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1、基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1 ）若 a.b e R » 贝lj a1 +b2 > lab（2 ）若乙,be/?,则2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 w R*,则 4 +3、基本不等式两个重要变形（1 ）若 a,b w R',则（2）若凡beR,贝IJ总结：当两个正数积为定植时，它们和有最小值； 当两个正数和为定植时，它们积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当。=时取“二”4、求最值条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若x>0,则（当且仅当x = l时取 J”）（2）若<0,则（当且仅当x = T时取J”）（3）若他&
2、gt;0,则（当且仅当时取" 二 ”）（4）若a,bwR,贝IJ,公（手尸三子（5）若 a,bwR ,则_K疝I、11"" 2 "V 2一十一 a h特别说明：以上不等式中，当且仅当时取 1 / 146、柯西不等式（1） 若ahc,dwR,贝尸）（°2+，）之（4+儿厅（2）若,。2，。3,4也也eR ,则有:（"J +42 +%2）（1 始 +02 +2）之+42 +&2）2（3）设q,小，,"”与后也,也是两组实数，则有（。 ）（斤 +b； h 卜“：）2（<他 + a2b2 + ”也【题型归纳】型一：利用
3、基本不等式证明不等式 题目1、设4,。均为正数，证明不等式：J法2题目2、已知4, ,C为两两不相等实数，求证：a2 +Z?2 +c2 >ab + bc + ca题目3、已知4+/?+c = l,求证:题目 4、 已矢口也ce/T, Ra+b + c = , 求证：(l-t/)(l-Z?)(l-c)>8c题目 5、已知 4 也 ce/r,且 a+b+c = l,求证:I1 |-1 II i-1 |>8题目6、(新课标H卷数学(理)设均为正数，且+"c = l,证明: (I)；(H).题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数值域(1 )( 2 ) y = x(4
4、 - x)(3)(4)题型三：利用不等式求最值(一)(凑项)1、已知x>2,求函数最小值;变式1:已知x>2,求函数最小值;变式2:已知x<2,求函数最大值;变式3:已知x<2,求函数最大值;练习：1、已知，求函数最小值;题目2、已知，求函数最大值;型四:利用不等式求最值(二)(凑系数)题目1、当0门<4时,求y = x(8-2x)最大值;变式1：当时，求y = 4x(8-2x)最大值;变式2:设，求函数y = 4x(3-2x)最大值。题目2、若0<x<2,求y = Jx(6-3x)最大值;变式：若0 vxv4 ,求y = Jx(8-2x)最大值;题目
5、3、求函数)，=在口+后右(；<x<|)最大值;变式：求函数)，="二+尸石(上<X<U)最大值; 44题型五：巧用“1”代换求最值问题题目1、已知力>0,4 +力=1 ,求/ = L + 1最小值; a b变式1:已知a,。>0, + 2Z? = 2,求/ = + ；最小值; a b变式2：已知，求个最小值；变式3:已知x,y>0,且! + ' = 9,求x + y最小值。 x ）'变式4:已知x,y>0,且，求x+y最小值；变式5：（1）若x,y>0且2x+y = 1,求最小值;（2）若巴瓦.且,求x+y最小值
6、；变式6:已知正项等比数列仙满足7 =% + 2%,若存在两项金4，使得Jq“a“ =4%，求最小值；变式7：若正数x, p满足x+3y=5,则3x+4y最小值是（）C. 5 D. 6变式8：设“>0/>0.若G是3a与3b的等比中项，贝口+工最小值为（）. a bA. -B. 1C. 4D. 84变式9:已知且 +。= 2,则最小值为变式10:已知Ovxvl, 00,。>0,求最小值.变式11:求最小值变式12：已知，求函数最小值变式设正实数满足2,吟唱最小值为变式14：【2013天津理】设a + b=2, b>0,则当a= 时，取得最小值.变式15:设满足a+b =
7、 2 ,则最小值为变式16:已知凡be R+且2a+b = l，则最小值是题型六：分离换元法求最值（了解） 题目1、求函数值域;X+1变式：求函数值域;题目2、求函数最大值;变式：求函数最大值;型七：基本不等式综合应用题目1、已知log? 4 +log/*1 ,求3。+9"最小值题目2、已知4步>0,求最小值;变式1: （2010四川）如果心>0,求关于力表达式最小值；变式2：（ 2012湖北武汉诊断）已知，当4>0,4,1时,函数y = loga（X-l） + l图像恒过定点4,若点A在直线如-y + =。上，求” + 2"最小值；变式3:【2017天津
8、】若a,帅>0,则最小值为题目3已知x,y>0, x + 2y + 2xy = 8 »求x + 2y最小值；变式1:已知a,b>0,满足ab = a+b+3,求他范围;9/14变式2:已知x,y。，求学最大值；（提示：通分或三角换元）变式3:已知x, y > 0 , a2 + y2 +xy = y 求取最大值;题目4、（2013年山东（理）设正实数x,y,z满足犬-3个+ 4/-z = O,则当把取 z得最大值时,最大值为（）（）A. 0 B. 1 C. - D. 34变式：设工是正数，满足x-2y + 3z =。，求上最小值; xz丘型八：利用基本不等式求参
9、数范围 题目1、已知x,y。，且恒成立，求正实数最小值;14 / 142、已知x>y>z>0且恒成立，如果 eN求最大值；(参考：4 )变式：已知a/>0满则，若4 + />c恒成立,求c取值范围;题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若 a,b,c,d w R(a, b. c, d e R、当且仅当色=9；即ad = Z?c时等号成立) c a(a2 +Z72)(c2 +d2)>(ac + bd)22、二维形式柯西不等式变式+ yjC2 +(12 >ac + bd(a, b. c. d e R,当且仅当色=乌；即ad = Ac时等号成立) c
10、 aJ2 S + / N依+ M (a,b,c,deR,当且仅当/ = ,；即4d=反时等号成力(3)(a + /?)(c + d) > (yfac + ybd)2（a,氏c,d20,当且仅当口 = c即nd =即时等号成立）3、二维形式柯西不等式向量形式2万（当且仅当/=/或存在实数心使屋攵万时，等号成立）4、三维柯西不等式若%吗,%，4也也eR,则有：+/2 +%2）（/;+&2）之（4 +4% +%4）2 （q.也eR,当且仅当* =会=*时等号成立）A打打5、一般维柯西不等式设,生，必与瓦也，也是两组实数，则有：（。）3； h卜bj）N （他 +%b2 Tba也）2（qM
11、eR,当且仅当察=等=在时等号成立） 4 b2 bn【题型归纳】题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题H 1、设x,y,zeR,若入二+）+ z? =4 ,则x-2y+ 2z最小值为 时,（x,y,z）= 析：（x-2y + 2力2 （x2 +y2 + Z2）l2+ （-2）2 + 22= 4x9 = 36* x-2y + 2z最小值为-6此时UL = J.一二1 -2 2 -+（2）2+2?3题目2、设x,y,z £ R , 2x-）2z = 6 ,求x2 +/ +z?最小值加，并求此时x,y,z之值。4 2 4Ans: m = 4;(x, y,z)= wX题目 3、设 x,y,zeR ,2x-3y + z = 3 ，求 x2+(y-l)2 + z2 之最小值，此时严(析:2x-3y + z = 3 0 2x-3(y-l) + z = 0)(Ans: 12 )题 R 4、已知 a也ce,a + 2 +3c = 6,贝lj a2 +4b2 +9c2 最小值是题目 5、设x,y,zeR,且满足：x2 + y2 + z2 =1, x + 2y + 3z = V14 ,求x + y + z值;题| | 6、求2sin6 + VJcos6sin°_cos6cos最大值及最小值。（Ans:最大值为2后,最小值为2、历）析：令a （2 ,昭， ）,b （1,，）