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1、高中数学立体几何知识点一、直线与方程（ 1）直线的倾斜角 取值范围是 0°180°（ 2）直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即 ktan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当0,90时， k0 ；当90 ,180 时， k0； 当90 时， k 不存在。过两点的直线的斜率公式：ky2y1 (x1x2 )x2x1（ 3）直线方程点斜式： yy1k( xx1 ) 直线斜率 k，且过点 x1, y1斜截式： ykxb ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式： yy1xx1 （ x1x2 , y1
2、y2 ）直线两点 x1, y1， x2 , y2y2y1x2x1截矩式： xy1 其中直线 l与 x 轴交于点(a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截ab距分别为 a, b 。一般式： AxBy C 0 （ ，不全为）AB0（ 5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平 行于 已知 直 线 A0 xB0 yC00 （ A0 , B0是不全为0 的常数）的直线系：A0 xB0 yC0 （C 为常数）（二）过定点的直线系（ ）斜率为k 的直线系：yy0k xx0，直线过定点x0, y0；（ ）过两条直线l1: A1 xB1 yC10 ， l2
3、: A2 xB2 yC20 的交点的直线系方程为A1xB1 yC1A2 xB2 yC20 （为参数），其中直线l2 不在直线系中。（ 6）两直线平行与垂直当 l 1 : yk1 xb1 ， l 2: yk2 xb2 时，l1/ l 2k1k 2 ,b1b2 ； l 1l 2k1 k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。两点间距离公式： 设 A(x1 , y1 )，（B x2 , y2）是平面直角坐标系中的两个点，则 | AB | ( x2 x1 )2( y2 y1) 2（ 9）点到直线距离公式： 一点 P x0 , y0到直线 l1 : Ax By C0 的距离 dA
4、x0By0 C22AB二、圆的方程1 圆的方程（ 1）标准方程 xa 2yb 2r 2 ，圆心 a, b ，半径为 r；（ 2）一般方程 x 2y2DxEyF0当 D 2E 24F0 时，方程表示圆，此时圆心为D ,E ，半径为 r1D 2E 24F222当 D 2E 24F0 时，表示一个点D,E，；2 2当 D 2 E 2 4F 0 时，方程不表示任何图形。（ 3）求圆方程的方法：一般采用待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆
5、心的位置。2、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（ 1）设直线 l : Ax ByC0 ，圆 C : xa 2y b 2r 2 ，圆心 C a, b 到 l 的距离为dAaBb C ，则有 drl与 C相离 ； drl与 C相切 ； drl与 C相交A2B 22b 2（ 2）设直线 l : Ax ByC0 ，圆 C : x ayr 2 ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有0l 与 C相离 ；0l 与C相切 ；0l 与 C 相交(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y 2=r 2，圆上一点为 (x0， y0
6、)，则过此点的切线方程为 xx0yy0r 2 (课本命题 )圆 (x-a)2+(y-b) 2=r 2，圆上一点为 (x0 ，y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推广 )4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。222 ， C2 : x a222设圆 C1 : x a1y b1ry b2R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。当 d R r 时两圆外离，此时有公切线四条；当 d R r 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当
7、 R当 drdRr 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；Rr 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 dRr 时，两圆内含；当d0 时，为同心圆。三、立体几何初步1、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点： 原来与 x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。2、 球体的表面积和体积公式：V 球 = 4 R3 ； S球面 = 4 R233、空间点、直线、平面的位置关系公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：判断直线是否在平面内用符
8、号语言表示公理1： Al , Bl , A, Bl公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 2 及其推论作用： 它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面和相交，交线是 a，记作a。符号语言： PABABl ,Pl公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理 4：平行于同一条直线的两条
9、直线互相平行（ 5）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 ：既不平行，又不相交。 异面直线判定： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角 ：直线 a、 b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 aa，b b，则把直线 a和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是（ 0°，90°，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（ 2）在异
10、面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。求异面直线所成角步骤：A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（ 7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（ 8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有无数个公共点三种位置关系的符号表示：aaAa（ 9）平面与平面之间的位置关系： 平行没有公共点；相交有一条公共直线。b5、空间中的平行问题（ 1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理 ：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,
11、则该直线与此平面平行。aaba / /a / /b线线平行线面平行b线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，a /那么这条直线和交线平行。aa / bb线面平行线线平行（ 2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行a / /b / / /abPa,b（线面平行面面平行），垂直于同一条直线的两个平面平行，a/a两个平面平行的性质定理（ 1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。a（面面平行线面平行）（ 2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线
12、平行。/a a / bb（面面平行线线平行）6、空间中的垂直问题（ 1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。(2)线线垂直 直线和平面垂直的定义: 直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面 互相垂直aa b ;线面垂直的性质：b 线面垂直的判定方法判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线
13、都垂直，则该直线与此平面垂直a b a ca ；bcOb, c注意点：定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面ab? ba三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直(3 ). 二面角 ：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角二面角的平面角的定义：如图，在二面角l的棱和内分别作垂直于棱l 的射线 OA 和
14、 OB，则射线OA 和 平面与平面垂直.l 上任取一点O，以点 O 为垂足，在半平面OB 构成的AOB 叫做二面角的平面角.平面与平面垂直定义 ：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 .两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.两个平面垂直的判定定图形表示及符号表示：lll(4) 直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 ：垂直于同一个平面的两条直线平行直线与平面垂直的性质定理a符号语言为：设直线a 和 b, 及平面，那么a / /b .b(5). 平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个
15、平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直b面面垂直的性质定理符号语言为：a.aab7、空间角问题（ 1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为 0 。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线a , b ，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。范围：0,2（ 2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角： 规定为 0 。平面的垂线与平面所成的角： 规定为 90 。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做
16、这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角： “一作，二证，三计算。”在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息： （1）斜线上一点到面的垂线； （ 2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。范围：0,2（ 3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角范围： 0,