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1、量子力学期末试题及答案、填空题1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性 2、 | ¥ (r,t) |人2的物理意义：t时刻粒子出现在 r处的概率密度。3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。4、 两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能 和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算
2、符。2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A,它的本征态对另一个力学量(对应算符为B)就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们 才有共同的本征态。3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和 跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。三、证明题。3.4 证明£xr + rx£ = 2lftrr Lxp + px£ =一 = ih (r x -(£ x 町J；£% -戸店=诜(P x f
3、 一(Z xuEt 1 (£ x r + r x £) = tyz ty += tyfz Z£ly由角动量与坐标算符的对易于Za祁=阳“l/i斗、知(瓷 X r + r X E)h -同農有(E x r + r x E)# = 2ihyt (i r + r x = 2hzH|J£ x r + r x £ =角动量算符与动量舁符的对易于衍1 =為阳询0”冋上可证E x p -f p x L = 2ihp“ L7x-沖=宙闰=區+药5詞=x +馬闰+ Q.x I=Jd +1：闰 6+ |£"百+|£r. xtT=Q +
4、 Q + (_ifi 期、+ fifty) Ej=iA(y£i 一吗)一昇-：刃3)|2)可ikPpi- = ift |(p X L)x - (i X p)r2、证明概率流密度J不显含时间。四、计算题。1 、120 一牛盛量为皿的粒子槪限制在半栓为f = ar=拥勺两个不可穿遴的同亡球面之间坛动.不存在其他势 场.求料子的基态能虽评蔓态波函数解土怖予所处的势场i&(x < a)t/(x) = , 0(a < x <6)pAM栓岡波函数浙健足的边界条件是RIMtw = /?(r)|T,h = fl.轻向部分的蘇宦谭方码帶)+ 话£ 一罟- 0. a
5、< Jt < b引入变换尺尸=x(.r)/rtk = y/2mE/h，推态f = 0J叮化为器 +以上=0不的解是才=C sin /r(r + Q代入边界条件冇X(a) - jf(5) = Csin k(a + c) = C sin kb + c) = 0c = k = rr/(£? a)即JZnrE/H： = 71/(6 a) 粒子的棊态能量品=叶;迂罚 而酚)才(少2巴旦即弘严呼时灯归一化1 - :伽=C2 sin2 fe(r a)dr-门)以=> C =b-a r fr-rr基态波國數讽匚乩叨=砒沧巾佩少)归一化1 =叽 Mb.RQlW 二饶0即)朋华贞2如=
6、你爆(艮倂)=*伽(仇 = 1/VJTb-ii齢彼函数0(“冲)=%心佝叭二令庇冲轩二订而匕弼哥第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r。、电荷均匀分布的小球, 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对r r。的区域有影响，对r r。的区域无影响。据题意知H? U(r) Uo(r)其中Uo(r)是不考虑这种效应的势能分布，即U( r)2 ze4 orU(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r r。区域,U(r)Ze24 or在r r°区域,U(r)可由下式得出,U(r)Edrr12 orZe3 roZe4 or2Ze(rro)(rro)roU(r) er E
7、dre EdrroZe24 o3"rdrrZe24 oro丄drrZe28 oro(ro2Ze24 orZe2oro3(3ro2(r ro)H? U(r) Uo(r)Ze28 o ro0o2Ze24 or(rro)(rro)由于ro很小，所以$o)Uo(r)，可视为一种微扰，由它引起一级修正为(基态(o)iooZ31/23) e比Zrao)Ei(o)1*F?i(o)d-r aoEi(1)Z3a；Z42roo2Z r ao2e33oao ro4 2Z e3 32o aoroZe28oro3 。2r2)Ze24 or2Zre a° 4 r2drro2 2o(3ro rr4)dr
8、4 2Z e3oaorordro(ro5Z4e223 oao242Z e 23r°10 °a；2Z4e； 2第三题 6.2求自旋角动量在任意方向n (cos,cos,cos ）的投影1 cos22的本征值和本征函数。解：在Sz表象，Sn的矩阵元为0 1coscoscos1 0Sn 2其相应的久期方程：cos即:coscoscosi coscoscos2(cos2cos(cosi coscos222cos42(cos24(利用cos2cos2 )2 coscos1)2所以S?n的本征值为丄（&）2o2设对应于Sn的本征函数的矩阵表示为2coscosi cosa(cos i cos ) b cos b2 cosi coscoscosi cos由归一化条件得：11* * a(a ,b )2cosi cosa1cos221aa鸟1cosa2b21 cosa2，得cos icos.2(1 cos )1 cos1(S)cos i cos. 2(1 cos )1 COS 1cosi cos02 02(1cos )11 coscosi cos2 f2(1cos )12对应于Sn的本征函数为21cos2>1)cosi cos,2(1cos );(S)同理可求得