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0).将上述集合中的元素分成如下四组：(1, 0,0, 0), (1, 1, 1, 0)； (0 , 1 , 0 , 0) , (1, 1 , 0 , 1)； (0 , 0 , 1 , 0) , ( 1, 0 , 1 , 1)； (0 , 0 , 0 , 1) , ( 0 , 1 , 1, 1).经验证，对于每组中两个元素a, 3，均有M( a, 3) =1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所
19、以集合B中元素的个数不超过 4.又集合 (1 , 0 , 0 , 0), ( 0 , 1, 0 , 0), ( 0 , 0 , 1, 0), ( 0 , 0 , 0 , 1)满足条件，所以集合B中元素个数的最大值为4.(川)设Sk=(X1 ,X 2 ,Xn)|( X1 ,X2 ,Xn)A ,Xk =1 ,X1 = X2=Xk-1=0)( k=1 , 2,n),Sn+1=( X1 , X 2 , , Xn) | X1=X2= =Xn=0,那么 A=0u S1 U-U S+1.对于S. (k=1, 2 ,n-1)中的不同元素 a, 3经验证，M(a, 3耳.所以S. ( k=1, 2 ,n -)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过 n +1.取 ek=( X1 , X 2 ,xn) $ 且 Xk+1 = =Xn=0 ( k=1 , 2,n -1).令B= (e1 , e2 ,en-1)U SnU 3+1 ,贝燦合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.