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1、高中数学概念及方法向量一几种特殊的向量1向量：长度为0 的向量，方向任意，记作0 。2单位向量：长度为1 个单位的向量。3平行向量：方向相同或相反的非零向量。规定： 0 与任何向量平行。4相等向量：长度相等，方向相同的向量。推论：平移后的向量与原向量相等，与起点无关。任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示。5共线向量：平行向量都可以平移到同一直线上，共线向量可以相互平行，所以平行向量也称为共线向量。二向量的加法1向量加法几何作法的特征：“以尾为首，首尾相接”。2向量加法法则：三角形法则（首尾相接）和向量：由开始的起点指向最后的终点的向量。平行四边形法则（共起点）和向量： 以已知的两向量
2、作为邻边构造平行四边形，的对角线向量（三向量共起点） 。共起点3交换律：abba4结合律：(ab )ca(bc )5和向量的模与两向量模之间的关系：ababab（第一个等号在两向量反向或至少有一个为零向量时取得，第二个等号在两向量同向或至少有一个为零向量时取得）6坐标运算：设a( x , y ), b( x , y ) ，则 ab( xx , yy ) 。11221212三向量的减法1向量减法几何作法的特征：“共起点” 。2向量减法法则：三角形法则（共起点）差向量：连终点，箭头指向被减向量的向量。3与 a 长度相等，方向相反的向量称为的a 相反向量，记作a 。4差向量的模与两向量模之间的关系：
3、ababab（第一个等号在两向量同向或至少有一个为零向量时取得，第二个等号在两向量反向或至少有一个为零向量时取得）5 ab ,ab 是以 a 和 b 作为邻边构造的平行四边形的两条对角线，且a b ， a b 是两条对角线长。6坐标运算：设a( x , y ), b( x , y ) ，则 ab( xx , yy ) 。11221212四1实数与向量的积实数与向量 a 的积仍是向量，记作a 。长度：aa0时，方向：0时，0时，a与a同向a与 a反向 a与 a必平行，必共线 a 0运算率：(a)()a ()aaa ( a b)a b定理： b 和非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得
4、ba 。注： b 与 a 共线ba(R)如 b0, a0 ba(R)a 与 b 共线作用：判断两向量是否共线。要证三点共线，只要证有公共点的两向量共线。坐标运算：设a( x, y) ，则a( x, y) 。2平面向量的数量积向量运算： 已知非零向量a,b ，它们的夹角为，则 a ba b cos。注： a b 不是向量，是一个实数，其符号由cos决定。规定：零向量与任何向量的积是0，即 0 a0 。 a b 的“ ”不能省略。两向量夹角的范围0，0 时， a 与 b 同向；时， a 与 b 反向。时， a 与 b 垂直，记作ab ，此时 a b02 a b a b cos ， b cos 称为
5、在 a 方向上的投影。投影 =向量本身的长度 夹角的余弦值几何意义： a b 表示 a 的长度与 b 在 a 方向上投影的乘积。向量数量积的性质：若 a,b 是非零向量，为夹角， e 是与 b 同向的单位向量，则： aee aa cos aba b0 a 与 b 同向时， a ba b ； a 与 b 反向时， a ba b 。2特例： a aa2 a ，即向量的平方等于模的平方。2或 aa （求模的方法）a b a b a b cosa b向量数量积的运算律交换律：a bb a,ababa b分配律：abca cb c完全平方公式：2a22ab2a bb平方差公式：22ababab经典错题：
6、 a bacbc 。例： ab 且 ac 。a bc a bc前者是与 c 共线的向量，后者是与a 共线的向量。数量积的坐标公式：设 ax1, y1 , bx2 , y2，则 a bx1 x2y1 y2 。即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。特例：若 ax, y ,则 a 2aax 2y 2a22向量模的坐标公式xy若点A x1 , y1，点 B( x2 , y2) ，则x2x122ABy2 y1两点间距离公式夹角公式的坐标形式：cosa bx1x2y1 y2( 非特殊角用反三角求 )a b2222x1y1x2y2五平面基本定理：如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么
7、对这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数1 、 2，使得 a1 e12 e2 ，并把不共线的 e ,e 称为平面内所有向量的一组基底。12六向量平行（或共线）1向量形式：a b( b0)ab ，的符号能辨别两向量同向或反向。2坐标形式： a bx1 y2x2 y1 内项之积等于外项之积。其中 a1 , y1 , bx2 , y2， b 可为 0 。x七向量垂直（ 涉及垂直的向量都必须是非零向量）1向量形式： aba b02坐标形式： abx1 x2y1 y20八线段的定比分点：p, p1点 p 分p p2 成两条有向线段p1p2 ，由三点共线知：1p1 pp p2 ，即p1p为点 p 分
8、有向线段 p1 p2，称p p2所成的比，点p 为 p1 p2 的定比分点。起点分点注： 不是长度之比。 的字母顺序分点终点2规律：当 p 在线段 p1p2 上，0 ， p 为内分点。当 p 在线段 p1p2 的延长线或反向延长线上，0 ， p 为外分点 -内分为正，外分为负（的符号） 的计算：先求长度之比，再定符号。（作箭头示意图）推导：设 p1( x1, y1), p2 x2 , y2, p( x, y)pppp，即 ( xx, y)(xx,y)1212y1y2x x1( x2x)xx1x21y y1( y2y)yy1y21定比分点的坐标公式特征： 分点起点终点1x x1x2特例：当1 即
9、 p 是 p1p2的中点时2y2y1y2中点坐标公式九平移：1设旧点 p( x, y) ，按平移向量 a(h,k) 平移后得新点p/,y/(x) ，则有/xxh同一坐标系下的坐标平移公式。y/yk2平移公式解决的问题：旧点，平移向量，新点三者知二求一。旧函数，平移向量，新函数三者知二求一。 （注意解题格式：设新点，旧点及平移向量）十其它公式及方法：1证明四边形ABCD 为梯形，只要证ABDC ， (0 且1)一组对边平行但不相等。2在三角形ABC 中， D, E, F 分别为三边中点，G 为三条中线的交点，称为重心。设 A( x1, y1),B( x2 , y2), C( x3 , y3) ，
10、 G(x, y) ，xx1x2x3则重心坐标公式为3y1y2y3yAAa 3AFGEBDC顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的两倍。即 AG2GD , BG2GE,CG2GF 。三个重要结论：ADBECF0， AGBGCG0 GDGEGF03若akb akb，求k 。法一：akb( akb ) ，用待定系数法解方程组。法二：若给出 a,b 的坐标， 可用平行的充要条件列出内项积等于外项积求 k ，但比法麻烦。4求 ab , ab 的方法：2( a b) 222法一： a ba 2 a b cosb再开方求 ab 。（法一必须给出 a , b ,）法二： ab 构造平行四边形数形结合： 以 a,b 为邻边作平行四边形，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线。2222重要结论： abab2 a2 b平行四边形公式（适用于选择填空）5夹角为钝角的条件：cos0 且 cos1注：两向量的夹角必须共起点。1 ( abc )6若 a b c 0, 则 a b b c c a2222推导：2a b 2b c2ca(abbc )(abac)(b ca c)b(ac)a (bc)c(ba)b ( b) a ( a) c ( c)( a2b 2c 2 )a b b c c a12b22( ac )2