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1、学习必备欢迎下载圆一、圆的相关概念1、圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。2、圆的几何表示：以点 O 为圆心的圆记作“ O”，读作“圆 O” 二、弦、弧等与圆有关的定义（ 1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB）（ 2）直径：经过圆心的弦叫做直径。 （如途中的 CD ），直径等于半径的 2 倍。（ 3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧， 每一条弧都叫做半圆。（ 4）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以
2、A，B 为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧 AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧 （多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧 （多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（ 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，
3、经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角 ;顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距；从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。六、圆周角定理及其推论1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推
4、论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。学习必备欢迎下载七、点和圆的位置关系设 O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：d<r点 P 在 O 内； d=r点 P 在 O 上； d>r点 P 在 O 外。八、过三点的圆1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心 :三角形的外接圆的圆心是三
5、角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：圆内接四边形对角互补。九、直线与圆的位置关系（ 1）相交：直线和圆有两个公共点时， 叫做直线和圆相交， 直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（ 2）相切：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切， 直线叫做圆的切线，（ 3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果 O的半径为 r ，圆心 O到直线 l 的距离为 d, 那么：直线 l 与 O相交d<r；直线 l 与 O相切d=r ；直线 l 与 O相离d>r；十、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等
6、于它的内对角。即：在O中，四边 ABCD是内接四边, CBAD180BD180DAEC十一、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十二、切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分
7、两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线 PAPB ； PO平分BPAC十三、圆幂定理BAO E1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。D即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ， PA PB PC PD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 O 中，直径 ABCD ， CE2AE BEDCBODBOBOPEPACAMANA学习必备欢迎下载2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线PA2PC PB3、割线定理：从圆
8、外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图） 。即：在 O 中， PB 、 PE 是割线 , PC PBPD PE十四、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： O1O2 垂直平分 AB 。即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点 O1O2 垂直平分 AB十五、圆的公切线：（ 1）公切线长： Rt O1O2C 中， AB 2CO12O1O22 CO22 ；（ 2）外公切线长： CO2 是半径之差；内公切线长： CO2 是半径之和十六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切
9、圆。2、三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。十七、圆和圆的位置关系 ：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和 r ，圆心距为 d，那么两圆外离d>R+r,两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r （Rr ）两圆内切d=R-r （R>r ） , 两圆内含d<R-r （
10、R>r ）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。AEDABACO1O2POO1O2CBB十八、圆内正多边形的计算1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。学习必备欢迎下载2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。3、正三角形:在 O 中 ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD 中进行：OD :BD :OB1: 3:2；CBCOOBAAEDDOBAAOSlB4、正四边形 : 同理，四
11、边形的有关计算在Rt OAE 中进行， OE : AE : OA1:1: 2 ：5、正六边形 : 同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行， AB : OB : OA1: 3:2.十九、与正多边形有关的概念1、正多边形的中心 ;正多边形的外接圆的圆心叫这个正多边形的中心。2、正多边形的半径；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距 :正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角 :正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫这个正多边形的中心角。二十、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性 :正多边形都是轴对称图形。 一个正 n 边形共有 n
12、条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。2、正多边形的中心对称性 :边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法 :先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。二十一、弧长和扇形面积ADnrOC1、弧长公式 : N°的圆心角所对的弧长 L 的计算公式为 l180BnR 2 1 lR2、扇形面积公式 :S扇3602其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径， l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积:S1 l2 rrl 其中 l 是圆锥的母线长， r 是圆锥的地面半径。2二十二、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2） ABC中，C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= abc。12（3）S =) ，其中， ，是边长，是内切圆的半径。(ab crABCra b c2（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图， BC切 O于点 B， AB为弦， ABC叫弦切角， ABC=D。